2021-2022学年北京市海淀区六校联考八年级上期中数学试卷（含答案详解）

《2021-2022学年北京市海淀区六校联考八年级上期中数学试卷（含答案详解）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年北京市海淀区六校联考八年级上期中数学试卷（含答案详解）（27页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2021-2022 学年北京市海淀区六校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区六校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，共小题，共 30 分分. 1 “致中和，天地位焉，万物育焉 ”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2如图，ABCCDA，AC7cm，AB5cm，BC8cm，则 AD 的长是（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 3计算 x5x2的结果是（ ） Ax10 Bx7 Cx3 Dx2 4

2、下列运算正确的是（ ） A （a2）3a6 B3a22a36a6 Ca（a+1）a2+a Da2+a3a5 5在下列长度的四根木棒中，能与 3cm，8cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A3cm B5cm C7cm D12cm 6如图，在ABC 中，B70，点 D 在 BC 的延长线上，ACD150，则A 是（ ） A70 B80 C30 D100 7如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D，E若ABD 的周长为 13，BE5，则ABC 的周长为（ ） A14 B18 C23 D28 8如图，A、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路 l 上选取点 P 处建一

3、个服务中心，使 PA+PB 最短下面四种选址方案符合要求的是（ ） A B C D 9如图，在长为 3a+2，宽为 2b1 的长方形铁片上，挖去长为 2a+4，宽为 b 的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ） A6ab3a+4b B4ab3a2 C6ab3a+8b2 D4ab3a+8b2 10如图 1，ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，把ABC 纸片沿 AD 对折得到ADC，如图 2，点 E 和点 F 分别为 AD， AC 上的动点， 把ADC 纸片沿 EF 折叠， 使得点 A 落在ADC 的外部， 如图 3 所示 设12，则下列等式成立的是（ ） ABAC B2BAC CBAC2 D

4、3BAC2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，共小题，共 24 分分. 11计算：x（x3） 12在ABC 中，C90，AB30，则A 13已知一个正多边形的每个外角都等于 60，则这个正多边形是 边形 14等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 15 如图， BE 与 CD 交于点 A， 且BE 请添加一个条件使得ABCAED， 这个条件是： （写出一个即可） 16由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢， 然后套进衣服后松开即可 如图 1， 衣架杆 OAOB18cm， 若衣架收拢时， AOB60，

5、如图 2，则此时 A，B 两点之间的距离是 cm 17若表示一种新的运算，其运算法则为a2+bcd，则的结果为 18如图，ABC 中，ACB45，CD 平分ACB，BEAC 于点 E，CDAB 于点 D，且与 BE 交于点H，EFBC 于点 F，且与 CD 交于点 G则下面的结论：BECE；ADCG；CH2BD；CEAE+BH其中正确结论的序号是 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8 小题，共小题，共 46 分分.第第 19、20、22、23 题，每题题，每题 5 分；第分；第 21、24 题，每题题，每题 6 分；第分；第25、26 题，每题题，每题 7 分）分） 19 （5

6、 分）先化简，再求值： （x+3） （x2）+x（4x） ，其中 x2 20 （5 分）如图，已知 AB 平分CAD，ACAD求证：CD 21 （6 分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程 已知：O（如图 1） ，求作：一个角，使它等于O 作法：如图 2： 在O 的两边上分别任取一点 A，B； 以点 A 为圆心，OA 为半径画弧；以点 B 为圆心，OB 为半径画弧；两弧交于点 C； 连接 AC，BC 所以C 即为所求作的角 请根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下列证明 证明：连接 AB， OAAC，OB ， ， O

7、ABCAB （ ） （填推理依据） CO 22 （5 分）如图，AD 平分CAE，B30，CAE144，求ADB 与ACD 的度数 23 （5 分）如图所示，边长为 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点 A、B、C 都在格点上 （1）作关于ABC 关于 x 轴的对称图形DEF， （其中 A、B、C 的对称点分别是 D、E、F） ，并写出点D 坐标； （2）P 为 x 轴上一点，请在图中画出使PAB 的周长最小时的点 P，并直接写出此时点 P 的坐标 24 （6 分） 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 axy+6+3x5y1 的值与 x 的取值无关，求 a 的值 通

8、常的解题思路是：把 x、y 看作字母，a 看作系数，合并同类项因为代数式的值与 x 的取值无关，所以含 x 项的系数为 0 具体解题过程是：原式（a+3）x6y+5， 代数式的值与 x 的取值无关， a+30，解得 a3 【理解应用】 （1）若关于 x 的多项式 m（2x3）+2m24x 的值与 x 的取值无关，求 m 值； （2）已知 A（2x+1） （x2）x（13m） ，Bx2+mx1，且 A+2B 的值与 x 的取值无关，求 m 的值； 【能力提升】 （3）7 张如图 1 的小长方形，长为 a，宽为 b，按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都

9、是长方形设右上角的面积为 S1，左下角的面积为 S2，当 AB 的长变化时，S1S2的值始终保持不变，求 a 与 b 的等量关系 25 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，过点 B 作 BDAC 于点 D，点 E 在ABC 内部，连结 AE，BE，CE，其中 AE，BE 分别平分BAD，ABD （1）求AEB 的度数； （2）试判断BEC 的形状，并说明理由 26 （7 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，8） ，点 B 在第一象限，OAB 为等边三角形 （1）直接写出点 B 的纵坐标； （2）如图 2，OCAB 于点 C，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D，则点 D

10、 的纵坐标为 ；连接 AD交 OB 于 E，则 OE 的长为 （3） 若点 P 为 x 轴上的一个动点， 连接 PA， 以 PA 为边作等边PAQ， 当 OQ 最短时， 求 Q 点的纵坐标（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解） 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，共小题，共 30 分分. 1 “致中和，天地位焉，万物育焉 ”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项

11、分析判断利用排除法求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：C 【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 2如图，ABCCDA，AC7cm，AB5cm，BC8cm，则 AD 的长是（ ） A5cm B6cm C7cm D8cm 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边进而得出答案 【解答】解：ABCCDA，AC7cm，AB5cm，BC8cm， BCAD8cm 故选：D 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得

12、出对应边是解题关键 3计算 x5x2的结果是（ ） Ax10 Bx7 Cx3 Dx2 【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得答案 【解答】解：原式x52x3， 故选：C 【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键 4下列运算正确的是（ ） A （a2）3a6 B3a22a36a6 Ca（a+1）a2+a Da2+a3a5 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式a6，符合题意； B、原式6a5，不符合题意； C、原式a2a，不符合题意； D、原式不能合并，不符合题意， 故选：A 【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方

13、与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5在下列长度的四根木棒中，能与 3cm，8cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A3cm B5cm C7cm D12cm 【分析】首先设第三根木棒长为 xcm，根据三角形的三边关系定理可得 83x8+3，计算出 x 的取值范围，然后可确定答案 【解答】解：设第三根木棒长为 xcm，由题意得：83x8+3， 5x11， C 选项 7cm 符合题意， 故选：C 【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形 6如图，在ABC 中，B70，点 D 在 BC 的延长线上，ACD150，则A 是（

14、 ） A70 B80 C30 D100 【分析】根据三角形外角性质得出AACDB，再代入求出答案即可 【解答】解：B70，ACD150， AACDB1507080， 故选：B 【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 7如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交 AC，BC 于点 D，E若ABD 的周长为 13，BE5，则ABC 的周长为（ ） A14 B18 C23 D28 【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明ABD 的周长AB+AC，再求出 BC2BC 解答即可 【解答】解：BC 的垂直平分线分别交

15、 AC，BC 于点 D，E， DBDC，BEEC， BE5， BC10， ABD 的周长AB+AD+BDAB+AD+DCAB+AC13， ABC 的周长为 AB+AC+BC13+1023， 故选：C 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 8如图，A、B 是两个居民小区，快递公司准备在公路 l 上选取点 P 处建一个服务中心，使 PA+PB 最短下面四种选址方案符合要求的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论 【解答】解：根据题意得，在公路 l 上选取点 P，使 PA+PB 最短 则选项 A 符合要求， 故选：A

16、 【点评】 本题考查了轴对称的性质的运用， 最短路线问题数学模式的运用， 综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力 9如图，在长为 3a+2，宽为 2b1 的长方形铁片上，挖去长为 2a+4，宽为 b 的小长方形铁片，则剩余部分面积是（ ） A6ab3a+4b B4ab3a2 C6ab3a+8b2 D4ab3a+8b2 【分析】根据长方形的面积分别表示大长方形和小长方形的面积，再进行相减即可 【解答】解：剩余部分面积： （3a+2） （2b1）b（2a+4） 6ab3a+4b22ab4b 4ab3a2； 故选：B 【点评】本题考查了多项式与多项式相乘、单项式与多项式相乘，掌握这

17、两个运算法则，去括号时注意符号的变化是解题关键 10如图 1，ABC 中，ABAC，D 为 BC 中点，把ABC 纸片沿 AD 对折得到ADC，如图 2，点 E 和点 F 分别为 AD， AC 上的动点， 把ADC 纸片沿 EF 折叠， 使得点 A 落在ADC 的外部， 如图 3 所示 设12，则下列等式成立的是（ ） ABAC B2BAC CBAC2 D3BAC2 【分析】由等腰三角形的性质得出ADC90，如图 3，在四边形 MCDE 中，1+C+D+CME360，可得出122A，则可得出答案 【解答】解：如图 1， ABAC，D 为 BC 中点， ADBC，BADCAD， ADC90， 如

18、图 3，AC 与 AE 交于点 M， 把ADC 纸片沿 EF 折叠， AA， 在四边形 MCDE 中，1+C+D+CME360， 1360CDCME270CMEC， CMEAMF， 1270AMFC， 1270（1802A）（90A） ， 122A， 由图 1 可知 2DACBAC， BAC 故选：A 【点评】本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，共小题，共 24 分分. 11计算：x（x3） x23x 【分析】直接利用单项式乘以多项式计算得出答案 【解答】解：原式x23x 故答案为：x23

19、x 【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键 12在ABC 中，C90，AB30，则A 60 【分析】根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案 【解答】解：在ABC 中，C90， 则A+B90， 由题意得， 解得：A60，B30， 故答案为：60 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键 13已知一个正多边形的每个外角都等于 60，则这个正多边形是 六 边形 【分析】多边形的外角和等于 360，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成 60n，列方程可求解 【解答】解：设所求正 n 边形边数为 n， 则 60n360，

20、 解得 n6 故正多边形的边数是 6 故答案为：六 【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理 14等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长是 10 或 11 【分析】分 3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可 【解答】解：3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4， 此时能组成三角形， 周长3+3+410； 3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4， 此时能组成三角形， 所以周长3+4+411 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11 故答案为：10 或 11 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点

21、在于要分情况讨论 15如图，BE 与 CD 交于点 A，且BE请添加一个条件使得ABCAED，这个条件是： ACAD（答案不唯一） （写出一个即可） 【分析】根据三角形全等的判定方法填空 【解答】解：已知BE，BACEAD（对顶角相等） ，则添加一组对应边相等即可 故答案是：答案不唯一，但必须是一组对应边，如：ACAD， 在ABC 和AED 中， ， ABCAED（AAS） ， 故答案为：ACAD（答案不唯一） 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边

22、的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 16由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢， 然后套进衣服后松开即可 如图 1， 衣架杆 OAOB18cm， 若衣架收拢时， AOB60， 如图 2，则此时 A，B 两点之间的距离是 18 cm 【分析】根据有一个角是 60的等腰三角形的等边三角形进行解答即可 【解答】解：OAOB，AOB60， AOB 是等边三角形， ABOAOB18cm， 故答案为：18 【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是 60的等腰三角形的等边三角形进行分析 17若表示一种新的运算，其运算法则为a2+b

23、cd，则的结果为 m2+m2n3 【分析】根据新定义运算法则进行列式，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减 【解答】解：原式（2m）2+n2m2n3m2 4m2+m2n33m2 m2+m2n3， 故答案为：m2+m2n3 【点评】本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）namn，积的乘方（ab）nanbn运算法则是解题关键 18如图，ABC 中，ACB45，CD 平分ACB，BEAC 于点 E，CDAB 于点 D，且与 BE 交于点H，EFBC 于点 F，且与 CD 交于点 G则下面的结论：BECE；ADCG；CH2BD；CEAE+BH其中正确结论的序号是 【分析】利用等腰直角三角形的性质可

24、得是正确的，利用ABEHCE 可判定的正确；利用ABEHCE 可得 CHAB，根据等腰三角形的三线合一可知 AB2AD，显然 CH2CG，由此可得不正确 【解答】解：ACB45，BEAC， BEC 为等腰直角三角形， BECE， 正确； CDAB，BEAC， DCA+A90，ABE+A90 DCAABE 在ABE 和HCE 中， ， ABEHCE（ASA） ABCH，AEEH CD 平分ACB， ACDBCD， CDAB， ADCBDC90 在ACD 和BCD 中， ， ACDBCD（ASA） ADBD， AB2BD， CH2BD 正确； BEBH+EH， BEBH+AE ECAE+BH 正确

25、； EFBC，BEEC， EF 是BEC 的平分线， EHEC， G 不是 CH 的中点， 即 CH2CG， CH2BD， BDCG 不正确 综上，正确的结论为： 故答案为： 【点评】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质， 等腰直角三角形的判定与性质， 等腰三角形是性质，角平分线的定义，证明ABEHCE 是解题的关键 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8 小题，共小题，共 46 分分.第第 19、20、22、23 题，每题题，每题 5 分；第分；第 21、24 题，每题题，每题 6 分；第分；第25、26 题，每题题，每题 7 分）分） 19 （5 分）先化简，再求值： （x

26、+3） （x2）+x（4x） ，其中 x2 【分析】直接利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式分别化简，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案 【解答】解：原式x2+3x2x6+4xx2 5x6， 当 x2 时， 原式526 4 【点评】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用整式乘法运算是解题关键 20 （5 分）如图，已知 AB 平分CAD，ACAD求证：CD 【分析】根据角平分线的定义得到CABDAB，推出ACBADB，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】证明：AB 平分CAD， CABDAB， 在ACB 与ADB 中， ， ACBADB， CD 【点评】本题考查了全等三角形

27、的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键 21 （6 分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程 已知：O（如图 1） ，求作：一个角，使它等于O 作法：如图 2： 在O 的两边上分别任取一点 A，B； 以点 A 为圆心，OA 为半径画弧；以点 B 为圆心，OB 为半径画弧；两弧交于点 C； 连接 AC，BC 所以C 即为所求作的角 请根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形； （保留作图痕迹） （2）完成下列证明 证明：连接 AB， OAAC，OB BC ， ABAB ， OABCAB （ SSS ） （填推理依据） CO

28、 【分析】 （1）利用直尺和圆规，补全图形即可； （2）根据全等三角形的判定与性质即可完成证明 【解答】解： （1）如图 2，即为补全的图形； （2）证明：连接 AB， OAAC，OBBC，ABAB， OABCAB （SSS） CO 故答案为：BC，ABAB，边边边 【点评】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质 22 （5 分）如图，AD 平分CAE，B30，CAE144，求ADB 与ACD 的度数 【分析】根据角平分线的定义，由 AD 平分CAE，得EAD72根据三角形外角的性质，得EADB+ADB，故ADBEADB42根据平角的定义，得CAE144，那么BAC

29、180CAE36 根据三角形外角的性质， 得ACDB+BAC30+3666 【解答】解：AD 平分CAE， EAD72 EADB+ADB， ADBEADB723042 CAE144， BAC180CAE36 ACDB+BAC30+3666 【点评】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键 23 （5 分）如图所示，边长为 1 的正方形网格中，ABC 的三个顶点 A、B、C 都在格点上 （1）作关于ABC 关于 x 轴的对称图形DEF， （其中 A、B、C 的对称点分别是 D、E、F） ，并写出点D 坐标； （2）P 为 x 轴上一点

30、，请在图中画出使PAB 的周长最小时的点 P，并直接写出此时点 P 的坐标 【分析】 （1）分别作出点 A，B，C 关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）由 AB 是定值知PAB 的周长最小即 PA+PB 最小，据此连接 BD，与 x 轴的交点即为所求 【解答】解： （1）如图所示，DEF 即为所求，其中点 D 坐标为（2，4） （2）如图所示，点 P 即为所求，其坐标为（2，0） 【点评】此题主要作图轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质 24 （6 分） 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 axy+6+3x5y1 的值与

31、 x 的取值无关，求 a 的值 通常的解题思路是：把 x、y 看作字母，a 看作系数，合并同类项因为代数式的值与 x 的取值无关，所以含 x 项的系数为 0 具体解题过程是：原式（a+3）x6y+5， 代数式的值与 x 的取值无关， a+30，解得 a3 【理解应用】 （1）若关于 x 的多项式 m（2x3）+2m24x 的值与 x 的取值无关，求 m 值； （2）已知 A（2x+1） （x2）x（13m） ，Bx2+mx1，且 A+2B 的值与 x 的取值无关，求 m 的值； 【能力提升】 （3）7 张如图 1 的小长方形，长为 a，宽为 b，按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 ABCD

32、内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形设右上角的面积为 S1，左下角的面积为 S2，当 AB 的长变化时，S1S2的值始终保持不变，求 a 与 b 的等量关系 【分析】 （1） 由题可知代数式的值与 x 的取值无关， 所以含 x 项的系数为 0， 故将多项式整理为 （2m4）x+2m23m，令 x 系数为 0，即可求出 m； （2） 根据整式的混合运算顺序和法则化简 A+2B 可得 （5m4） x4， 根据其值与 x 无关得出 5m40，即可得出答案； （3）设 ABx，由图可知 S1a（x3b） ，S22b（x2a） ，即可得到 S1S2关于 x 的代数式，根据取值与 x 可得 a2b

33、【解答】解： （1）m（2x3）+2m24x 2mx3m+2m24x （2m4）x+2m23m， 其值与 x 的取值无关， 2m40， 解得，m2； （2）A（2x+1） （x2）x（13m）2x23x2x+3mx2x2+（3m4）x2，Bx2+mx1， A+2B2x2+（3m4）x2+2（x2+mx1） 2x2+（3m4）x22x2+2mx2 （5m4）x4， A+2B 的值与 x 无关， 5m40，即 m； （3）设 ABx，由图可知 S1a（x3b） ，S22b（x2a） ， S1S2a（x3b）2b（x2a）（a2b）x+ab， 当 AB 的长变化时，S1S2的值始终保持不变 S1S2

34、取值与 x 无关， a2b0， a2b 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于 y 的方程是解题的关键 25 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，过点 B 作 BDAC 于点 D，点 E 在ABC 内部，连结 AE，BE，CE，其中 AE，BE 分别平分BAD，ABD （1）求AEB 的度数； （2）试判断BEC 的形状，并说明理由 【分析】 （1）根据直角三角形的两锐角互余得ABD+BAD90，根据角平分线的定义得ABE+BAE（ABD+BAD）45，由三角形的内角和定理即可求解； （2）延长 AE 交 BC 于 F，根据等

35、腰三角形的性质可得 AFBC，BFCF，根据线段垂直平分线的性质得 BECE，可得EBCECB，由 ABAC 得ABCACB，则ABEACE，可得ACE+CAEABE+BAE45，由三角形的内角和定理得AEC135，根据周角的定义可得BEC90，即可得出结论 【解答】解： （1）BDAC， ABD+BAD90， AE，BE 分别平分BAD，ABD ABE+BAE（ABD+BAD）45， AEB180ABEBAE180（ABE+BAE）135； （2）BEC 是等腰直角三角形，理由如下： 延长 AE 交 BC 于 F， ABAC，AE 平分BAD， AFBC，BFCF， BECE， EBCECB

36、， ABAC， ABCACB， ABEACE， ACE+CAEABE+BAE45， AEC180ACECAE180（ACE+CAE）135， BEC360AEBAEC90， BEC 是等腰直角三角形 【点评】本题考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键 26 （7 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，8） ，点 B 在第一象限，OAB 为等边三角形 （1）直接写出点 B 的纵坐标； （2）如图 2，OCAB 于点 C，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D，则点 D 的纵坐标为 6 ；连接 AD交 OB 于 E，则 O

37、E 的长为 2 （3） 若点 P 为 x 轴上的一个动点， 连接 PA， 以 PA 为边作等边PAQ， 当 OQ 最短时， 求 Q 点的纵坐标（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解） 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得 AHOH4，即可求解； （2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得 ACCH，由等腰三角形的性质可得 AGGH2，可求 OG6，可得点 C 纵坐标，即可求点 D 纵坐标，由“AAS”可证AEODEN，可得 OEENON2； （3）由“SAS”可证AOPABQ，可得AOBABQ90，即点 Q 在过点 B 且垂直 AB 的直线BM 上运动，则当 OQBM 时，OQ有

38、最小值，由直角三角形的性质可求 OQ4，QK2，即可求解 【解答】解： （1）如图 1，过点 B 作 BHAO 于 H， 点 A 的坐标为（0，8） ， OA8， OAB 为等边三角形，BHAO， AOBOAB8，AHOH4， 点 B 的纵坐标为 4； （2）过点 B 作 BHAO 于 H，过点 C 作 CGAO 于 G，连接 CH，连接 CD 交 BO 于 N， OCAB，OAB 是等边三角形， ACBC， BHAO， CHACBC4， 又CGAH， AGGH2， OG6， 点 C 的纵坐标为 6， 点 C 关于 x 轴的对称点为点 D， 点 D 的纵坐标6，CDx 轴， CD12，CDAO

39、， DOAE，BCNBAO60，BNCAOB60， CNB 是等边三角形， CNBC4BNON， ND8AO， 又AEODEN， AEODEN（AAS） ， OEENON2， 故答案为：6，2； （3）如图 3，当点 Q 在 AP 的右侧时，连接 BQ，延长 QB 交 x 轴于 M， PAQ 是等边三角形， PAAQ，PAQBAO60， PAOQAB， 又AOAB， AOPABQ（SAS） ， AOBABQ90， 点 Q 在过点 B 且垂直 AB 的直线 BM 上运动， 当 OQBM 时，OQ有最小值， 过点 Q作 QKOM 于 K， OBQ180906030，OQBM， OQOB4，BOQ60， MOQ30， QKOM， QKOQ2， Q的纵坐标为2， 则当 OQ 最短时，Q 点的纵坐标为2 当点 Q在 AP 的左侧时，同理可求 Q点的纵坐标为2 综上所述：当 OQ 最短时，Q 点的纵坐标为2 【点评】 本题是几何变换综合题， 考查了等边三角形的性质， 全等三角形的判定和性质， 平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键