2021年北京市东城区二校联考高二上期中数学试卷（含答案）

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1、2021 年北京市东城区二校联考高二上期中数学试卷年北京市东城区二校联考高二上期中数学试卷 一、选择题 1若数组( 2a ，1，3)和(1b ，12，) x满足2ab ，则实数x等于( ) A3 B2 C32 D12 2关于椭圆22:1xyCmn，有下列四个命题： 甲：4m；乙：9n ；丙：C的焦距为 6；丁：C的焦点在x轴上 如果只有一个假命题，则该命题是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 3设第一象限的点( , )P m n为抛物线28yx上一点，F为焦点，若| 6PF ，则(n ) A4 2 B4 C2 2 D32 4. 已知点( ,5)A x关于点(1, )y的对称点为( 2, 3)，则点

2、( , )P x y到原点的距离是( ) A. 4 B. 13 C. 15 D. 17 5. 两平行直线1:3210lxy 与2:640lmxym之间的距离为( ) A.0 B.1313 C.1326 D.1010 6.已知123433(1,1),(0,1),( 1,),(1,)22PPPP四点中恰有三点在椭圆22221(0)xyabab上，则(a ) A8 B6 C4 D2 7已知双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点为1F，右焦点为2(2,0)F，点P为双曲线右支上的一点，且122| 2|FFPF，12PFF的周长为 10，则双曲线的渐近线方程为( ) A3yx B33yx C2y

3、x D12yx 8直线l经过2,1A，2(,)1BmmR两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（ ） A0, ) B30,44 C0,4 D0,42 9若双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线被以焦点为圆心的圆2240 xyx所截得的弦长为2 3，则(b ) A 2 B. 1 C3 D2 10已知椭圆22:1259xyC的左、右焦点分别为1F，2F，点M在椭圆C上，当12MFF的面积最大时，12MFF内切圆半径为( ) A3 B2 C53 D43 二、填空题 11直线3yx的倾斜角为 12. 过圆222440 xyxy内的点(3,0)M作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直

4、线l的方程是 13已知方程22(2)1mxmy表示双曲线，则m的取值范围是 14若点P是抛物线24xy上一动点，F是抛物线的焦点，点(2,3)A，则|PAPF的最小值为 15曲线24yx与直线yxb恰有 2 个公共点，则b的取值范围为_. 16 .如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面11BBCC的边界及其内部运动若1DOOP，则11DC P面积的最大值为 三、解答题 17 在如图所示的几何体中， 面CDEF为正方形， 面ABCD为等腰梯形，/ /ABCD，2ABBC，60ABC，ACFB （）求证：AC 平面FBC； （）线段ED上是否存在点

5、Q，使平面EAC 平面QBC？证明你的结论 18. 已知两点(4,2),(3,0)DM及圆22:(2)(3)5Cxy.l为经过点M的一条动直线. （）若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切； （）若直线l与圆C相交于两点, ,A B从下列条件中选择一个作为已知，求ABD的面积 条件：直线l平分圆C；条件：直线l的斜率为3 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分 19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为 1F、2F，点(0,2)M是椭圆的一个顶点，12FMF是等腰直角三角形 （）求椭圆C的方程； （）求直线1yx被椭圆C截得的弦长 20.已知椭圆2222:1(

6、0)xyCabab的一个顶点坐标为(0, 1)A，离心率为23 （）求椭圆C的方程； （）若直线(1)(0)yk xk与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点( 1 ,0)B，求证：点M不在以AB为直径的圆上 21. 已知集合, 2 , 1,1 , 0),(21nixxxxXXSinn2n. 对于),(21naaaA,nnSbbbB),(21,定义 A 与 B 的差为 |)b,|a,ba|,b(|aBAnn2211，A与B间的距离为niiibaBAd1),(. （）证明：nSCBA,，有nABS，且),(),(BAdCBCAd； （）证明：nSCBA,，),(BAd，),(CAd，

7、),(CBd三个数中至少有一个是偶数； （）设nSP ，P中有)2(mm个元素，记中所有两元素间距离的平均值为)(Pd， 证明：) 1(2)(mmnPd. 注：如果从n个不同元素中选出两个元素的不同方法种数为(1)2n n种. P参考答案参考答案 【答案】：1.C 2. A 3. A 4. D 5. C. 6. D7. A8. D 9. B10. D 11. 3 12. 30 xy13(0,2) 14.4 152,2 2) 16. 5 17 在中，由余弦定理可得， ， 又， 平面 （） 线段上不存在点，使平面平面 证明如下： 因为平面，所以 因为，所以平面 所以，两两互相垂直，如图建立的空间直

8、角坐标系 在等腰梯形中，可得 设，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， ABC22222cos603ACABBCAB BCBC22224ACBCBCAB90ACBACBCACFBFBBCBACFBCEDQEAC QBCAC FBCACFCCDFCFC ABCDCACFCBCxyzABCDCBCD1BC (0,0,0), ( 3,0,0), (0,1,0)CAB3131(,0),(,1)2222DE31(,1)22CE ( 3,0,0),(0,1,0)CACBEAC(nxy) z00n CEn CA所以取，得，2， 假设线段上存在点，设，所以 设平面的法向量为，则 所以取，得 要使平面平面，只

9、需， 即，此方程无解 所以线段上不存在点，使平面平面 18. （17)（本小题满分 14 分） 解：根据题意，圆心(2,3)C,半径5r .2 分 （）法一： 若直线l经过点D，由(4,2)D满足22:(2)(3)5Cxy，可知，点D在圆C上. 直线l的斜率202312,143422llCDCDkkkk ，所以lCD. 所以直线l与圆C相切. .8 分 法二：若直线l经过点D,则直线l的方程为260 xy. 圆心(2,3)C到直线l的距离为2|2236|5,21r 所以直线l与圆C相切. .8 分 （II）选择条件：直线l平分圆C， 此时，直线l过圆心(2,3)C，方程为390,22 5.xy

10、ABr 3102230 xyzx1z (0n 1)EDQ31(, )(01)22Qtt剟31(, )22CQtQBC(mab) c00m CBm CQ031022babtc1c 2(,0,1)3tm EAC QBC0m n 20021 103t EDQEAC QBC点(4,2)D到直线l的距离|3 42 9|10,210h 所以，11105 22 5.2222ABDSAB h .14 分 选择条件：直线l的斜率为3,直线l的方程为390,xy 此时，圆心C在直线l上，22 5.ABr 点(4,2)D到直线l的距离|3 42 9|10,210h 所以，11105 22 5.2222ABDSAB

11、h .14 分 19【解析】 ： （1）由题意，点(0,2)M是椭圆的一个顶点， 所以2b ，又12FMF是等腰直角三角形， 所以2cb， 则2224abc， 故椭圆的标准方程为22184xy； （2）设直线1yx被椭圆C截得的弦长的端点分别为1(A x，1)y，2(B x，2)y， 直线1yx与椭圆22184xy联立方程组， 可得23460 xx， 所以12124,23xxx x ， 由弦长公式可得222121244 11|(1)()4(1 1) ()4( 2)33| ABkxxx x ， 所以直线1yx被椭圆C截得的弦长为4 113 （）解：由题意可知, 1,23,222bacacb 解得

12、 , 3, 1, 2cba 所以 椭圆C的方程为 1422 yx 4 分 （）证明：设11( ,)P x y，22(,)Q xy， ),(00yxM 由221,4(1),xyyk x得 2222(4+1)8440kxk xk ， 所以 2 2222( 8)4 (41)(44)4816kkkk . 所以 当k为任何实数时，都有0 所以 2122841kxxk，2122444+1kx xk 因为 线段PQ的中点为M, 所以 212024241xxkxk，002(1)41kyk xk, 因为 (1,0)B, 所以 00(,1)AMxyuuur，00(1,)BMxyuuur 所以 2200000000

13、(1)(1)=AM BMx xyyxxyyuuur uuur 2222222244=()()41414141kkkkkkkk 322243=41kkkk（） 222(431)=41kkkk（） 222374()816=41kkk（）. 又因为 0k ，2374()0816k ， 所以 0， 所以 点M不在以AB为直径的圆上 证： （）设 ),(21naaaA,),(21nbbbB,nnScccC),(21. 因为1 , 0iiba，所以), 2 , 1(1 , 0nibaii， 从而|)| ,|,(|2211nnbababaBAnS. 又niiiiicbcaCBCAd1|),(. 由题意知，1

14、 , 0,iiicba（), 2 , 1ni. 当0ic时，|iiiiiibacbca， 当1ic时，| )1 ()1 ( |iiiiiiiibabacbca 所以niiiBAdbaCBCAd1),(|),(. （5 分） （II）设 ),(21naaaA,),(21nbbbB,nnScccC),(21, kBAd),(,lCAd),(,hCBd),(. 记(0, 0,0)O nS，由（）可知 kABOdABAAdBAd),(),(),(, lACOdACAAdCAd),(),(),(, hACABdCBd),(),(. 所以|iiab （ni, 2 , 1）中 1 的个数为k, |iiac

15、（ni, 2 , 1）中 1 的个数为l. 设t是使1|iiiiacab成立的i的个数，则2hlkt . 由此可知，, ,k l h三个数不可能都是奇数， 故),(BAd，),(CAd，),(CBd三个数中至少有一个是偶数. （9 分） （），其中,A B Pd A B表示P中所有两个元素间距离的总和. 设P中所有元素的第i个位置的数字中共有it个 1，itm 个 0， 则niiiPBAtmtBAd1,)(),(. 由于4)(2mtmtii（ni, 2 , 1）. 所以4),(2,mnBAdPBA. 从而) 1(2C4),(C1)(2 m2,2mmnnmBAdPdPBAm.（13 分） 2,1( ),A B Pmd Pd A BC