2021-2022学年北京市西城区二校联考八年级上期中数学试卷（含答案详解）

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1、2021-2022 学年北京市西城区二校联考八年级上期中数学试卷学年北京市西城区二校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分。分。 14 的平方根是（ ） A2 B2 C2 D16 2在下列实数中，无理数是（ ） A B C0 D9 3若 x2+2ax+16 是完全平方式，则 a 的值是（ ） A4 B8 C4 D8 4 如图， ABC 中， A30， 将ABC 沿 DE 折叠， 点 A 落在 F 处， 则FDB+FEC 的度数为 （ ） A140 B60 C70 D80 5一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中 等于（

2、） A105 B115 C120 D125 6如图，AC，BD 交于点 E，AECE，BEDE，则判定ABE 与CDE 全等的依据是（ ） ASSS BASA CSAS DAAS 7如图所示的 22 正方形网格中，1+2 等于（ ） A105 B90 C85 D95 8 如图， OP 平分MON， PAON 于点 A， 点 Q 是射线 OM 上一个动点， 若 PA3， 则 PQ 的最小值为 （ ） A1.5 B2 C3 D4 二、填空题共二、填空题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分。分。 9因式分解：3mx9my 10若（a4）01，则 a 11计算： （0.25）2

3、02142022 12如图，把长方形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若160，则AEF 13如图，已知12，要使ABEACE（ASA） ，还需添加的条件是： 14为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活动”每天值班老师和部分学生在校门两边站岗执勤（线段 CD 所在区域） 如图，ABOHCD，AC 与 BD 相交于 O，ODCD于点 D，ODOB，已知 AB300 米，请根据上述信息求出执勤区域 CD 的长度是 15如图，在ABC 中，C90，B20，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的

4、长为半径画弧，两弧交于 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则ADB 16如图，CAAB，垂足为点 A，射线 BMAB，垂足为点 B，AB12cm，AC6cm动点 E 从 A 点出发以 3cm/s 的速度沿射线 AN 运动，动点 D 在射线 BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持 EDCB若点 E 的运动时间为 ts（t0） ，则当 t 秒时，DEB 与BCA 全等 三、解答题共三、解答题共 10 小题，共小题，共 68 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （10 分）把下列各式因式分解： （1）4x264； （2）x32x

5、2y+xy2 18 （6 分）先化简，再求值： （x1）2x（x2）（x+3） （x3） ，其中 x1 19 （8 分） （1）若 aman（a0 且 a1，m，n 是正整数） ，则 mn你能利用上面的结论解决这个问题吗：如果 28x16x222，求 x 的值； （2）已知 x+y1，求 x3y+2x2y2+xy3的值 20 （8 分）如图，点 B，C，E，F 在同一直线上，点 A，D 在 BC 的异侧，ABCD，BFCE，BC （1）求证：AEDF （2）若A+D144，C30，求AEC 的度数 21 （8 分）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式

6、和完全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题 构图一，小函同学从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1） ） ，然后拼成一个平行四边形（如图（2） ） ，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） Aa2b2（ab）2B （a+b）2a2+2ab+b2C （ab）2a22ab+b2Da2b2（a+b） （ab） 构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为 a 的等腰直角三角形，如图 3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长

7、为 b（ab）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于 a、b 的等式 22 （8 分）已知：在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE90 （1）如图所示，直接写出线段 BE 和 CD 之间的数量关系和位置关系数量关系： ，位置关系： （2）将ADE 绕点 A 旋转到如图所示的位置，请判断（1）中所得线段 BE 和 CD 之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由 （3）猜想：若将题目中的“BACDAE90”改为“BACDAB60” ，其余条件不变，请直接写出直线 BE 和 CD 所夹锐角的度数为 23 （12 分）尺规作图之旅 下面是一幅纯手绘的画

8、作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题 【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画，不能实现的画 （1）过一点作一条直线 （2）过两点作一条直线 （3）画一条长为 3cm 的线段 （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆 【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段” ，接着，我们学习了使用尺规作图作一个角的角平分线，作

9、垂线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程 已知：AOB 求作：AOB使AOBAOB 作法： （1）如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； （2）画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； （3）以点 C为圆心， ； （4）过点 D，画射线 OB，则AOBAOB 说理：由作法得已知：OCOC，ODOD，CDCD 求证：AOBAOB 证明：OCDOCD（ ） 所以AOBAOB（ ） 【小试牛刀】依上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线 已知

10、：直线 l 与直线外一点 A 求作：过点 A 的直线 l，使得 ll 【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图 24 （8 分）阅读下列材料： 若一个正整数 x 能表示成 a2b2（a，b 是正整数，且 ab）的形式，则称这个数为“明礼崇德数” ，a与 b 是 x 的一个平方差分解例如：因为 53222，所以 5 是“明礼崇德数” ，3 与 2 是 5 的平方差分解； 再如： Mx2+2xyx2+2xy+y2y2 （x+y）2y2（x， y 是正整

11、数） ， 所以 M 也是 “明礼崇德数” ， （x+y）与 y 是 M 的一个平方差分解 （1）判断：9 “明礼崇德数” （填“是”或“不是” ） ； （2）已知（x2+y）与 x2是 P 的一个平方差分解，求 P； （3）已知 Nx2y2+4x6y+k（x，y 是正整数，k 是常数，且 xy+1） ，要使 N 是“明礼崇德数” ，试求出符合条件的一个 k 值，并说明理由 25 （4 分）附加题： 阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， （x2） （x5）x27x+10反过来，就得到 x27x+10的因式分解形式，即 x27x+10（x2） （x5） 把这个多项式的二次项系数 1 分解为

12、11，常数项10 分解为（2）（5） ，先将分解的二次项系数 1，1 分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2，5 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7（如图 1） 像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助”十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 例如，将二次三项式 4x2+x3 分解因式，它的”十字”如图 2： 所以，4x2+x3（x+1） （4x3） 请你用十

13、字相乘法将下列多项式分解因式： （1）x2+5x+6 ； （2）2x27x+3 ； （3）x2+（2m）x2m 26 （6 分） 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS” “SAS” “ASA” “AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等 【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE然后，对B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整 （1）第一种情况：当B 是直角时，ABCDEF 如图

14、 1，在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE90，根据 ，可以知道 RtABCRtDEF （2）第二种情况：当B 是钝角时，ABCDEF 如图 2，在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE，且B，E 都是钝角，求证：ABCDEF （3）第三种情况：当B 是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等 在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE，且B，E 都是锐角，请你用尺规在图 3 中作出DEF，使DEF 和ABC 不全等 （不写作法，保留作图痕迹） （4）在（3）中，B 与C 的大小关系还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请根据以上作图过程直接写出结论 参考答案解析参考答

15、案解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分。分。 14 的平方根是（ ） A2 B2 C2 D16 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题 【解答】解：（2）24， 4 的平方根是2 故选：C 【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 2在下列实数中，无理数是（ ） A B C0 D9 【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、是分数，所以是有理数，故本选项错误； B、是

16、开方开不尽的数，是无理数，故本选项正确； C、0 是整数，是有理数，故本选项错误； D、9 是整数，是有理数，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查的是无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数 3若 x2+2ax+16 是完全平方式，则 a 的值是（ ） A4 B8 C4 D8 【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题 【解答】解：x2+2ax+16 是完全平方式， 2ax24x 2ax8x a4 故选：C 【点评】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键 4 如图， ABC 中， A30，

17、 将ABC 沿 DE 折叠， 点 A 落在 F 处， 则FDB+FEC 的度数为 （ ） A140 B60 C70 D80 【分析】由折叠得到A 与F 的关系，再利用平角、四边形的内角和得到FDB+FEC 的度数 【解答】解：DEF 是由DEA 折叠而成的， AF30 A+ADF+AEF+F360， ADF+AEF360AF300 BDF180ADF， FEC180AEF， FDB+FEC180ADF+180AEF 360（ADF+AEF） 360300 60 故选：B 【点评】本题考查了三角形的内角和，掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键 5一副三角板按如图所示方式叠放在一起，

18、则图中 等于（ ） A105 B115 C120 D125 【分析】由 是BDC 的外角，利用三角形外角的性质即可得出答案 【解答】解：如图， 是BDC 的外角，D60，BCD45， D+BCD60+45105， 故选：A 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键 6如图，AC，BD 交于点 E，AECE，BEDE，则判定ABE 与CDE 全等的依据是（ ） ASSS BASA CSAS DAAS 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论 【解答】解：在ABE 与CDE 中， ， ABECDE（SAS） ， 故选：C 【点评】本

19、题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有 HL 7如图所示的 22 正方形网格中，1+2 等于（ ） A105 B90 C85 D95 【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出ABC 和DEA 全等，根据全等三角形对应角相等可得23，再根据直角三角形两锐角互余求解 【解答】解：如图，在ABC 和DEA 中， ， ABCDEA（SAS） ， 23， 在 RtABC 中，1+390， 1+290 故选：B 【点评】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识

20、图并确定出全等三角形是解题的关键 8 如图， OP 平分MON， PAON 于点 A， 点 Q 是射线 OM 上一个动点， 若 PA3， 则 PQ 的最小值为 （ ） A1.5 B2 C3 D4 【分析】根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出 PQPA，此题得解 【解答】解：OP 平分MON，PAON 于点 A，PA3， PQPA3 故选：C 【点评】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出 PQ的最小值是解题的关键 二、填空题共二、填空题共 8 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 16 分。分。 9因式分解：3mx9my 3m（x3y

21、） 【分析】直接提取公因式 3m，进而分解因式得出答案 【解答】解：3mx9my3m（x3y） 故答案为：3m（x3y） 【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确找出公因式是解题关键 10若（a4）01，则 a a4 【分析】根据零指数幂的意义即可得到结论 【解答】解：（a4）01， a40， a4， 故答案为：a4 【点评】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的意义是解题的关键 11计算： （0.25）202142022 4 【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可 【解答】解： （0.25）202142022 （）2021420214 （4）20214

22、14 4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 12如图，把长方形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若160，则AEF 120 【分析】由邻补角可求得BFG120，再由折叠的性质可得BFE60，利用平行线的性质即可求AEF 的度数 【解答】解：如图， 160， BFG1801120， 由折叠性质得：BFEGFE， BFE60， 四边形 ABCD 是长方形， ADBC， AEF180BFE120 故答案为：120 【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补 13如图，已知12，要使ABEAC

23、E（ASA） ，还需添加的条件是： BAECAE 【分析】根据题意可得AEBAEC，又 AE 公共边，所以根据全等三角形的 ASA 判定方法即可找到添加的条件 【解答】解：12， AEBAEC， 在ABE 和ACE 中， ， ABEACE（ASA） ， BAECAE 时，ABEACE（ASA） 故答案为：BAECAE 【点评】此题考查三角形全等的判定方法，熟记“两角与夹边对应相等的两三角形全等”是解决问题的关键 14为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活动”每天值班老师和部分学生在校门两边站岗执勤（线段 CD 所在区域） 如图，ABOHCD，AC 与 BD 相交于

24、 O，ODCD于点 D，ODOB，已知 AB300 米，请根据上述信息求出执勤区域 CD 的长度是 300m 【分析】由 ABCD，利用平行线的性质可得ABOCDO，由垂直的定义可得CDO90，易得OBAB，由相邻两平行线间的距离相等可得 ODOB，利用 ASA 定理可得ABOCDO，由全等三角形的性质可得标语 CD 的长度 【解答】解：ABCD， ABOCDO， ODCD， CDO90， ABO90，即 OBAB， 相邻两平行线间的距离相等， ODOB， 在ABO 与CDO 中， ， ABOCDO（ASA） ， CDAB300m 即执勤区域 CD 的长度是 300m， 故答案为：300m 【

25、点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质定理，平行线的性质，证得ABOCDO 是解答此题的关键 15如图，在ABC 中，C90，B20，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M和 N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，则ADB 125 【分析】根据角平分线的作法可得 AD 平分CAB，再根据三角形内角和定理可得ADB 的度数 【解答】解：由题意可得：AD 平分CAB， C90，B20， CAB70， CADBAD35， ADB1802035125 故答案为：125 【点评】此题主要考查了角平分线的作法

26、以及角平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出ADB 度数是解题关键 16如图，CAAB，垂足为点 A，射线 BMAB，垂足为点 B，AB12cm，AC6cm动点 E 从 A 点出发以 3cm/s 的速度沿射线 AN 运动，动点 D 在射线 BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持 EDCB若点 E 的运动时间为 ts（t0） ，则当 t 2 或 6 或 8 秒时，DEB 与BCA 全等 【分析】此题要分两种情况：当 E 在线段 AB 上时，当 E 在 BN 上，再分别分成两种情况 ACBE，ACBE 进行计算即可 【解答】解：当 E 在线段 AB 上，ACBE 时，ACBBED， AC6，

27、 BE6， AE1266， 点 E 的运动时间为 632（秒） ； 当 E 在 BN 上，ACBE 时， AC12+618， 点 E 的运动时间为 1836（秒） ； 当 E 在线段 AB 上，ABEB 时，ACBBDE， 这时 E 在 A 点未动，因此时间为 0 秒（舍去此情况） ； 当 E 在 BN 上，ABEB 时，ACBBDE， AE12+1224， 点 E 的运动时间为 2438（秒） ， 故答案为：2 或 6 或 8 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等

28、，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角 三、解答题共三、解答题共 10 小题，共小题，共 68 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 （10 分）把下列各式因式分解： （1）4x264； （2）x32x2y+xy2 【分析】 （1）先提公因式 4，再利用平方差公式即可； （2）先提公因式 x，再利用完全平方公式即可 【解答】解： （1）原式4（x216） 4（x+4） （x4） ； （2）原式x（x22xy+y2） x（xy）2 【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全

29、平方公式的结构特征是正确应用的前提 18 （6 分）先化简，再求值： （x1）2x（x2）（x+3） （x3） ，其中 x1 【分析】根据整式的混合运算先化简后再把 x 的值代入即可求解 【解答】解： （x1）2x（x2）（x+3） （x3） （x22x+1）（x22x）（x29） x22x+1x2+2xx2+9 x2+10 当 x1 时，原式1+109 【点评】本题考查了整式的化简，属于基础题，关键是先化简再求值 19 （8 分） （1）若 aman（a0 且 a1，m，n 是正整数） ，则 mn你能利用上面的结论解决这个问题吗：如果 28x16x222，求 x 的值； （2）已知 x+y1

30、，求 x3y+2x2y2+xy3的值 【分析】 （1）化同底数幂计算 （2）先因式分解，再整体代换求值 【解答】解：28x16x21+3x+4x222 1+3x+4x22， 解得，x3 （2）原式xy（x+2xy+y） xy（x+y） 把 x+y1，xy代入 原式1 【点评】 （1）本题考查幂的运算法则及因式分解的应用，化同底及正确的因式分解是求解本题的关键 20 （8 分）如图，点 B，C，E，F 在同一直线上，点 A，D 在 BC 的异侧，ABCD，BFCE，BC （1）求证：AEDF （2）若A+D144，C30，求AEC 的度数 【分析】 （1）证ABEDCF（SAS） ，得AEBDF

31、C，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得AD，BC30，再求出A72，然后由三角形的外角性质求解即可 【解答】 （1）证明：BFCE， BF+EFCE+EF， 即 BECF， 在ABE 和DCF 中， ， ABEDCF（SAS） ， AEBDFC， AEDF； （2）解：ABEDCF， AD，BC30， A+D144， A72， AECA+B72+30102 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键 21 （8 分）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，如：学习平方差公式和完

32、全平方公式，我们通过构造几何图形，用面积法可以很直观地推导出公式以下三个构图都可以用几何方法生成代数结论，请尝试解决问题 构图一，小函同学从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图（1） ） ，然后拼成一个平行四边形（如图（2） ） ，那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ D ） Aa2b2（ab）2B （a+b）2a2+2ab+b2C （ab）2a22ab+b2Da2b2（a+b） （ab） 构图二、小云同学在数学课上画了一个腰长为 a 的等腰直角三角形，如图 3，他在该三角形中画了一条平行于一腰的线段，得到一个腰长

33、为 b（ab）的新等腰直角三角形，请你利用这个图形推导出一个关于 a、b 的等式 【分析】 （1）根据图（1）中阴影部分面积和图（2）图形面积的不同表示方法，可得 a2b2（a+b） （ab） ； （2）通过表示图（3）中梯形面积，可推导出等式 a2b2（a+b） （ab） 【解答】解：构图一，图（1）中阴影部分面积为：a2b2， 图（2）的面积为： （a+b） 2（ab）（a+b） （ab） ， 可得等式为；a2b2（a+b） （ab） ， 故选 D； 构图二、用两种方式表示梯形的面积， 可得到（a2b2） ， 也可表示为：（a+b） （ab） ， 可得等式（a2b2）（a+b） （ab）

34、， 即 a2b2（a+b） （ab） 【点评】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列出算式并计算 22 （8 分）已知：在ABC 和ADE 中，ABAC，ADAE，BACDAE90 （1）如图所示，直接写出线段 BE 和 CD 之间的数量关系和位置关系数量关系： BECD ，位置关系： BECD （2）将ADE 绕点 A 旋转到如图所示的位置，请判断（1）中所得线段 BE 和 CD 之间的关系是否依然成立，若成立请给予证明，若不成立请说明理由 （3）猜想：若将题目中的“BACDAE90”改为“BACDAB60” ，其余条件不变，请直接写出直线 BE 和 CD 所夹锐角的

35、度数为 60 【分析】 （1）由“SAS”可证ADCAEB，可得 BECD，ABEACD，由余角的性质可得BND90，可得结论； （2）由“SAS”可证ADCAEB，可得 BECD，ABEACD，由三角形的内角和定理可得 BECD； （3）由“SAS”可证ADCAEB，可得 BECD，ABEACD，由三角形的内角和定理可求BFC60 【解答】解： （1）如图延长 BE 交 CD 于 N， ABAC，ADAE，BACDAE90， ADCAEB（SAS） ， BECD，ABEACD， ADC+ACD90， ABE+ADC90， BND90， BECD， 故答案为：BECD，BECD； （2）结论仍

36、然成立， 理由如下：BACDAE90， BAECAD， 又ABAC，AEAD， BAECAD（SAS） ， BECD，ABEACD， ABE+EBC+ACB90， EBC+ACB+ACD90， BFC90， BECD； （3）如图 3， ABAC，BAC60， ABCACB120， BACDAB60， BAECAD， 又ABAC，AEAD， BAECAD（SAS） ， BECD，ABEACD， ABE+EBC+ACB120， EBC+ACB+ACD120， BFC60， 故答案为：60 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运

37、用这些性质进行推理是本题的关键 23 （12 分）尺规作图之旅 下面是一幅纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题 【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画，不能实现的画 （1）过一点作一条直线 （2）过两点作一条直线 （3）画一条长为 3cm 的线段 （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆 【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那

38、就是“作一条线段等于已知线段” ，接着，我们学习了使用尺规作图作一个角的角平分线，作垂线而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程 已知：AOB 求作：AOB使AOBAOB 作法： （1）如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； （2）画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； （3） 以点 C为圆心， 以点 C为圆心， 以 CD 为半径画弧， 与第二个步中所画的弧相交于点 D； ； （4）过点 D，画射线 OB，则AOBAOB 说理：由作法得已知：OCOC，ODOD

39、，CDCD 求证：AOBAOB 证明：OCDOCD（ SSS ） 所以AOBAOB（ 全等三角形的对应角线段 ） 【小试牛刀】依上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线 已知：直线 l 与直线外一点 A 求作：过点 A 的直线 l，使得 ll 【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图 【分析】 【作图原理】根据尺规作图的定义，一一判断即可； 【回顾思考】利用尺规作图作一个角等于已知角以及全等三角形的判定和性质解决问题即可 【小

40、试牛刀】利用同位角相等两直线平行解决问题即可； 【创新应用】根据题意作出图形（答案不唯一） 【解答】解： 【作图原理】 （1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：，； 【回顾思考】 作法： （3）以点 C为圆心，以 CD 为半径画弧，与第二个步中所画的弧相交于点 D； （4）证明：OCDOCD（SSS） ； AOBAOB（全等三角形的对应角相等） ， 故答案为：以点 C为圆心，以 CD 为半径画弧，与第二个步中所画的弧相交于点 D，SSS，全等三角形的对应角相等； 【小试牛刀】如图，直线 l即为所求 【创新应用】 ： （图和说明共 2 分） 如图所示（答案不唯一） ，设计意图：书架中隐

41、藏着无限宝藏， 【点评】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型 24 （8 分）阅读下列材料： 若一个正整数 x 能表示成 a2b2（a，b 是正整数，且 ab）的形式，则称这个数为“明礼崇德数” ，a与 b 是 x 的一个平方差分解例如：因为 53222，所以 5 是“明礼崇德数” ，3 与 2 是 5 的平方差分解； 再如： Mx2+2xyx2+2xy+y2y2 （x+y）2y2（x， y 是正整数） ， 所以 M 也是 “明礼崇德数” ， （x+y）与 y 是 M 的一个平方差分解 （1）判断：9

42、是 “明礼崇德数” （填“是”或“不是” ） ； （2）已知（x2+y）与 x2是 P 的一个平方差分解，求 P； （3）已知 Nx2y2+4x6y+k（x，y 是正整数，k 是常数，且 xy+1） ，要使 N 是“明礼崇德数” ，试求出符合条件的一个 k 值，并说明理由 【分析】 （1）根据 95242和“明礼崇德数”的定义进行判断； （2）根据“明礼崇德数”的定义进行计算即可； （3）通过因式分解得 N（x+2）2（y3）2+k+5，根据“明礼崇德数”的定义，列出 k 的方程求得 k即可 【解答】解： （1）95242， 9 是“明礼崇德数” ， 故答案为：是； （2）（x2+y）与 x2

43、是 P 的一个平方差分解， P（x2+y）2（x2）2 x4+2x2y+y2x4 2x2y+y2； （3）当 k+50 时，N 为“明礼崇德数” ，理由如下： Nx2y2+4x6y+k（x2+4x+4）（y2+6y+9）+k+5（x+2）2（y+3）2+k+5， 当 k+50 时，N（x+2）2（y+3）2为“明礼崇德数” ， 此时 k5， 故当 k5 时，N 为“明礼崇德数” 【点评】本题主要考查了平方差公式的运用解题的关键是理解新定义的意思 25 （4 分）附加题： 阅读下列材料：根据多项式的乘法，我们知道， （x2） （x5）x27x+10反过来，就得到 x27x+10的因式分解形式，即

44、 x27x+10（x2） （x5） 把这个多项式的二次项系数 1 分解为 11，常数项10 分解为（2）（5） ，先将分解的二次项系数 1，1 分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再把2，5 分别写在十字交叉线的右上角和右下角，我们发现，把它们交叉相乘，再求代数和，此时正好等于一次项系数7（如图 1） 像上面这样，先分解二次项系数，把它们分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，把它们分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其正好等于一次项系数，我们把这种借助”十字”方式，将一个二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 例如，将二次三项式 4x2+x3 分解因式，

45、它的”十字”如图 2： 所以，4x2+x3（x+1） （4x3） 请你用十字相乘法将下列多项式分解因式： （1）x2+5x+6 （x+2） （x+3） ； （2）2x27x+3 （2x1） （x3） ； （3）x2+（2m）x2m （x+2） （xm） 【分析】根据阅读材料中的十字相乘法即可得出答案 【解答】解： （1） 由上图可知：x2+5x+6（x+2） （x+3） ， 故答案为： （x+2） （x+3） ， （2） 由上图可知：2x27x+3（2x1） （x3） ， 故答案为： （2x1） （x3） ， （3） 由上图可知：x2+（2m）x2m（x+2） （xm） ， 故答案为： （x+

46、2） （xm） 【点评】本题考查了十字相乘法因式分解，关键是读懂材料掌握十字相乘的基本步骤 26 （6 分） 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS” “SAS” “ASA” “AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等 【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE然后，对B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究 【深入探究】过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整 （1）第一种情况：当B 是直角时，ABCDEF 如图 1， 在ABC 和

47、DEF 中， ABDE， ACDF， BE90， 根据 HL ， 可以知道 RtABCRtDEF （2）第二种情况：当B 是钝角时，ABCDEF 如图 2，在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE，且B，E 都是钝角，求证：ABCDEF （3）第三种情况：当B 是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等 在ABC 和DEF 中，ABDE，ACDF，BE，且B，E 都是锐角，请你用尺规在图 3 中作出DEF，使DEF 和ABC 不全等 （不写作法，保留作图痕迹） （4）在（3）中，B 与C 的大小关系还要满足什么条件，就可以使ABCDEF？请根据以上作图过程直接写出结论 【分析】 （1）直接

48、利用 HL 定理得出 RtABCRtDEF 即可； （2）先证AGBDHE（AAS） ，则 AGDH，再证 RtACGRtDFH，的CF，然后由 AAS证明ABCDEF 即可； （3）以 A 为圆心、AC 长为半径画弧，交 BC 于 F，得钝角三角形 DEF，则DEF 和ABC 不全等； （4）利用（3）中方法可得出当BC，且C90时，则ABCDEF 【解答】 （1）解：BE90， ABC 和DEF 是直角三角形， ACDF，ABDE， RtABCRtDEF（HL） ， 故答案为：HL； （2）证明：如图 2，过点 A 作 AGCB 交 CB 的延长线于点 G，过点 D 作 DHFE 交 FE 的延长线于点H 则AGBDHE90， ABCDEF， ABGDEH， ABDE， AGBDHE（AAS） ， AGDH， ACDF， RtACGRtDFH（HL） ， CF， 又ABCDEF，ABDE， ABCDEF（AAS） （3）解：如图 3，DEF 即为所求； （4）解：BC，且C90，理由如下： 由图 3 可知，CAFCB+BAF， CB， 当BC，且C90时，ABC 就唯一确定了， 则ABCDEF 【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的评定方法是解题的关键