江苏省盐城市东台市二校联考2022-2023学年九年级上第一次月考数学试卷（含答案解析）

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1、盐城市东台市二校联考九年级上第一次月考数学试题一、选择题(共24分)1. 若关于的方程的一个根为1，则的值为（ ）A. 3B. 1C. 3D. 12. 用配方法将方程变形，正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和O的位置关系为（）A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定4. 如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于E，AB8，OD5，则CE长为（ ）A. 4B. 2C. D. 15. 一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（ ）A. 2.5或6.5B. 2.5C. 6.5D. 5或136.

2、 下列命题中，长度相等的两条弧是等弧；不共线的三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）A. 2020B. 2021C. 2022D. 20238. 如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题(共30分)9. 已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为_厘米10. 若方程是关于x的一元二次方程则m的取值范围是_11. 如图，A、B、C点在圆O上， 若ACB=36， 则AOB=_12. 如图，已知矩形的

3、边，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是_13. 已知关于x的一元二次方程（m2）x23x10有实数根，则m的取值范围是_14. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_%15. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为_16. 在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了_m17. 已知为实数，且满足，则代数式的值

4、为_18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心圆过点A（5，0），直线与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为_三、解答题(共96分)19. 解一元二次方程（1）（配方法）（2） （3）；（4）20 已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值21. MN是一面长10m的墙，用长24m的篱笆，围成一个一面是墙,中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为45m2，花圃的宽应当是多少？22. 如图，在方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；保留必要的画图痕迹；标注相关字母（1）找出过

5、A，B，C三点圆的圆心O，连结AO，BO（2）在O上找到一点P，画出BCP，使得23. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D（1）求证：ACBD；（2）若大圆的半径r8，小圆的半径r6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？25. 如图，已知等腰直角三角形ABC，

6、点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值26. 阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式（a0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围；解：令44(5y)0y4材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程（a0）有两个

7、不相等的实数根则关于x的一元二次不等式（a0）的解集为：或则关于x的一元二次不等式（a0）的解集为：请根据上述材料，解答下列问题：（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为6，求a的值；（2）求出代数式的取值范围；27. 探究题（1）知识储备如图1，已知点P为等边ABC外接圆的弧BC上任意一点求证：PB+PC=PA定义：在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离（2）知识迁移我们有如下探寻ABC(其中A，B，C均小于120)的费马点和费马距离的方法：如图2，在ABC的外部以BC为边长作等边BCD及其

8、外接圆，根据(1)的结论，易知线段_的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用如图3所示的ABC（其中均小于），现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；如图4，若三个村庄构成RtABC，其中现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为_（直接写结果）盐城市东台市二校联考九年级上第一次月考数学试题一、选择题(共24分)1. 若关于的方程的一个根为1，则的值为（ ）A. 3B. 1C. 3D. 1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义，将x1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可【详解】解：关于x的方程的一个根是1

9、，当x1时，由原方程，得12m0，解得m1；故选：D【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，属于基础题型2. 用配方法将方程变形，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把常数项-11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6一半的平方【详解】解：把方程x2+6x-11=0的常数项移到等号的右边，得到x2+6x=11，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=11+9，配方得（x+3）2=20故选：D【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项

10、系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数3. 已知O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和O的位置关系为（）A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由O的半径2cm，点P到圆心O的距离为4cm，即可判断；【详解】解：O的半径为2cm，点P与圆心O的距离为4cm，2cm4cm，点P在圆外故选：C【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆的性质是解题的关键4. 如图，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于E，AB8，OD5，则CE的长为（ ）A. 4B. 2C. D. 1【答案

11、】B【解析】【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AEBE4，再利用勾股定理计算出OE3，然后计算OCOE即可【详解】解：连接OA，如图，ABCD，AEBEAB4，在RtOAE中，OE3，CEOCOE532故选：B【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键5. 一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（ ）A. 2.5或6.5B. 2.5C. 6.5D. 5或13【答案】A【解析】【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点在圆内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点在定圆外时，直径=最远点

12、的距离-最近点的距离【详解】解：应分两种情况讨论：当点在圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为9， 则直径=最近点的距离+最远点的距离，即：直径=4+9=13，因而半径是6.5；当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，则直径=最远点的距离-最近点的距离=9-4=5，因而半径是2.5故选A【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键6. 下列命题中，长度相等的两条弧是等弧；不共线的三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据圆的相关概念，

13、确定圆的条件，垂径定理逐项分析判断即可【详解】解：在同一个圆内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；不共线的三点确定一个圆，为真命题在同一个圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题为假命题；平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为真命题故真命题的个数为1个，故选：A【点睛】本题考查了圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理，理解相关性质定理是解题的关键7. 设，是方程的两个实数根，则的值为（ ）A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023【答案】B【解析】【分析】由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，将其代入中即可得出答案【详解】解：，是

14、方程的两个实数根，=2022-1=2021故选：B【点睛】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键8. 如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆四边形为矩形点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上连接OB交圆O与点N点B为圆O外一点当直线BM过圆心O时，BM最短，故选：D【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相

15、关知识二、填空题(共30分)9. 已知中最长的弦为12厘米，则此圆半径为_厘米【答案】【解析】【分析】根据圆的最长弦就是直径，即可求出半径【详解】解：中最长的弦为12厘米，的直径为12厘米，的半径为6厘米故答案为：【点睛】本题主要考查圆的有关概念，掌握圆的有关概念是解题的关键10. 若方程是关于x的一元二次方程则m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先将方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程【详解】将整理，得，是一元二次方程，故答案为：【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，熟记定义内容是解

16、此题的关键11. 如图，A、B、C点在圆O上， 若ACB=36， 则AOB=_【答案】72#72度【解析】【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论【详解】解：ACB=AOB，ACB=36，AOB=2ACB=72故答案为：72【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的关键12. 如图，已知矩形的边，现以点A为圆心作圆，如果B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，那么半径r的取值范围是_【答案】6r10【解析】【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，即可确定半径r的取值范

17、围【详解】解：连接AC，如图，由勾股定理可得：，AC=10，又B、C、D至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，点B在内，点C在外，6r10故答案为：6r10【点睛】本题主要考查的是勾股定理、点与圆的位置关系13. 已知关于x一元二次方程（m2）x23x10有实数根，则m的取值范围是_【答案】m且m2【解析】【分析】根据方程根的情况，利用根的判别式及一元二次方程的定义列出关于m的不等式，解之可得【详解】解：关于x的一元二次方程（m+2）3x+10有实数根，4（m+2）10且m+20，解得：m且m2故答案为：m且m2【点睛】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程（a0）的根与有如

18、下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根14. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_%【答案】10【解析】【分析】设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由12月份的房价为5670元/m2，从而可得方程，再解方程可得答案【详解】解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7

19、000-7000x=7000（1-x），12月份的成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得7000（1-x）2=5670，（1-x）2=0.81，x1=0.1，x2=1.9（不合题意，舍去）故答案为：10【点睛】本题是一道一元二次方程的运用题，是有关降低的百分率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键15. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形外接圆的半径为_【答案】【解析】【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，

20、进而求得三角形外接圆的半径【详解】解：，解得，当时，不能构成三角形；当时，这个三角形是斜边为5的直角三角形，该三角形外接圆的半径为，故答案为：【点睛】本题考查了求直角三角形的外接圆的半径，解一元二次方程，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得这个三角形是直角三角形是解题的关键16. 在直径为10m的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB=6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为8m，那么液面上升了_m【答案】1或7#7或1【解析】【分析】根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解【详解】解：连接OA，作OGAB于G，AB=6m，AG=AB=3m，油槽直径为10m，

21、OA=5m，OG=4m，即弦AB的弦心距是4m，同理当油面宽AB为8m时，弦心距是3m，当油面没超过圆心O时，油上升了1m；当油面超过圆心O时，油上升了7m故答案为：1或7【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解17. 已知为实数，且满足，则代数式的值为_【答案】3【解析】【分析】设，方程化为关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值.【详解】设，方程化为，分解因式得：，可得或，解得：或，.故答案为：.【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程

22、，做题时注意的值为非负数这个隐含条件.18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（5，0），直线与O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为_【答案】【解析】【分析】易知直线过定点D(2，2)，运用勾股定理可求出OD，由条件可求出半径OB，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题【详解】对于直线，当x=2时，y=2，故直线恒经过点(2，2)，记为点D过点D作DHx轴于点H，如下图所示OH=2，DH=2，OD= =点A(5，0)，OA=5，OB=OA=5，要使过定点D的弦BC最小，则点O到BC的距离最大，根据垂线段最短可知：过

23、圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短因此运用垂径定理及勾股定理可得BC的最小值为2BD=2=【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂线段最短是解题的关键三、解答题(共96分)19. 解一元二次方程（1）（配方法）（2） （3）；（4）【答案】（1）， ； （2），； （3）； （4）【解析】【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可；（3）运用因式分解法求解即可；（4）运用因式分解法求解即可【小问1详解】解：移项得：，配方得：，即：，；【小问2详解】移项得：，因式分解得：，或，；【小问3详解】解：提公因式得：，因式分解得：，；【小问4详

24、解】去括号整理得：，因式分解得：，或【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法是解题的关键20. 已知一元二次方程（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值【答案】（1）；（2)【解析】【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，0，把系数代入可求m范围；（2）利用根与系数的关系，已知结合，先求，再求m【详解】（1）方程有两个实数根，解得；（2）由根与系数的关系可知，解方程组，解得，【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键21. MN是一面长10m的墙，用长24m的篱笆，围成一个一面是

25、墙,中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为45m2，花圃的宽应当是多少？【答案】花圃的宽是5m.【解析】【分析】设花圃的宽为xm，则AB=x，BC=24-3x，利用面积公式表示出矩形的面积即可列出方程，根据实际情况求出x的值即可【详解】解：设花圃的宽为xm,那么它的长是 ，根据题意得方程，x（24-3x）=45即 ，解这个方程，得 ， ，根据题意，舍去 ，所以，花圃的宽是5m.【点睛】考查一元二次方程的应用，设出未知数，根据等量关系列出方程是解题的关键.22. 如图，在的方格纸中，A，B，C均为格点，按要求画图：仅用无刻度直尺，且不能用直尺的直角；保留必要的画图痕迹；标注相关

26、字母（1）找出过A，B，C三点的圆的圆心O，连结AO，BO（2）在O上找到一点P，画出BCP，使得【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用垂径定理确定圆心，然后连接AO，BO即可；（2）利用圆周角定理，即可作出图形【小问1详解】解：如图：取线段AD和AC的垂直平分线，交点是点O；连接OA、OB；【小问2详解】解：如（1）图，由圆周角定理得，取格点P，使得，则有；【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，网格问题，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出图形23. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D（1）求证：ACBD；（2）若大圆的半径r8，小圆的半径r

27、6，且圆心O到直线AB的距离为4，求AC的长【答案】（1）见解析 （2）AC【解析】【分析】（1）作OEAB于E，利用垂径定理即可证明结论；（2）利用勾股定理分别求出CE和AE的长，作差可得答案【小问1详解】证明：作OEAB，则AEBE，CEDE，故BEDEAECE；即ACBD；【小问2详解】解：连接OC，OA，OEAB且OECD，OE4，CEDE，DECE2，AE4，ACAECE42【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键24. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提

28、下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出23=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+23=26件（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1

29、200元根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20要求每件盈利不少于25元，x2=20应舍去，x=10答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天销售的利润是解题关键25. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是ABP的外接圆O的直径（1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若O的直径为2，求PC2+PB2的值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）只要证明，即可解决

30、问题；（2）证明，推出，利用勾股定理即可解决问题【详解】解：（1）证明：，是直径，是等腰直角三角形（2），【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、圆周角，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型26. 阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式（a0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围；解：令44(5y)0y4材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的

31、小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程（a0）有两个不相等的实数根则关于x的一元二次不等式（a0）的解集为：或则关于x的一元二次不等式（a0）的解集为：请根据上述材料，解答下列问题：（1）若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为6，求a的值；（2）求出代数式的取值范围；【答案】（1）a6或a6 （2）或2【解析】【分析】（1）仿照例题，设，变形为，根据，列出不等式，根据最小值为6，即可求解；（2）仿照例题，设y，变形为，根据，得，解法方程，得，根据材料二即可求解【小问1详解】解：设，变形为，可得，而由已知y6，故36，a6

32、或a6【小问2详解】设y，变形为，化简得，解得：，根据材料二，y或y2【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式来确定代数式的取值范围，仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，掌握一元二次方程根的判别式与解一元二次方程是解题的关键27. 探究题（1）知识储备如图1，已知点P为等边ABC外接圆的弧BC上任意一点求证：PB+PC=PA定义：在ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为ABC的费马距离（2）知识迁移我们有如下探寻ABC(其中A，B，C均小于120)的费马点和费马距离的方法：如图2，在ABC的外部以

33、BC为边长作等边BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段_的长度即为ABC的费马距离（3）知识应用如图3所示的ABC（其中均小于），现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；如图4，若三个村庄构成RtABC，其中现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为_（直接写结果）【答案】（1）证明见解析； （2）AD （3）5，【解析】【分析】（1）在PA上截取PD=PC，可证明ACDBCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；（2）利用（1）中结论得出PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，再根据“两点之间线段最

34、短”可得答案；（3）在（2）的基础上先画出图形，再利用勾股定理求解；仿照的方法可画出P的位置，利用勾股定理可求出输水管总长度的最小值，【小问1详解】解：证明：PA上截取PD=PC，连接CD，AB=AC=BC，所以，APB=APC=60，PCD为等边三角形，PCD=ACB=60，CP=CD，即ACD=BCP，在ACD和BCP中，ACDBCP(SAS)，AD=PB，PA=AD+DP，DP=PC，PA=PB+PC；【小问2详解】如图2，根据（1）的结论得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，当A、P、D共线时，PA+PB+PC的值最小，线段AD的长度即为ABC的费马距离，故答案为：A

35、D；【小问3详解】如图，以BC为边长在ABC的外部作等边BCD，连接AD，则线段AD的长即为最短距离，BCD为等边三角形，BC=4，CBD=60，BD=BC=4，ABC=30，ABD=90，在RtABD中，AB=3，BD=4，；以BC为边，在BC下方作等边BCK，设等边BCK外接圆为O，连接AK交O于P，则由知此时PA+PB+PC最短，且最短距离等于AK的长度，过K作KTAC交AC延长线于T，如图：BCK是等边三角形，BCK=60，CK=BC=，CAB=90，TCK=30，在RtCTK中，在RtAKT中，故答案为：【点睛】本题考查圆的综合应用，也是阅读理解型问题，主要考查了新定义：三角形费马点和费马距离，还考查了等边三角形的性质、三角形全等、勾股定理等知识，难度很大，理解新定义是本题的关键