福建省宁德市2021-2022学年高三上期中数学试卷（含答案解析）

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1、 2021-2022 学年福建省宁德市学年福建省宁德市高三高三上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1 （5 分）已知集合 AxN|1x2，Bx|2x1，则 AB 等于（ ） A1 B0，1 C1，0，1 D1，0，1，2 2 （5 分）若“xR，sinxa”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 3 （5 分）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ） A6 种 B9 种 C18 种 D36 种 4

2、（5 分）已知 5a2，bln2，c20.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 5 （5 分）对任意实数 x，x4a0+a1 （x2）+a2 （x2）2+a3 （x2）3+a4 （x2）4，则 a3（ ） A6 B7 C8 D10 6 （5 分）已知，则（ ） A B C D 7 （5 分）某种水果失去的新鲜度 y 与其采摘后时间 t（小时）近似满足函数关系式为 ykmt（k，m 为非零常数） 若采摘后 20 小时，这种水果失去的新鲜度为 20%，采摘后 30 小时，这种水果失去的新鲜度为40%那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去 50%新鲜度

3、（ ） （lg20.3） A33 小时 B35 小时 C38 小时 D43 小时 8 （5 分）当 x1 时， （4k1lnx）xlnxx+3 恒成立，则整数 k 的最大值为（ ） A2 B1 C0 D1 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 （多选）9 （5 分）下列四个命题中，真命题的有（ ） A若，则 xy B若 xy0，则2 C若 xy0，c0

4、，则 D若 xy+1x+y，则 x1，y1 （多选）10 （5 分）已知函数 f（x）excosx，则下列有关 f（x）的叙述正确的是（ ） A在 x0 处的切线方程为 yx+1 B在上是单调递减函数 Cx是极大值点 D在上的最小值为 0 （多选）11 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+2，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）在上单调递增 C曲线 f（x）关于对称 D曲线 f（x）关于 x对称 （多选）12 （5 分）已知函数 f（x）esinxecosx，下列说法中正确的是（ ） Af（x）f（x） Bf（x）在区间上是增函数 C是奇函数 Df（x）在区间上

5、有唯一极值点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）集合 Ax|3x2+ax+20至多有一个元素，则 a 的取值范围是 14 （5 分）某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行 5 次试验，收集到的数据如表： 产品数 x 个 10 20 30 40 50 产品总成本（元） 62 68 a 81 89 由最小二乘法得到回归方程 0.67x+54.9，则 a 15 （5 分）已知函数 f（x），若 a、b、c 互不相等，且 f（a）f（b）f（c） ，则 a+b+c 的取值范围

6、是 16 （5 分）已知 f（x），若 f（x）图象上存在关于原点对称的点，则 m 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答 f（x）+f（x）0； f（x）f（x） 已知函数 f（x）ln（1+x）+aln（1x） （1）选择_，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，求 f（x）的单调区间 18 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）满足下列三个条件： 最小正周期为 ； 最

7、大值为 1； f（+x）f（x） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 g（x）f（x）+f（x+） ，x0，的值域 19 （12 分）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业据统计，我市一家新能源企业近5 个月的产值如表： 月份 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 月份代码 x 1 2 3 4 5 产值 y 亿元 16 20 27 30 37 （1）根据上表数据，计算 y 与 x 的线性相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱； （0.75|r|1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；|r|0.75，则认为 y 与 x 线性相关性不强） （2）求出 y 关

8、于 x 的线性回归方程，并预测 10 月该企业的产值 参考公式：r 参考数据：52.3 20 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sinB（1+cosC）3sinAcosC+cosAsinC且 C （1）求证：b2a； （2）若 c2，求ABC 的面积的最大值 21 （12 分）新高考的数学试卷第 1 至第 8 题为单选题，第 9 至第 12 题为多选题多选题 A、B、C、D 四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，选错或不选得 0 分 在某次考试中， 第 11、 12 两题的难度较大， 第 11 题正确选

9、项为 AD， 第 12 题正确选项为 ABD 甲、乙两位同学由于考前准备不足， 只能对这两道题的选项进行随机选取， 每个选项是否被选到是等可能的 （1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为 4 分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为 X，乙同学的两题得分为 Y，求 X，Y 的期望并判断谁的方案更优 22 （12 分）已知函数 f（x）exlnx，g（x）xex+ （1）求函数 f（x）在t，t+1（t0）上的最小值； （2）证明：当 x0 时，xf（x）g（x） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本题共一、选择题：

10、本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1 （5 分）已知集合 AxN|1x2，Bx|2x1，则 AB 等于（ ） A1 B0，1 C1，0，1 D1，0，1，2 【分析】先求出集合 A，再由集合交集的定义求解即可 【解答】解：因为集合 AxN|1x20，1，2，Bx|2x1， 所以 AB0，1 故选：B 【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题 2 （5 分）若“xR，sinxa”为真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 【分析】根据条件可得 a（sinx）min，然后求出实数

11、a 的取值范围即可 【解答】解：若“xR，sinxa”为真命题， 则 a（sinx）min1 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值域，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题 3 （5 分）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ） A6 种 B9 种 C18 种 D36 种 【分析】根据题意首先从三名学生中选 2 名选报同一项目，再从三个项目中选 2 项项目，全排即可 【解答】解：由题意可得 C18， 故选：C 【点评】本题考查排列组合的知识，属于容易题 4 （5 分）已知 5a2，b

12、ln2，c20.3，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcba Cbca Dcab 【分析】化 5a2 为 alog52，从而比较 a、b 的大小，再利用特值法比较与 c 的大小即可 【解答】解：5a2，alog52， 而 bln2， 故 ab1， 又c20.31， abc， 故选：B 【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及特值法的应用，属于基础题 5 （5 分）对任意实数 x，x4a0+a1 （x2）+a2 （x2）2+a3 （x2）3+a4 （x2）4，则 a3（ ） A6 B7 C8 D10 【分析】先把所给的式子变形，再根据二项式展开式的通项公式，求得 a3的值 【解答】

13、解：对任意实数 x，x42+（x2）4a0+a1 （x2）+a2 （x2）2+a3 （x2）3+a4 （x2）4， 则 a328， 故选：C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题 6 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】根据诱导公式，找出所求角与已知角之间的关系，结合二倍角公式运算 【解答】解：cos（2+）cos2（）12sin2（）12， 又 2（2）， 所以 cos（2）cos（2）cos（2）， 故选：A 【点评】本题考查了二倍角公式，诱导公式等知识，属于基础题 7 （5 分）某种水果失去的新鲜度 y 与其采摘后时间 t（小时）近似满足

14、函数关系式为 ykmt（k，m 为非零常数） 若采摘后 20 小时，这种水果失去的新鲜度为 20%，采摘后 30 小时，这种水果失去的新鲜度为40%那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去 50%新鲜度（ ） （lg20.3） A33 小时 B35 小时 C38 小时 D43 小时 【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出 k，m 的值，可得 y0.05，令 y0.5 结合对数的运算性质，即可求出 t 的近似值 【解答】解：由题意可得，解得， y0.05， 当 y0.5 时，0.050.5， 10，即 t10log210， 又log210， t33， 故选：A 【点评】本题主要考查了函数的

15、实际应用，考查了对数的运算性质，是中档题 8 （5 分）当 x1 时， （4k1lnx）xlnxx+3 恒成立，则整数 k 的最大值为（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】将参数 4k1 分离出来，化为 f（x）4k，然后利用导数研究函数 f （x）的最值，其中需要判断导函数 f（x）的极值点时，需要再一次求导 【解答】解：当 x1 时，原不等式可化为：4k恒成立， 令 f（x）， （x1） ，f（x），x1， 令 h（x）xlnx2， （x1） ，当 x1 时恒成立， 故 h（x）在（1，+）上单调递增，而 h（3）1ln30，h（4）2ln40， 故存在 x0（3，4） ，使得 h（x0

16、）x0lnx020，当 x（1，x0）时，f（x）0，x（x0，+）时，f（x）0， 即 f（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+）单调递增，所以 f（x）minf（x0），x0（3，4） ， 由式得 lnx0 x02 代入上式得 f（x0），由对勾函数的性质可知，该函数在（3，4）上单调递增， 故，所以要使式恒成立，只需，即成立即可，结合 kZ， 故 k0，所以 k 的最大值为 0 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，进而解决不等式恒成立问题，属于中档题 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多

17、项符合题目要求全部分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 （多选）9 （5 分）下列四个命题中，真命题的有（ ） A若，则 xy B若 xy0，则2 C若 xy0，c0，则 D若 xy+1x+y，则 x1，y1 【分析】根据不等式的性质，结合基本不等式、比较法、特例法逐一判断即可 【解答】解：A，显然，但是 11 不成立，故 A 错误； B，因为 xy0， 所以， 因此， 当且仅当即 xy 时等号成立，故 B 是真命题； C，因为 xy0，c0， 所以， 故 C 是真命题； D，由 xy+

18、1x+yxy+1xy0 x（y1）（y1）0（y1） （x1）0， 于是有或， 即 x1，y1 或 x1，y1， 所以 D 是假命题； 故选：BC 【点评】本题考查了命题的真假判断，属于中档题 （多选）10 （5 分）已知函数 f（x）excosx，则下列有关 f（x）的叙述正确的是（ ） A在 x0 处的切线方程为 yx+1 B在上是单调递减函数 Cx是极大值点 D在上的最小值为 0 【分析】求出导函数 f（x） ，利用导数的几何意义可判断 A，利用导数与函数的单调性之间的关系可判断B，利用极大值点的定义可判断 C，利用极值以及端点值可判断 D 【解答】解：f（x）excosx，则 f（x）

19、excosxexsinxex（cosxsinx） ， 对于选项 A：f（0）1，f（0）1， 函数在 x0 处的切线方程为 y1x0，即 yx+1，故选项 A 正确， 对于选项 B：当时，cosxsinx，cosxsinx0， f（x）0，f（x）在上是单调递增函数，故选项 B 错误， 对于选项 C：f（x）ex（cosxsinx） ， 当 x0，时，cosxsinx，f（x）0，f（x）单调递增；当 x，时，sinxcosx，f（x）0，f（x）单调递减， x是极大值点，故选项 C 正确， 对于选项 D：由 B，C 可知当 x时，f（x）0，f（x）单调递增；当 x，时，f（x）0，f（x）

20、单调递减， 又f（）0，f（）0， f（x）在上的最小值为 0，故选项 D 正确， 故选：ACD 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 （多选）11 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+2，则下列说法中正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 Bf（x）在上单调递增 C曲线 f（x）关于对称 D曲线 f（x）关于 x对称 【分析】将 f（x）解析式进行化简得 f（x）2sin（2x+） ，对选项逐一进行判断即可 【解答】解：因为 f（x）sin2x+2cos2xsin2x+（2cos2x1）sin2x+cos2x2sin（2x+） ， 对于 A，函数的最小正周期为

21、，故 A 正确； 对于 B，当 x，0时，2x+， 此时正弦函数为单调增函数，故 B 正确； 对于 C，令 2x+k， （kZ） ， 解得 x， （kZ） ， 所以 f（x）的对称中心（，0） ， 当 k1 时，对称中心为（，0） ，故 C 正确； 对于 D，令 2x+k（kZ） ， 解得 x（kZ） ， 所以 f（x）的对称轴为 x（kZ） ， 显然 D 错误； 故选：ABC 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，图象与性质，属于基础题 （多选）12 （5 分）已知函数 f（x）esinxecosx，下列说法中正确的是（ ） Af（x）f（x） Bf（x）在区间上是增函数 C是奇函数 Df（

22、x）在区间上有唯一极值点 【分析】直接判断 f（x）与 f（x） ，即可判断选项 A，利用导数的正负判断函数的单调性，即可判断选项 B，利用奇函数的定义，即可判断选项 C，利用函数的单调性以及极值的定义，即可判断选项 D 【解答】解：函数 f（x）esinxecosx， 对于 A，f（x）f（x） ，故选项 A 错误； 对于 B，f（x）cosxesinx+sinxecosx， 当 x时，f（x）0，则 f（x）在区间上是增函数，故选项 B 正确； 对于 C，令 g（x）， 则 g（x）g（x） ， 所以 g（x）为奇函数， 则是奇函数，故选项 C 正确； 对于 D，由选项 B 可知，f（x）

23、cosxesinx+sinxecosx， 令 g（x）0，可得 cosxesinxsinxecosx， 方程 f（x）0 的根，即为函数 h（x）cosxesinx与 m（x）sinxecosx图象交点的横坐标， h（x）sinxesinx+cos2xesinx（sin2xsinx+1）esinx， 对于函数 ysin2xsinx+1，x， 由复合函数的性质可知，函数为增函数，且 y（1，1） ， 则函数在内存在唯一的零点 a， 所以当 x（，a）时，h（x）0，则 h（x）单调递减， 当 x（，a）时，h（x）0，则 h（x）单调递增， 又 m（x）cosxecosx+sin2xecosx（

24、cos2xcosx+1）ecosx， 当 x时，m（x）0 恒成立，则 m（x）单调递增， 作出函数 h（x）与 m（x）的图象如图所示， 由图象可知，函数 h（x）于 m（x）的图象只有一个交点， 即存在唯一的 x0，使得 f（x0）0， 所以 f（x）只有一个极值点 x0， 故选项 D 正确 故选：BCD 【点评】本题考查了导数的综合应用，函数奇偶性与单调性的判断，函数极值的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）集合 Ax|3x2+ax+20至多有一个元素，

25、则 a 的取值范围是 2，2 【分析】因集合 A 是方程 3x2+ax+20 的解集，欲使集合 Ax|3x2+ax+20至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，得到 a 的关系式进行求解即可 【解答】解：集合 Ax|3x2+ax+20至多有一个元素， 则必须方程：3x2+ax+20 有两个相等的实数根或没有实数根， 0，得：a2240，2a2， 综上所述：a 的取值范围是2，2 故答案为：2，2 【点评】本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想属于基础题 14 （5 分）某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成

26、本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行 5 次试验，收集到的数据如表： 产品数 x 个 10 20 30 40 50 产品总成本（元） 62 68 a 81 89 由最小二乘法得到回归方程 0.67x+54.9，则 a 75 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得 a 值 【解答】解：由表格可得， ， 样本点的中心的坐标为（30，） ， 代入 0.67x+54.9，得，解得 a75 故答案为：75 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题 15 （5 分）已知函数 f（x），若 a、b、c 互不相等，且 f（a）f（b）f（c）

27、 ，则 a+b+c 的取值范围是 3，10） 【分析】根据题意，作出函数 f（x）的图象，由 f（a）f（b）f（c） ，确定 a+b 的值及 c 的范围，即可得出 a+b+c 的取值范围 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图，不妨设 abc， 由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m） 关于直线 x对称，因此 a+b1 当直线 ym1 时，由 log8（x1）1， 解得 x18，即 x9， 由 f（a）f（b）f（c） ， （a、b、c 互不相等） ， 且 abc，可得 2c9， 因此可得 3a+b+c10， 即 a+b+c3，10） 故答案为：3，10） 【点评】 本题考查分段函数

28、的应用， 考查函数的零点与方程根的关系， 利用数形结合， 观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键，是中档题 16 （5 分）已知 f（x），若 f（x）图象上存在关于原点对称的点，则 m 的取值范围是 e1，+） 【分析】函数 f（x）的图象上存在关于原点对称的点，等价于xlnx+m 在（0，+）上有解，即m在（0，+）上有解，h（x）（x0） ，利用导数得到 h（x）min，即可求得 m 的取值范围 【解答】解：令 g（x），x0，则g（x）， 函数 f（x）的图象上存在关于原点对称的点，即g（x）的图象与函数 f（x）xlnx+m，x0的图象有交点， 即xlnx+m 在（0

29、，+）上有解，则 m在（0，+）上有解， 设 h（x），x0，则 h（x）， 令 （x）exx，则 （x）ex10，（x）exx（0）10， 当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）为减函数，当 x（1，+）时，h（x）0，h（x）为增函数， h（x）的最小值为 h（1）e1 若 m在（0，+）上有解，则 me1 m 的取值范围是e1，+） 故答案为：e1，+） 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，考查了函数与方程的关系，考查推理论证及运算求解能力，是中档题 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出

30、文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答 f（x）+f（x）0； f（x）f（x） 已知函数 f（x）ln（1+x）+aln（1x） （1）选择_，求 a 的值； （2）在（1）的条件下，求 f（x）的单调区间 【分析】在选择的情况下分别求出 a 的值，再判断单调区间即可 【解答】解：选择， （1）f（x）的定义域为 x（1，1） ， 由 f（x）+f（x）0， 得 ln（1+x）+aln（1x）+ln（1x）+aln（1+x）0， 得（1+a）ln（1+x）+ln（1x）0 恒成立， 所以 a1， （2）当 a1 时，f（x）ln

31、（1+x）ln（1x）（1x1） ， f（x）ln（1+） ， 因为 y在（1，1）上单调递增， 所以 f（x）的单调递增区间为（1，1） ，无单调递减区间 解：选择 （1）f（x）的定义域为 x（1，1） ， 由 f（x）f（x） ， 得 ln（1x）+aln（1+x）ln（1+x）+aln（1x）恒成立， 得（a1） （ln（1+x）ln（1x） ）0 恒成立， 所以 a1 （2）当 a1 时，f（x）ln（1+x）+ln（1x）ln（1x2） （1x1） ， 因为 y1x2在（1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减； 所以 f（x）的单调递增区间为（1，0） ，单调递减区间为（0，1

32、） 【点评】本题考查函数的性质，及函数的单调性，属于中档题 18 （12 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）满足下列三个条件： 最小正周期为 ； 最大值为 1； f（+x）f（x） （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 g（x）f（x）+f（x+） ，x0，的值域 【分析】 （1）利用最值求 A，利用周期求 ，利用特殊值求解 ，从而得到答案； （2）先利用三角恒等变换将函数 g（x）的解析式化简变形，然后由正弦函数的性质求解即可 【解答】解： （1）因为 f（x）的最小正周期为 ， 所以， 又 f（x）的最大值为 1， 所以 A1， 则 f（x）sin（2x+）

33、 ， 因为， 则函数 f（x）关于直线对称， 所以， 解得 ， 又 0， 所以 ， 故； （2）函数 g（x）f（x）+f（x+） ，x0， 则 g（x）， 因为 x0， 则， 故， 所以， 故 g（x）的值域为 【点评】本题考查了三角函数模型解析式的求解，三角恒等变换的应用，三角函数值域的求解，在求解函数 yAsin（x+）的解析式时，利用最值求 A，利用周期求 ，利用特殊值求解 ，属于中档题 19 （12 分）近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为我市的一大支柱产业据统计，我市一家新能源企业近5 个月的产值如表： 月份 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 月份代码 x 1 2 3 4 5

34、产值 y 亿元 16 20 27 30 37 （1）根据上表数据，计算 y 与 x 的线性相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性强弱； （0.75|r|1，则认为 y 与 x 线性相关性很强；|r|0.75，则认为 y 与 x 线性相关性不强） （2）求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 10 月该企业的产值 参考公式：r 参考数据：52.3 【分析】 （1）利用表中的数据求出样本中心，再由相关系数的计算公式求解即可 （2）利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程，将 10 月份的代码代入回归方程求解即可 【解答】解： （1）由题意可得， 所以 r0.993， 因为|r|0.7

35、5，1， 故 y 与 x 的线性相关性较强； （2）由题意可得， 所以， 所以线性回归方程为， 因为 10 月份对应的代码为 6， 则， 故 10 月份该企业的产值约为 41.6 亿元 【点评】本题考查了相关系数的求解以及线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题 20 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sinB（1+cosC）3sinAcosC+cosAsinC且 C （1）求证：b2a； （2）若 c2，求ABC 的面积的最大值 【分析】 （1）由已知利用三角函数恒等变换的应用展开化简

36、可求得 sinB2sinA，由正弦定理化角为边即可求证； （2）由余弦定理求得 cosC，再由三角形面积公式计算 S2a2b2sin2C 转化为关于 a 的函数，再利用二次函数的性质可求得最大值，开方即可求解 【解答】解： （1）证明：因为 sinB（1+cosC）sinB+sinBcosC3sinAcosC+cosAsinC， 可得 sinB+sinBcosC2sinAcosC+sin（A+C）2sinAcosC+sinB，可得 sinBcosC2sinAcosC， 因为 C，cosC0， 所以 sinB2sinA，由正弦定理可得 b2a （2）在ABC 中，由余弦定理可得 cosC， 设A

37、BC 的面积为 S，可得 S2a2b2sin2Ca24a21（）2， 所以当 a2时，S2取得最大值为， 所以ABC 的面积的最大值为 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题 21 （12 分）新高考的数学试卷第 1 至第 8 题为单选题，第 9 至第 12 题为多选题多选题 A、B、C、D 四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，选错或不选得 0 分 在某次考试中， 第 11、 12 两题的难度较大， 第 11 题正确选

38、项为 AD， 第 12 题正确选项为 ABD 甲、乙两位同学由于考前准备不足， 只能对这两道题的选项进行随机选取， 每个选项是否被选到是等可能的 （1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为 4 分的概率； （2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为 X，乙同学的两题得分为 Y，求 X，Y 的期望并判断谁的方案更优 【分析】 （1）甲同学每题均随机选取一项，甲同学两题得分合计为 4 分，则两题均部分选对，记为事件A，再求 A 的概率即可， （2）甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，分别求出甲乙的概率，分布列及期望

39、，再进行比较即可 【解答】解： （1）甲同学每题均随机选取一项，甲同学两题得分合计为 4 分，则两题均部分选对，记为 事件 A， ， 故甲得 4 分的概率为， （2）甲得分 X 的所有可能的取值为 0，2，4， X 的分布列为： X 0 2 4 P E（X）（分） ， 乙同学 11 题得分情况为 Y1， 12 题可能得分 Y2， 乙得分 Y 的所有可能的取值 0，2，5，7， Y 的分布列为： X 0 2 5 7 P E（Y）（分） ， E（X）E（Y） ， 故甲同学更优 【点评】本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）exlnx，g（

40、x）xex+ （1）求函数 f（x）在t，t+1（t0）上的最小值； （2）证明：当 x0 时，xf（x）g（x） 【分析】 （1）先求出函数 f（x）的极值点，然后通过讨论极值点与t，t+1的关系，确定函数的单调性，进而求出最小值； （2）可先证明 exex 在（0，+）上恒成立，将不等式的证明转化为证明 xlnx在（0，+）恒成立即可 【解答】解： （1）当 x0 时，令得 x，当 x时，f（x）0，当 x时，f（x）0， 故 f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，故： 当时，显然 t+1，故 f（x）在（t，）上单调递减，在（上单调递增，故此时 f2； 当时，f（x）在t，t+

41、1上单调递增，故 f（x）minf（t）etlnt； 综上可知：当时，f2；当时，f（x）minf（t）etlnt （2）证明：先证 x0 时，exex，令 h（x）exex（x0） ，h（x）exe，h（x）0 得 x1；h（x）0 得 0 x1， 故 h（x）在（0，1）上单调递减，在1，+）上单调递增，故 h（x）minh（1）0， 所以 x0 时，h（x）0，即 exex恒成立， 当 x0 时，要证 xf（x）g（x） ，即 ex2xlnx，结合式， 即证即 ex2xlnx成立，即证在（0，+）上恒成立， 令 m （x） xlnx， x0， 由 m （x） 1+lnx0 得 x， 当时， m （x） 0，时，m（x）0， 故 m （x） 在 （0， ） 单调递减， 在 （） 单调递增， 故 m （x）min， 即 xlnx恒成立， 因为两式取等号的条件不一致，故 ex2xlnx当 x0 时恒成立， 即当 x0 时，xf（x）g（x） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，进而求出最值解决不等式恒成立问题的解题思路，同时考查分论讨论思想的应用，属于中档题