2021年北京市西城区五校联考高二上期中数学试卷(含答案解析)
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1、2021年北京市西城区五校联考高二上期中数学试卷一、选择题共10小题,每小题4分,共40分1空间直角坐标系中,若点,1,关于点,0,的对称点为,则点的坐标为A,B,C,1,D2已知直线,若,则实数的值是A0B2或C0或D3椭圆过点,则其焦距为ABCD4已知直线和圆交于,两点,则A2B4CD5已知直线的方程为,则的倾斜角是ABCD6圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的方程为ABCD7椭圆的焦距为,若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为,则椭圆的离心率为ABCD8“六边形教室”是四中校友记忆中不可磨灭的一部分空间中,教室的形状近似一个正六棱柱设正六棱柱中,所有棱长均相等,、分别是四边形,的中心,设与所成
2、的角为,与所成的角为,则ABCD9若直线和圆没有公共点,则过点的直线与椭圆的公共点个数为)A至多一个B0个C1个D2个10在一平面直角坐标系中,已知,现沿轴将坐标平面折成的二面角,则折叠后,两点间的距离为ABCD二、填空题共5小题,每小题5分,共25分11与向量方向相同的单位向量是 12已知点,则过点且与是坐标原点)平行的直线方程是 13若向量,共面,则14椭圆的两个焦点在圆上,则实数15椭圆的左、右焦点分别为和,为上的动点,则下列说法正确的是 当时,使得的点有两个;当时,使得的点有四个;当时,使得是等腰三角形的点有四个;当时,使得是等腰三角形的点有六个三、解答题共6小题,共85分解答应写出文
3、字说明,演算步骤或证明过程16(12分)已知椭圆,斜率为的直线与椭圆交于、两点且()求椭圆的离心率;()求直线的方程17(14分)已知正四棱柱中,为的中点()求平面与平面所成锐二面角的余弦值;()求点到平面的距离18(14分)已知在四棱锥中,底面是边长为4的正方形,是正三角形,平面,分别是,的中点()求证:平面;()求平面与平面所成锐二面角的大小;()线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度;若不存在,说明理由19(15分)已知的顶点坐标分别为,圆为的外接圆()求圆的方程;()直线与圆相切,求直线与两坐标轴所围成的三角形面积最小时的方程20(15分)已知椭圆的离心率,且经
4、过点()求椭圆的方程;()过点的直线与椭圆交于,两点是否存在直线使得以为直径的圆过点?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由21(15分)对于给定的正整数,记集合,2,3,其中元素称为一个维向量特别地,称为零向量设,定义加法和数乘:,对一组向量,若存在一组不全为零的实数,使得,则称这组向量线性相关否则,称为线性无关()对,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关,并说明理由,;,;,()已知向量,线性无关,判断向量,是线性相关还是线性无关,并说明理由()已知个向量,线性相关,但其中任意个都线性无关,证明下列结论:()如果存在等式,2,3,则这些系数,或者全为零,或者全不为零;()如果两个等式
5、,2,3,同时成立,其中,则参考答案一、选择题共10小题,每小题4分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1【分析】在空间直角坐标系中,利用中点坐标公式求解即可【解答】解:在空间直角坐标系中,点,1,关于点,0,的对称点为,则点坐标为,故选:【点评】本题考查点的坐标的求法,考查空间直角坐标系的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2【分析】由垂直可得,解方程可得【解答】解:直线,且,解得或故选:【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题3【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程,即可求出待定系数,从而得到椭圆的标准方程,再根据椭圆的,之间的关系即可求
6、出焦距【解答】解:由题意知,把点代入椭圆的方程可求得,故椭圆的方程为,则其焦距为故选:【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程,以及椭圆方程中、之间的关系4【分析】首先求得圆心到直线的距离,然后计算弦长即可【解答】解:圆心到直线的距离,则直线与圆相交的弦长为故选:【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的弦长的求解等知识,属于基础题5【分析】由题意利用直线方程求出直线的斜率,再根据直线的倾斜角和斜率的关系,得出结论【解答】解:直线的方程为,则的斜率为,故该直线的倾斜角为,故选:【点评】本题主要考查求直线的斜率,诱导公式,直线的倾斜角和斜率的关系,属于基础题6【分析】由题意确定圆的圆心和半
7、径即可求得圆的方程【解答】解:过点且与直线垂直的直线为,由即圆心,半径,所求圆的方程为故选:【点评】本题主要考查圆的方程的求解,属于基础题7【分析】联立直线与椭圆的方程,解得交点的横坐标,由题意可得,的关系,进而求出离心率的值【解答】解:联立,可得,由题意可得,整理可得:,解得:,解得,故选:【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,属于基础题8【分析】根据题意画出图形,通过平行关系得与所成的角就是与所成的角,与所成的角为或其补,通过研究几何关系,进行计算,得到结果【解答】解:如图,由图形特点可得,因为、分别是四边形,的中心,即分别为,的中点,过点、分别作,的垂线,故与所成的角就是与所成的角,即,因
8、为,与所成的角为或其补,设六棱柱棱长为2,可求得,即,所以,即,所以,故选:【点评】本题主要考查了异面直线所成角的求解,考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,属于中档题9【分析】先根据题意可知原点到直线的距离大于等于 2求得和的范围可推断点是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆内切于椭圆,进而可知点是椭圆内的点,进而判断可得答案【解答】解:因为直线和圆没有公共点,所以原点到直线的距离,所以,所以点是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点椭圆的长半轴 3,短半轴为 2圆内切于椭圆点是椭圆内的点过点的一条
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