2021年北京市海淀区五校联考高二上期中数学试卷(含答案解析)
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1、2021年北京市海淀区五校联考高二上期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.)1在空间直角坐标系中,1,2,则A,1,B,C,3,D,2,2棱长为的正四面体的表面积为ABCD3平面的一个法向量为,2,平面的一个法向量为,则平面与平面的位置关系是A平行B相交但不垂直C垂直D不能确定4在四面体中,点为棱的中点设,那么向量用基底,可表示为ABCD5如图,将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个几何体,则这个几何体某顶点到其相对面的距离是ABCD6设,是两个不同的平面,是直线且,“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7如
2、图,四棱锥中,所有棱长均为2,是底面正方形中心,为中点,则直线与直线所成角为ABCD8如图,在长方体中,分别为棱,的中点,过的平面与直线平行,则平面截该长方体所得截面的面积为A3BCD9九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”在如图所示的四棱锥中,平面,底面是正方形,且,点,分别为,的中点,则图中的鳖臑有)A2个B3个C4个D5个10在下列命题中:存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等;存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等;存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等;存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等其中真命题的个数为A1B2C3D4二、填空题(本
3、大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在题中横线上)11一个圆柱的母线长为3,底面半径为1,则圆柱的侧面积是 12已知向量,0,写出一个与向量垂直的非零向量的坐标 13如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点处若该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于 14已知向量,满足,且,的夹角为,为平面直角坐标系的原点,点、满足,则的面积为15如图所示,正方体的棱长为1,、分别是棱,的中点,过直线,的平面分别与棱,交于、,设,给出以下四个命题:四边形为平行四边形;若四边形面积,则有最小值;若四棱锥的体积,则是常函数;四边形
4、周长,是单调函数;若多面体的体积,则为单调函数其中正确的命题序号是 三、解答题(本大题共4小题,每小题15分,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(15分)如图,三棱柱中,底面,是的中点()求证:平面;()若,求三棱柱的体积17(15分)已知直三棱柱中,为等腰直角三角形,且,分别为,的中点()求证:直线平面;()求直线与平面所成角的大小18(15分)如图,三角形和梯形所在的平面互相垂直,且,是线段上一点,()当时,求证:平面;()求二面角的余弦值;()是否存在点,满足平面?并说明理由19(15分)首项为0的无穷数列同时满足下面两个条件:;()请直接写出的所有可能值;()记,若
5、对任意成立,求的通项公式;()对于给定的正整数,求的最大值参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1【分析】由空间向量的坐标运算直接求解即可【解答】解:因为,1,2,所以,2,1,1,故选:【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题2【分析】正四面体的四个面都是正三角形,且每个面的面积为,由此即可求得答案【解答】解:棱长为的正四面体的四个面都是正三角形,且每个面的面积为,正四面体的表面积为故选:【点评】本题考查正四面体的表面积求法,属于基础题3【分析】由数量积的运算可得数量积为0,可得法向量垂直,
6、故平面垂直【解答】解:由题意可得,2,故两个平面的法向量垂直,故平面和平面的位置关系为垂直,故选:【点评】本题考查平面的法向量,涉及平面与平面的位置关系,属基础题4【分析】先根据点为棱的中点,则,然后利用空间向量的基本定理,用,表示向量即可【解答】解:点为棱的中点,又,故选:【点评】本题主要考查空间向量的基本定理,以及向量的中点公式要求熟练掌握,同时考查了转化的思想,属于基础题5【分析】由题意画出折叠后的几何体,可知几何体为棱长是1的正四面体,求出正四面体的高得答案【解答】解:由题意可知,折叠后的几何体满足、重合,且几何体为棱长是1的正四面体,如图:则各顶点到其相对面的距离相等,取底面的中心为
7、,连接,则平面,连接并延长,角于,三角形是边长为1的等边三角形,则即这个几何体某顶点到其相对面的距离是故选:【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题6【分析】并得不到,根据面面平行的判定定理,只有内的两相交直线都平行于,而,并且,显然能得到,这样即可找出正确选项【解答】解:,得不到,因为,可能相交,只要和,的交线平行即可得到;,和没有公共点,即能得到; “”是“”的必要不充分条件故选:【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念7【分析】可连接,由已
8、知条件便知这三直线两两垂直,从而可分别以这三直线为,轴,建立空间直角坐标系,可设棱长为2,从而可求出图形中一些点的坐标,据向量夹角的余弦公式便可求出【解答】解:根据条件知,点在底面的射影为,连接,则,三直线两两垂直,从而分别以这三直线为,轴,建立如图所示空间直角坐标系:设棱长为2,则:,0,0,0,0,与所成角为故选:【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量求异面直线所成角的方法,能求空间点的坐标,向量夹角的余弦的坐标公式,弄清异面直线的方向向量的夹角和异面直线所成角的关系8【分析】由过的平面与直线平行,得平面是矩形,由此能求出平面截该正方体所得截面的面积【解答】解:在中,分别是棱,的中点
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