2021-2022学年北京市海淀区三校联考八年级上期中数学试卷（含答案详解）

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1、2021-2022 学年北京市海淀区三校联考八年级上期中数学试卷学年北京市海淀区三校联考八年级上期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批人类非物质文化遗产代表作名录 ，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 2下列运算正确的是（ ） Aa2a5a10 Ba2+a2a4 C （a2b）3a5b3 D （a2）4a8 3下列运算正确的是（ ） Aa4+a4a8 B （a2）3a6 Ca2a3a5 D （2ab2）32a3b6 4已知等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则它的周长是（ ）

2、 A12 B16 C20 D16 或 20 5在课堂上，张老师布置了一道画图题： 画一个 RtABC，使B90，它的两条边分别等于两条已知线段小刘和小赵同学先画出了MBN90之后，后续画图的主要过程分别如图所示 那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ） ASAS，HL BHL，SAS CSAS，AAS DAAS，HL 6如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ABADDC，BAD40，则C 为（ ） A25 B35 C40 D50 7如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAB 交 AC 于点 E，若 DE7，CE5，则 AC（ ） A11 B12 C13 D14 8

3、如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P （1）在直线 l 上取一点 A，连接 PA； （2）作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，PA 于点 B，O； （3）以 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线 MN 于另一点 Q； （4）作直线 PQ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AOPQOAB BPQAB C若APQ60，则 PQPA D 二、填空题（共二、填空题（共 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9点 P（2，5）关于 x 轴对称的点是 10计算：0.25202042021 11如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 2 米后向左转 36，再沿直线前进

4、 2 米，又向左转 36照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米 12如图，ABCABC，其中A36，C24，则B 13如图，ABAC，要使ABEACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可） 14某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点 O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的即挂铅锤的线绳与房梁直） ，用到的数学原理是 15如图，在ABC 中，BD 是边 AC 上的高，CE 平分ACB，交 BD 于点 E，DE2，BC5，则BCE的面积为 16如图，在

5、ABC 中，BAC80，C45，AD 是ABC 的角平分线，那么ADB 度 17如图，在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D，交 AB 于 E 点，连结BD，则DBC 的度数为 度 18 （1）如图，MAB30，AB2cm点 C 在射线 AM 上，利用图 1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题你画图时，选取的 BC 的长约为 cm（精确到0.1cm） （2）MAB 为锐角，ABa，点 C 在射线 AM 上，点 B 到射线 AM 的距离为 d，BCx，若ABC 的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 三、解答题：

6、（共三、解答题： （共 46 分，分，19 题题 5 分，分，20、21 每题每题 6 分，分，22、23、25 每题每题 7 分，分，24 题题 8 分）分） 19 （5 分）如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，点 B 和点 E 在直线 AD 的两侧，且 AFDC，BCFE，AD 求证：ABDE 20 （6 分）如图，已知 A（2，3） ，B（3，1） ，C（1，2） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （其中 A、B、C分别是 A，B，C 的对应点，不写画法） （2）A、B、C的坐标分别为 ； （3）ABC 的面积是 21 （6 分）已知：如图，线段 AB 和射线 BM

7、交于点 B （1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹 （不要求写作法） 在射线 BM 上求作一点 C，使 ACAB； 在线段 AB 上求作一点 D，使点 D 到 BC，AC 的距离相等； （2）在（1）所作的图形中，若ABM72，则图中与 BC 相等的线段是 22 （7 分） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置， 图 2 是由它抽象出的几何图形， B， C，E 在同一条直线上，连接 DC （1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ； （2）证明：DCBE 23 （7 分） 如图， 在ABC 中， ABC45， BDAC 于点 D，

8、过点 C 作 CEAB 于点 E， 交 BD 于点 F （1）求证：ABDACE； （2）求证：EFAE 24 （8 分）如图，在等边ABC 内作射线 AD，BAD（060） ，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E连接 EC 并延长交射线 AD 于点 F （1）补全图形； （2）求AFE 的度数； （3）用等式表示线段 AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明 25 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 AB 及点 P，给出如下定义： 若点 P 满足 PAPB，则称 P 为线段 AB 的“轴点” ，其中，当 0APB60时，称 P 为线段 AB 的“远轴点” ；当 60APB180

9、时，称 P 为线段 AB 的“近轴点” （1）如图 1，点 A，B 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） ，则在 P1（1，3） ，P2（0，2） ，P3（0，1） ，P4（0，4）中，线段 AB 的“近轴点”是 （2）如图 2，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 在 y 轴正半轴上，OAB30 若 P 为线段 AB 的“远轴点” ，直接写出点 P 的横坐标 t 的取值范围 ； 点 C 为 y 轴上的动点（不与点 B 重合且 BCAB） ，若 Q 为线段 AB 的“轴点” ，当线段 QB 与 QC 的和最小时，求点 Q 的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（下列各题均为四个选项，其

10、中只有一个选项符合题意，共一、选择题（下列各题均为四个选项，其中只有一个选项符合题意，共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1剪纸是我国最古老的民间艺术之一，被列入第四批人类非物质文化遗产代表作名录 ，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误 故选：B 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 2下列运算正确的是（ ） Aa2a5a10 Ba2+a2a4 C

11、 （a2b）3a5b3 D （a2）4a8 【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可 【解答】解：A、a2a5a7，故 A 不符合题意； B、a2+a22a2，故 B 不符合题意； C、 （a2b）3a6b3，故 C 不符合题意； D、 （a2）4a8，故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握 3下列运算正确的是（ ） Aa4+a4a8 B （a2）3a6 Ca2a3a5 D （2ab2）32a3b6 【分析】根据合并同类项运算法则进行计算判断 A，根

12、据幂的乘方运算法则进行计算判断 B，根据同底数幂相乘的运算法则进行计算判断 C，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算判断 D 【解答】解：A、a4+a42a4，故此选项不符合题意； B、 （a2）3a6，故此选项不符合题意； C、a2a3a5，故此选项符合题意； D、 （2ab2）38a3b6，故此选项不符合题意； 故选：C 【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方（am）namn，积的乘方（ab）nanbn运算法则是解题关键 4已知等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则它的周长是（ ） A12 B16 C20 D16 或 20 【分析】因为三角形的

13、底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论 【解答】解：等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 8，则第三边可能是 4，也可能是 8， （1）当 4 是腰时，4+48，不能构成三角形； （2）当 8 是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长8+8+420 故选：C 【点评】本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键 5在课堂上，张老师布置了一道画图题： 画一个 RtABC，使B90，它的两条边分别等于两条已知线段小刘和小赵同学先画出了MBN90之后，后续画图的主要过程分别如图所示 那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ） ASAS，HL BHL，SA

14、S CSAS，AAS DAAS，HL 【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可 【解答】解：小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边， 确定依据是 SAS 定理； 小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边， 确定依据是 HL 定理 故选：A 【点评】本题考查的是作图复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键 6如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 ABADDC，BAD40，则C 为（ ） A25 B35 C40 D50 【分析】先根据 ABAD，利用三角形内角和定理求出B 和ADB 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出C 的大小 【解答】解：ABAD， BAD

15、B， 由BAD40得B70ADB， ADDC， CDAC， CADB35 故选：B 【点评】 此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理， 三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 7如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAB 交 AC 于点 E，若 DE7，CE5，则 AC（ ） A11 B12 C13 D14 【分析】先根据角平分线的性质得出BADCAD，再根据平行线的性质得出CADADE，故可得出 AEDE7，再根据 ACAE+CE 即可得出结论 【解答】解：ABC 中，AD 是BAC 的平分线， BADCAD， D

16、EAB，DE7，CE5， CADADE， AEDE7， ACAE+CE7+512 故选：B 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键 8如图，已知直线 l 及直线 l 外一点 P （1）在直线 l 上取一点 A，连接 PA； （2）作 PA 的垂直平分线 MN，分别交直线 l，PA 于点 B，O； （3）以 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交直线 MN 于另一点 Q； （4）作直线 PQ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） AOPQOAB BPQAB C若APQ60，则 PQPA D 【分析】利用作法得 OPOA，OQOB，则可判

17、断OPQOAB（SAS） ，于是可对 A 选项进行判断；根据全等三角形的性质得到OPQOAB， 则根据平行线的判定可对 B 选项进行判断； 若APQ60，则PQO30，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OPPQ，则可对 C 选项进行判断；由于 OQOB，所以只有当 OAOB 时，APBQ，则可对 D 选项进行判断 【解答】解：由作法得 OPOA，OQOB POQAOB， OPQOAB（SAS） ，所以 A 选项的结论正确； OPQOAB， PQAB，所以 B 选项的结论正确； 若APQ60，则PQO30， OPPQ， OPOA， PAPQ，所以 C 选项的结论正确； OPQOAB，

18、OQOB， 只有当 OAOB 时，APBQ，所以 D 选项的结论错误 故选：D 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法也考查了线段垂直平分线的性质 二、填空题（共二、填空题（共 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9点 P（2，5）关于 x 轴对称的点是 （2，5） 【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特征（横坐标相同，纵坐标互为相反数）解决此题 【解答】解：点 P（2，5）关于 x 轴对称的点是（2，5） 故答案为： （2，5） 【点评】本题主要考查关于 x 轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于 x 轴对称的点

19、的坐标特征是解决本题的关键 10计算：0.25202042021 4 【分析】积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可 【解答】解：0.25202042021 0.252020420204 （0.254）20204 120204 14 4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键 11如图，小明从 A 点出发，沿直线前进 2 米后向左转 36，再沿直线前进 2 米，又向左转 36照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 20 米 【分析】根据多边形的外角和即可确定小明走的边数，边数乘以 2 即可得出答案 【解答】解：由

20、图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是 36， 由 3603610 可知是正十边形，有 10 条相等的边， 小明一共走了 10220 米， 故答案为：20 【点评】本题主要考查正多边形的外角和定理，关键是要牢记多边形的外角和为 360 12如图，ABCABC，其中A36，C24，则B 120 【分析】根据全等三角形的性质求出C 的度数，根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解：ABCABC， CC24， B180AC120， 故答案为：120 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键 13 如图， ABAC， 要使ABE

21、ACD， 应添加的条件是 BC 或 AEAD （添加一个条件即可） 【分析】要使ABEACD，已知 ABAC，AA，则可以添加 AEAD 从而利用 SAS 来判定其全等，或添加BC 从而利用 AAS 来判定其全等 【解答】解：添加BC 或 AEAD 后可分别根据 ASA、SAS 判定ABEACD 故答案为：BC 或 AEAD 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键 14某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的

22、房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点 O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点， 由此得出房梁是水平的即挂铅锤的线绳与房梁直） ， 用到的数学原理是 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合 【分析】根据ABC 是个等腰三角形可得 ACBC，再根据点 O 是 AB 的中点，即可得出 OCAB，然后即可得出结论 【解答】解：ABC 是个等腰三角形， ACBC， 点 O 是 AB 的中点， AOBO， OCAB 故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合 【点评】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活

23、联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的 15如图，在ABC 中，BD 是边 AC 上的高，CE 平分ACB，交 BD 于点 E，DE2，BC5，则BCE的面积为 5 【分析】作 EFBC 于 F，根据角平分线的性质求得 EFDE2，然后根据三角形面积公式求得即可 【解答】解：作 EFBC 于 F， CE 平分ACB，BDAC，EFBC， EFDE2， SBCEBCEF525 故答案为：5 【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键 16如图，在ABC 中，BAC80，C45，AD 是ABC 的角平分线，那么ADB 85 度

24、【分析】根据角平分线的定义求出CAD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解 【解答】解：AD 是ABC 的角平分线，BAC80， CADBAC8040， ADBCAD+C40+4585 故答案为：85 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键 17如图，在ABC 中，ABAC，A40，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 D，交 AB 于 E 点，连结BD，则DBC 的度数为 30 度 【分析】已知A40，ABAC 可得ABCACB，再由线段垂直平分线的性质可求出ABDA，易求DBC 【解

25、答】解：A40，ABAC， ABCACB70， 又DE 垂直平分 AB， DBAD ABDA40， DBCABCABD704030 故答案为：30 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质主要了解线段垂直平分线的性质即可求解 18 （1）如图，MAB30，AB2cm点 C 在射线 AM 上，利用图 1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题你画图时，选取的 BC 的长约为 答案不唯一如：BC1.2cm cm（精确到 0.1cm） （2）MAB 为锐角，ABa，点 C 在射线 AM 上，点 B 到射线 AM 的距离为 d，BCx，若ABC 的

26、形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 xd 或 xa 【分析】 （1）答案不唯一，可以取 BC1.2cm（1cmBC2cm） ； （2）当 xd 或 xa 时，三角形是唯一确定的； 【解答】解： （1）取 BC1.2cm， 如图在ABC 和ABC中满足 SSA，两个三角形不全等 故答案为：答案不唯一如：BC1.2cm （2）若ABC 的形状、大小是唯一确定的，则 x 的取值范围是 xd 或 xa， 故答案为 xd 或 xa 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 三、解答题： （共三、解答题： （共 46 分，分，19

27、题题 5 分，分，20、21 每题每题 6 分，分，22、23、25 每题每题 7 分，分，24 题题 8 分）分） 19 （5 分）如图，点 A，F，C，D 在同一条直线上，点 B 和点 E 在直线 AD 的两侧，且 AFDC，BCFE，AD 求证：ABDE 【分析】根据已知条件得出ABCDEF，即可得出 ABDE 【解答】证明：BCFE， BCADFE AFDC， AF+FCDC+CF ACDF 在ABC 和DEF 中 ABCDEF（ASA） ABDE 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定解答 20 （6 分）如图，已知 A

28、（2，3） ，B（3，1） ，C（1，2） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的ABC； （其中 A、B、C分别是 A，B，C 的对应点，不写画法） （2）A、B、C的坐标分别为 （2，3） ， （3，1） ， （1，2） ； （3）ABC 的面积是 3.5 【分析】 （1）利用轴对称变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可 （2）根据 A，B，C的位置写出坐标即可 （3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可 【解答】解： （1）如图，ABC即为所求； （2）A、B、C的坐标分别为（2，3） ， （3，1） ， （1，2） 故答案为： （2，3） ，

29、（3，1） ， （1，2） （3）SABC451234353.5， 故答案为：3.5 【点评】本题考查作图复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，学会用分割法求三角形面积 21 （6 分）已知：如图，线段 AB 和射线 BM 交于点 B （1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹 （不要求写作法） 在射线 BM 上求作一点 C，使 ACAB； 在线段 AB 上求作一点 D，使点 D 到 BC，AC 的距离相等； （2）在（1）所作的图形中，若ABM72，则图中与 BC 相等的线段是 DC，AD 【分析】 （1）以 A 为圆心 AB 长为半径画弧，进而得出 C 点位置； 利用角

30、平分线的作法得出即可； （2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出即可 【解答】解： （1）如图所示：ACAB； D 点即为所求； （2）ABM72，ABAC， ACB72， ACDDCB， AACDBCD36， 图中与 BC 相等的线段是：DC，AD 故答案为：DC，AD 【点评】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题关键 22 （7 分） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置， 图 2 是由它抽象出的几何图形， B， C，E 在同一条直线上，连接 DC （1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母

31、） ； （2）证明：DCBE 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出ABEACD； （2）由ABEACD 可以得出BACD45，进而得出DCB90，就可以得出结论 【解答】 （1）ABEACD 证明：ABC 与AED 均为等腰直角三角形， ABAC，AEAD，BACEAD90 BAC+CAEEAD+CAE 即BAECAD， 在ABE 与ACD 中， ， ABEACD； （2）证明ABEACD， ACDABE45， 又ACB45， BCDACB+ACD90， DCBE 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是

32、关键 23 （7 分） 如图， 在ABC 中， ABC45， BDAC 于点 D， 过点 C 作 CEAB 于点 E， 交 BD 于点 F （1）求证：ABDACE； （2）求证：EFAE 【分析】 （1）依据同角的余角相等，即可得出结论； （2）证明BEFCEA，依据全等三角形的对应边相等，即可得出结论 【解答】 （1）证明：BDAC 于点 D，CEAB 于点 E， A+ABDA+ACE90， ABDACE； （2）证明：ABC45，CEAB， BCECBE，AECFEB90， CEBE， 在BEF 和CEA 中， ， BEFCEA（ASA） ， EFAE 【点评】本题主要考查了全等三角形的

33、判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明BEFCEA 是解决问题的关键 24 （8 分）如图，在等边ABC 内作射线 AD，BAD（060） ，点 B 关于射线 AD 的对称点为 E连接 EC 并延长交射线 AD 于点 F （1）补全图形； （2）求AFE 的度数； （3）用等式表示线段 AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）补全图形如图 1 所示； （2）如图 2，连接 AE，BE，根据对称性可得：AEAB，EAFBAD，由等腰三角形性质可得：CAE260，由 ACAE，可得ACEAEC（180CAE）120，再根据三角形外角性质即可得出答案； （3）如图 3，在 AF

34、上截取 FGFC，连接 CG、AE、BF、BE，根据对称性可得：BFEF，再由等边三角形性质可证得：CAGCBF（SAS） ，即可证得：AFEF+CF 【解答】解： （1）补全图形如图 1 所示： （2）如图 2，连接 AE，BE， ABC 是等边三角形， BAC60，ABAC， 点 B 关于射线 AD 的对称点为 E， AEAB，EAFBAD， CAEBAEBAC260， ACAE， ACEAEC（180CAE）120， CAFBACBAD60， AFEACECAF120（60）60； （3）AFEF+CF 证明：如图 3，在 AF 上截取 FGFC，连接 CG、AE、BF、BE， 点 B

35、关于射线 AD 的对称点为 E， BFEF， 由（2）知：AFE60， FGFC， CFG 是等边三角形， FCG60，CFCGFG， ACG+BCG60，BCF+BCG60， ACGBCF， 在CAG 和CBF 中， ， CAGCBF（SAS） ， AGBF， AGEF， AFAG+FG， AFEF+CF 【点评】本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 25 （7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 AB 及点 P，给出如下定义： 若点 P 满足 PAPB，则称 P 为线段 AB 的“轴点” ，其中

36、，当 0APB60时，称 P 为线段 AB 的“远轴点” ；当 60APB180时，称 P 为线段 AB 的“近轴点” （1）如图 1，点 A，B 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） ，则在 P1（1，3） ，P2（0，2） ，P3（0，1） ，P4（0，4）中，线段 AB 的“近轴点”是 P2，P3 （2）如图 2，点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 在 y 轴正半轴上，OAB30 若 P 为线段 AB 的“远轴点” ，直接写出点 P 的横坐标 t 的取值范围 t3 或 t0 ； 点 C 为 y 轴上的动点（不与点 B 重合且 BCAB） ，若 Q 为线段 AB 的“轴点” ，当线段

37、QB 与 QC 的和最小时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）如图 1 中作等边ABC，ABC根据点 C，C的坐标即可判断； （2）如图 21 中，以 AB 为边作等边ABK，ABK，根据 K，K的坐标即可判断； 如图 22 中，由题意点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上连接 QA，QB，作 QCOB 于 C根据垂线段最短可知：当 A，Q，C 共线且 ACOB 时，QB+QC 的值最小，最小值为线段 OA 的长，设此时 QBQAm，利用勾股定理构建方程求出 m，即可解决问题 【解答】解： （1）如图作等边ABC，ABC 由题意 C（0，2） ，C（0，2） ，当点 P 在线段 CC上时，点 P

38、 是“近轴点” ， 所以 P2（0，2） ，P3（0，1）是“近轴点” ， 故答案为 P2，P3 （2）如图 21 中， 以 AB 为边作等边ABK，ABK， 由题意可知 K（3，2） ，k（0，） ， 若 P 为线段 AB 的“远轴点” ， 点 P 的横坐标 t 的取值范围为 t3 或 t0 故答案为 t3 或 t0 如图 22 中，由题意点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上连接 QA，QB，作 QCOB 于 C 点 Q 在 AB 的垂直平分线上， QBQA， QB+QCQA+QC， 根据垂线段最短可知：当 A，Q，C 共线且 ACOB 时，QB+QC 的值最小，最小值为线段 OA 的长， 设此时 QBQAm，则有 m2（）2+（3m）2， 解得 m2， OQ1， 此时点 Q 坐标为（1，0） 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题