2021年北京市西城区五校联考高三上期中数学试卷（含答案解析）

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1、2021年北京市西城区五校联考高三上期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分 1若集合，则ABCD2在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是ABCD4已知向量，则ABCD5已知圆截直线所得弦的长度为，则实数ABCD6“”是“直线与直线相互垂直”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7将函数的图象向右平移个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是ABCD8在中，点是的中点，则AB4CD69已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是ABCD10已知定义在，上的函数，给出

2、下列四个结论：存在使得；有且只有两个使得；不存在使得；有且只有两个使得其中所有正确结论的序号是ABCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点，对应的复数分别是，则12已知正角的终边经过点，则角的值可以是 （写出一个就可以）13已知向量，若，则14函数是定义域为的偶函数，当时，函数的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）当，时，的取值范围是 ；如果对任意，都有，那么的最大值是 15长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有

3、蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数来衡量每座水库的水位情况假设某次联合调度要求如下：（）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间，；（）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记为调度前某水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：；则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16（13分）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数的单调递增区间；（）若，求函数的最大值17（13分）在中，已知，（）若，求的面积；（）若为锐角，求的值18（14分）某学

4、校组织“一带一路”知识竞赛，有、两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关（）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的值；（）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请直接写出结论，

5、不必说明理由19（15分）已知，曲线在，（1）处的切线方程为（）求，的值；（）求在，上的最大值；（）当时，判断与交点的个数（只需写出结论，不要求证明）20（15分）已知函数（）若，确定函数的零点；（）若，证明：函数是上的减函数；（）若曲线在点，（1）处的切线与直线平行，求的值21（15分）对于数列，定义，设的前项和为（）设，写出，；（）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；（）已知首项为0，项数为的数列满足：对任意且，有，0，；求所有满足条件的数列的个数参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1【分析】求出集合，利用交集定义能

6、求出【解答】解：集合，故选：【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解【解答】解：，对应的点，位于第三象限故选：【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题3【分析】由常见函数的单调性与奇偶性逐一判断即可【解答】解：对于，是偶函数，且在区间上单调递增，故符合题意；对于，是非奇非偶函数函数，故不符合题意；对于，是奇函数，故不符合题意；对于，是偶函数，但在区间上单调递减，故不符合题意故选：【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判

7、断，考查常见函数的性质是解题的关键，属于基础题4【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合向量坐标计算公式，依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于、向量，则不成立，错误；对于、向量，则不成立，错误；对于、向量，则不成立，错误；对于、向量，则成立，正确；故选：【点评】本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量的平行、垂直的判断方法5【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：圆截直线所得弦的长度为，可得弦心距为：，所以：，解得故选：【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题6【分析】根据充分条

8、件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可【解答】解：当时，两方程可化为，斜率分别为和1，两直线垂直，充分性成立，当直线与直线垂直时，则，必要性不成立，是直线与直线垂直充分不必要条件故选：【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，结合直线垂直的等价条件是解决本题的关键7【分析】利用函数的图象变换可求得的解析式，从而可得答案【解答】解：，将函数的图象向右平移个单位，得：，所得的图象对应的函数解析式是，故选：【点评】本题考查函数的图象变换，属于中档题8【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解【解答】解：在中，则，因为点是的中点，所以，所以故选：【点评】本题主要考查平面向量数量积的

9、运算，考查运算求解能力，属于基础题9【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数的取值范围【解答】解：函数，则，令得，函数有两个极值点，等价于有两个零点，等价于函数与的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当时，直线与的图象相切，由图可知，当时，与的图象有两个交点则实数的取值范围是另解：函数，则，令得，可得有两个不同的解，设，则，当时，递减，时，递增，可得（1）取得极大值1，作出的图象，可得，即，故选：【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽

10、象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷10【分析】分类讨论，求出方程，即可判断，分类讨论，求出方程，即可判断，利用特殊值，即可判断，利用中的结论，即可判断【解答】解：对于，当时，令，可得，解得（舍或（舍；当时，令，可得，解得综上所述，存在使得，故正确；对于，当时，令，即，解得，当时，令，即，解得（舍或，所以有且只有两个使得，故正确；对于当时，所以，则存在使得，故错误；对于，由可知，有且只有两个使得，则有且只有四个使得，故错误综上所述，正确的是故选：【点评】本题以命题的真假判断考查了分段函数的应用，函数与方程的应用，对于分段函数

11、问题，一般运用分类讨论或是数形结合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解【解答】解：由图形可得，点表示的复数为，点表示的复数为，故答案为：2【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题12【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的正弦值、余弦值，从而得到要求角的大小【解答】解：正角的终边经过点，则角的值可以是，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题13【分析】利用向量数量积的运算性质结合向量垂直的坐标表示，列出关于的方程，求解即可

12、【解答】解：因为向量，由，则，解得故答案为：【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题14【分析】根据是偶函数，图象关于轴对称，结合图象可得的取值范围当时，设抛物线的方程为，求解解析式，根据是定义域为的偶函数，可得的解析式，令，可得对应的值，结合图象可得的最大值【解答】解：根据是偶函数，图象关于轴对称，当，时，值域为，时相同，可得的取值范围是，当时，设抛物线的方程为，图象过，代入计算可得：，当时，即令，可得解得：结合图象可得的最大值为故答案为：，；【点评】本题主要考查函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本

13、题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，偶函数的图象特征属于基础题15【分析】根据题意得到，的定义域为，值域为，对任意的，成立且在，上单调递增，由此对四个选项进行逐一的分析判断即可【解答】解：由联合调度要求可知，的定义域为，值域为，对任意的，恒成立且在，上单调递增在，上不是单调函数，故选项错误；在，上单调递增，值域为，又因为对任意的，恒成立，所以对任意的，恒成立，故选项正确；对任意的，不恒成立，比如，故选项错误；在，上单调递增，值域为，令，则，令，解得，则当时，则单调递增，当，时，则单调递减，又，所以在，上恒成立，故对任意的，恒成立，故选项正确故答案为：【点评】本题考查了函数性质的综合应用

14、，涉及了利用导数研究函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16【分析】先将函数恒等变形，（）由最小正周期的定义求出其最小正周期；（）写出函数满足单调递增区间的条件，进而求出其区间；（）由自变量的范围求出的范围，换元，由函数的单调性求出最大值【解答】解：函数，（）函数的最小正周期；（）函数的单调递增区间满足，解得：，即函数单调递增区间为，；（）因为，可得，令，当，时函数单调递增；当，时函数单调递减，所以当时，函数最大，且最大值为【点评】本题考查三角函数的恒等变形及三角函数的单调性及最值的求法，属于基础题17【

15、分析】（）根据题意，由正弦定理分析可得，计算可得的值，由三角形面积公式计算可得答案；（）根据题意，代入数据计算可得答案【解答】解：（）根据题意，若，由正弦定理得，则，因为，所以，所以，所以（）由（）知，因为为锐角，所以所以【点评】本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理、余弦定理的形式18【分析】（）根据相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列即可；（）由（）中可得，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求出的所有可能取值，求出对应的概率，得到，比较即可得到答案【解答】解：（）由题意可得，；（）由题意可得，的可能取值为0，20，

16、100，则，所以的分布列为：0201000.20.320.48（）由（）可知，小明先回答类问题累计得分的期望为，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为0，80，100，所以，所以，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题【点评】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的理解与应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题19【分析】（）求得的导数，由已知切线的方程，可得，的方程组，解方程即可得到，的值；（）令求得导数，单调性，判断最值，可得的单调性，即可得到所求最大值；（）结合单调性和图象，可得过，切

17、点，即可得到所求交点个数【解答】解：（）的导数为，由已知可得（1），（1），解得，（）令则，故当时，在，单调递减；当时，在，单调递增；所以，故在，单调递增，所以（1）（）当时，与有两个交点【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查函数方程的转化思想，以及交点个数，考查运算能力，属于中档题20【分析】（） 代入的值，令，解出即可；（）先求导，得到，再构造函数，求出的最大值为0，继而得到在上恒成立，问题得以证明；（）欲求的值，根据在点，（1）处的切线方程，只需求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，解方程即可得【解答】解：（）时

18、，令，即，即，解得：，故函数的零点是2；（）当时，函数的定义域为，设，在上恒成立，在上为减函数，在上恒成立，在上为减函数（），（1），在点，（1）处的切线与直线平行，即，分别画出与的图象，由图象可知交点为解得【点评】本题考查导数和函数的单调性最值的关系，以及导数的几何意义，考查了不等式的证明问题，培养了学生的转化能力，运算能力，处理问题的能力，属于难题21【分析】（）直接根据新定义写出即可；（）利用定义给出的信息，分别从充分性和必要性进行证明即可；（）构造，结合（）以及题中条件，推出，设，中有项为0，从而确定的值，分别分析求解即可【解答】解：（）因为，根据题意可得，（）证明：必要性：对，有，因此对任意且，有，两式作差，得，即，因此，综上，对任意，有充分性：若对任意，有，则，所以综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”（）构造数列，则对任意且，有，结合（）可知，又，因此设，中有项为0，则，即因为，0，所以或1若，则与，中有0项为0，即矛盾，不符题意若，则，所以当，中有一项为0，其余项为时，数列满足条件，中有一项为0，共种取法；其余项每项有1或两种取法，所以满足条件的数列的个数为【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可