2022年北京各校九年级数学中考复习训练：相似三角形（含答案解析）

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1、北京各校九年级数学中考复习训练：相似三角形一平行与比例（共8小题）1下列各组中的四条线段成比例的是A，B，C，D，2已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则的值为A3B4C5D63已知，则的值为ABCD24若，则5如图，则线段长为 6如图，直线，直线，被直线、所截，截得的线段分别为，若，则的长是 7若，求、的值8已知，求代数式的值二相似三角形的性质（共6小题）9如图，则等于ABCD10如图，在四边形中，点、分别是边、上的点，与交于点，则与的面积之比为ABCD11如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为ABCD12如图，在中，、分别是、上的点，且，若，则ABC

2、D13如图，在平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么14如图，把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是的面积的一半，若，则此三角形移动的距离 三相似三角形的判定与性质（共24小题）15如图，、分别是、上的点，下列条件能判定与相似的是；ABCD16如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是ABCD17下列选项中，与如图所示的三角形相似的是ABCD18的三边长为，2，的两边长为1，要使，那么的第三条边长是19如图中，是上一点，垂足为，则的长为 20如图，将等边折叠，使得点落在边上的点处，折痕为，点，分别在和边上若，则周长为 ，的值为 21已知：

3、如图，在中，于，求证：22如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：（1）则，；（2）判断与是否相似，若相似，请说明理由23如图，中，于点求证：24如图，在中，分别是边，上的点，连接，且（1）求证：；（2）如果是的中点，求的长25如图，在中，是斜边上的高（1）求证：；（2）若，求的长26将矩形纸片沿翻折，使点落在线段上，对应的点为，若，求的长27在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为点（1）求证：；（2）求的长28如图，在中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且（1）求证：；（2）如果，求的值29如图，在中，平分，是上一点，且（1

4、）求证：；（2）若，求的值30如图，在矩形中，是的中点，垂足为，若，求的长31如图，中，于点，于点，、交于点，连接、（1）依题意补全图形；（2）与相似吗？说明理由32如图，在中，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：33如图，在四边形中，点是边上一点，连接，为上一点且，求证：34如图，平行四边形中，过点作交于点，交于点，交的延长线于点，若，求的长35如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且（1）求证：；（2）若，求的长36如图，在中，的平分线分别与、交于点、（1）求证：；（2）当，时，求的值37在中，与的延长线交于求证：38如图，在平行四边形中，为边上一点，（1）求证：；（2）若，求的

5、值四相似三角形的应用（共12小题）39九章算术中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别位于，的中点，里，经过点，则的长为A0.95里B1.05里C2.05里D2.15里40如图，线段和直线分别垂直线段于点，点是线段上的一个动点，由移动到，连接，过点作交于点，设线段的长为，的长为，在下列图象中，能大致表示与之间函数关系的是ABCD41如图，在等边中，当直角三角板的角的顶点在上移动时，斜边始终经过边的中点，设直角三角板的另一直角边与相交于点设，那么与

6、之间的函数图象大致是ABCD42在中，点是边上一动点，过点作，垂足为作，交于点四边形的面积与线段之间关系的图象大致是ABCD43如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，使得，点在上，并且点，在同一条直线上，若测得，则河的宽度长为 44如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退时，正好在镜中看见树的顶端小英估计自己的眼睛到地面的距离为，则大树的高度是45如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距，与树相距

7、，则树的高度为46如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为47“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术意思是说：如图，矩形城池，城墙长9里，城墙长7里，东门所在的点，南门所在的点分别是，的中点，里，点在上，问等于多少里？48如图，小芳家的落地窗（线段与公路（直线互相平行，她每天做完作业后都会在点处向窗外的公路望去（1）请在图中画出小芳能看到的那段公路并记为（2）小芳很想知道点与公路之间的距离，于是她想到了一个办法她测出了邻家小彬在公路段上走过的时间为10秒，又测量了点到窗的距离是

8、4米，且窗的长为3米，若小彬步行的平均速度为1.2米秒，请你帮助小芳计算出点到公路的距离49已知：为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框距地面1米，在地面上留下的最大影长为2米，现欲在距点7米的正南方点处建一幢12米高的楼房（设，在同一水平线上）（1）按比例较精确地作出高楼及它的最大影长；（2）问若大楼建成后是否影响温室的采光，试说明理由50如图，点、分别是正方形的边、上两点，且，（1）设，的面积为，求关于的函数关系式；（2）当取何值时，面积最大？求出此时的面积五相似三角形的探究（共10小题）51如图，在直角坐标系中，有两个点、，如果点在轴上（点与点不重合），当点坐标为时，使得由、三点组成的三角

9、形和相似52已知如图，点是边长为4的正方形内一点，且，于，请在射线上找一点，使以、为顶点的三角形与相似53如图，是的中线，点是上任一点，连接并延长，交于点（1）如图1，当时，求的值；（2）如图2，当时，求的值54在中，为边上的一点，且，点为边上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，交于点（1）如图1，若为边中点，为边中点，则的值为 ；（2）若为边中点，不是边的中点，请根据题意将图2补全；小军通过观察、实验，提出猜想：点在边上运动的过程中，（1）中的值不变小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：想法1：过点作交于点，要求的值，需证明想法2：分别取，的中点，连接，

10、要求的值，需证明想法3：连接，要求的值，需证，四点共圆请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程（一种方法即可）；（3）若且为正整数），则的值为 （用含的式子表示）55等腰，为的中点，小慧拿着含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板绕点旋转（1）如图，当三角板的两边分别交、于点、时求证：；（2）操作：将三角板绕点旋转到图情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、探究与还相似吗？（只需写出结论）探究2：连接，与是否相似？请说明理由；设，的面积为，试用的代数式表示56在中，是边上的点（不与点、重合），连接（1）如图1，当点是边上的中点时，；（2）如图2，当是的平分线时，若，求的值（用含，的代

11、数式表示）；（3）如图3，平分，延长到，使得，连接，如果，那么57已知四边形中，分别是，边上的点，与交于点（1）如图1，若四边形是矩形，且则 （填“”或“”或“” ；（2）如图2，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图3，若，则的值为 58阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，已知：中，点是的中点，点为边上一点，连接，过点作的垂线与直线交于点，连接求证：探究过程：经过分析小明发现，然后根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，可以得到请你根据小明的探究过程解决以下问题：（1）探索发现：如图2，若点为边延长线上一点，其他条件不变，与还相等

12、吗？请说明理由（2）类比迁移：如图3，在等边中，点是的中点，点为边上一点，连接，以为一边作，交直线于点，且请你依据题意补全图形，若，求的长59从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线（1）如图，在中，为角平分线，求证：为的优美线；（2）在中，是的优美线，且是以为腰的等腰三角形，求的度数60若平面直角坐标系中的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对

13、，叫做这一平移的“平移量”规定“平移量” ，与“平移量” ，的加法运算法则为，（1）若动点从坐标点出发，按照“平移量” ，平移到，再按照“平移量” ，平移到，形成，则点的坐标为 ，点的坐标为 （2）若动点从坐标原点出发，先按照“平移量” 平移到，再按照“平移量” 平移到；最后按照“平移量” 平移回到点当（在（1）中的三角形）且相似比为时，请你直接写出“平移量” ， ， （3）在（1）、（2）的前提下，请你在平面直角坐标系中画出与参考答案解析一平行与比例（共8小题）1【解答】解：根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段所给选项中，只有中，四条线段成比例，故选：2【解答】解

14、：两条直线被三条平行线所截，解得：，故选：3【解答】解：，故选：4【解答】解：，故答案为：5【解答】解：如图，四边形是平行四边形，又，故，则故答案是：106【解答】解：，解得：，故答案为：4.57【解答】解：设，则，解得，8【解答】解：，设，则，故，故原式二相似三角形的性质（共6小题）9【解答】解：，故选：10【解答】解：，与的面积之比为故选：11【解答】解：两个相似三角形的面积之比为，相似比是，相似三角形的周长比等于相似比，这两个三角形的周长之比为：，故选：12【解答】解：过点作交于点，如图所示：，又，又，故选：13【解答】解：是平行四边形，14【解答】解：设与交于点，由平移的性质知，故答案

15、为：三相似三角形的判定与性质（共24小题）15【解答】解：由图可知，是与的公共角，可以利用“两组角对应相等，两三角形相似”得到与相似；，可以利用“两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似”得到与相似；，公共角不是夹角，不能得到与相似；综上所述，能判断与相似的是故选：16【解答】解：由正方形的性质可知，、图形中的钝角都不等于，由勾股定理得，对应的图形中的边长分别为1和，图中的三角形（阴影部分）与相似，故选：17【解答】解：由勾股定理得，三角形的三边分别为，三角形的三边之比为，此三角形是直角三角形，故排除、，选项斜边，三角形的三边之比为，与图示三角形相似；选项，斜边，三角形的三边之比为，与图示三角形

16、不相似故选：18【解答】解：的三边长分别为：，2，的三边长之比为，比例系数是，的两边长分别为1和，的第三边的长应等于故答案为：19【解答】解：，即，解得：故答案为：420【解答】解：是等边三角形，由折叠的性质可知：，即周长为10，故答案为：10；，故答案为：21【解答】证明：，22【解答】解：（1）观察图象可知，（2）结论：理由：，23【解答】证明：，又，24【解答】解：（1），；（2）由（1）可知：，点是的中点，设，解得：，25【解答】（1）证明：，（2）解：，26【解答】解：由折叠的性质易知：，设，则，在中，即，解得：，在中，27【解答】解：（1）在矩形中，有，（2）在矩形中，为的中点，又

17、，在中，由勾股定理得：，由得：即：，解得：28【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，；（2）解：，即，即又，29【解答】（1）证明：平分，（2）解：，30【解答】解：四边形是矩形，又，是的中点，解得：31【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示：（2）与相似，理由如下：于点，于点，又，32【解答】解：证明：，点是点，33【解答】证明：，又，34【解答】解：四边形是平行四边形同理可证：，（舍负）35【解答】（1）证明：如图四边形是平行四边形，又，；（2）解：，四边形是平行四边形，36【解答】解：（1）如图，在中，是的平分线，；（2），37【解答】证明：过点作交于点，由可得，即38【解答】（1）

18、证明：四边形是平行四边形，又，；（2）解：，四相似三角形的应用（共12小题）39【解答】解：，经过点，里，里，里，里，里，解得：里故选：40【解答】解：，设，则，即，是的二次函数，故选：41【解答】解：等边中，即，故选：42【解答】解：在中，设，在中，则，则，该函数为开口向下的抛物线的一部分，且抛物线和轴的交点坐标为和，故选：43【解答】解：，又（对顶角相等），即，解得故答案为：1544【解答】解：，即，故答案为：845【解答】解：如图；，；由于，所以，得：，即，解得：，故答案为：746【解答】解：如图：过点作，由题意得：是直角三角形，有；即，代入数据可得，；故答案为：447【解答】解：，经过

19、点，里，里，里，里，里，解得：里48【解答】解：（1）如图，线段就是小芳能看到的那段公路（2）过点作，垂足为，交于点，又，根据题意得：（米又米，米，（米49【解答】解：（1）图形如图所示（2）如图，米，由米，可得米，由比例可知：米米，故影响采光50【解答】解：（1），（2），当时，的面积最大，此时的面积是8五相似三角形的探究（共10小题）51【解答】解：点在轴上，两个三角形相似时，应该与对应，若与对应，则，；若与对应，则，或者52【解答】解：四边形为正方形，当时，则有，即，解得；当时，则有，即，解得；或53【解答】解：（1）如图1，过作交于点，且是的中线是的中位线，在和中，；（2）过作交于点，

20、且是的中线是的中位线，54【解答】解：（1）如图1，为边中点，为边中点，又，四边形是矩形，即，故答案为：；（2）如图所示：法1：如图，过点作交于点，为边中点，在中，；法2：如图，分别取，的中点，连接，为边中点，；法3：如图，连接，的中点到点，的距离相等，四点共圆，为边中点，；（3）如图所示，过点作交于点，可设，则，在中，故答案为：55【解答】（1）证明：在中，又，且，（两角对应相等的两个三角形相似）（2）解：；与相似下面证明结论：同（1），可证，得，而，因此又因为，所以（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）由得，所以分别过点作，垂足分别为、，则连，在中，由，可得所以，所以，所以56【解答

21、】解：（1）过作于，点是边上的中点，故答案为：；（2）过作于，于，为的角平分线，；（3），由（1）知：，平分，由（2）知：，故答案为：957【解答】（1）解：，理由是：四边形是矩形，故答案为：（2）当时，成立证明：四边形是平行四边形，即当时，成立（3）解：理由是：过作于，交延长线于，连接，设，即，四边形是矩形，在和中，在中，由勾股定理得：，（舍去），故答案为：58【解答】解：（1）结论：与相等理由：如图2中，中，点是的中点，又，在和中，（2）分两种情况讨论：如图中，当点在线段上时，是等边三角形，是的中点，（负根已经舍弃）如图中，当点在线段的延长线上时，等边三角形，为中点，又，解得：（负根已经舍弃），综上所述：长为59【解答】解：（1）如图1中，平分，是等腰三角形，线段是的优美线（2）如图2中，若，则，则，这与这个条件矛盾；若，60【解答】解：（1）动点从坐标点出发，按照“平移量” ，平移到，再按照“平移量” ，平移到，形成，则点的坐标为，点的坐标为，故答案为，（2）（在（1）中的三角形）且相似比为时，当时，当时，当时，当时，故答案为，或，或，或，；，或，或，或，；，或，或，或，（3）如图所示，都满足条件