2022年北京各校九年级数学中考复习训练：一元二次方程（含答案解析）

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1、北京各校九年级数学中考复习训练：一元二次方程一一元二次方程的定义与解（共7小题）1若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为ABCD22若关于的方程的一个根是，则的值是A1BCD3若方程是关于的一元二次方程，则的值为A1BCD不存在4关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是A0B2CD2或5已知是关于的一元二次方程的一个根，则6已知是方程的一个根，求代数式的值7已知是方程的一个根，求代数式的值二解一元二次方程（共8小题）8用配方法解方程时，原方程应变形为ABCD9解方程： 10解方程：11解方程：（1）； （2）12解方程 13解关于的方程：14解方程：15解下列方程：（1）； （2）三一元二

2、次方程的判别式（共26小题）16若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是AB且C且D且17关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是ABC且D且18关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围ABC且D且19关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数、的值：，20若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值是21若一元二次方程无实根，则取值范围是 22关于的一元二次方程（1）求证：不论取何值，此方程总有两个实根；（2）若此方程的两个根互为相反数，求的值23已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）当取哪些整数时，方程的两个实数根均

3、为整数24关于的一元二次方程（1）若方程有两个相等的实数根，用含的代数式表示；（2）若方程有两个不相等的实数根，且求的取值范围；写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根25已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）如果为非负整数，且该方程的根都是整数，求的值26已知关于的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值27已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求实数的取值范围；（2）写出满足条件的的最大整数值，并求此时方程的根28已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，且该方程的

4、根都是整数，求的值29已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，求此时方程的根30关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为正整数，写出一个符合条件的的值并求出此时方程的根31若关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）当为符合条件的最大整数，求此时方程的解32关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根33已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根34已知关于的方程有两个实数根（1）求的取值范围；（

5、2）若为正整数，求此时方程的解35已知关于的方程为实数，（1）求证：此方程总有两个实数根（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数的值36关于的一元二次方程（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围37关于的一元二次方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根38已知关于的方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）若为满足条件的最大整数，求方程的根39已知关于的一元二次方程（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求的取值范围40已知关于的一元二次方程（1）求证：方程总有两个

6、实数根；（2）若此方程有一个负数根，求的取值范围41关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得成立？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由四一元二次方程的应用（共10小题）42某公司8月份销售额为200万元，10月份销售额为320万元，求销售额平均每月的增长率，设销售额平均每月的增长率为，则可列方程为 432017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率设年平均增长率为，则所列的方程应为 （不增加其它未知数）44为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用

7、信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为45新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为，根据题意可列方程 461275年，我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步问阔及长各几

8、步意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步若设长为步，则可列方程为47李明准备进行如下操作实验：把一根长的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形要使这两个正方形的面积和等于，则李明剪的这两个正方形的边长分别是多少？解决问题：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长可以表示为 请你帮助李明完成后面的解答过程48如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，要使草坪面积为300平方米，道路宽应为多少米？49如图，是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点

9、在边上，点在的延长线上，设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米（1）与之间的函数关系式为（不需写自变量的取值范围）；（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，请问此时的长为多少米？50某工厂由于技术革新，产量有了很大的提高原来每个月的产量为1000吨，两个月后，增至1210吨，求该厂产品的月平均增长率51刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同（1）求每个月盈利的增长率；（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？五一元二次方程探究题（共9小题）52关于的一元二次方程经过适当变形，

10、可以写成的形式现列表探究的变形：变形504316227回答下列问题：（1）表格中的值为 ；（2）观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为 ；（3）记的两个变形为和，则的值为 53如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求面积54如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：

11、设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若是倍根方程，求的值；（3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式55阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得化简，得，故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别

12、是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数56已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”如与互为“同根轮换方程”（1）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；（2）已知方程：和方程：，、分别是方程和方程的实数根，且，试问方程和方程是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由57请阅读下列材料：问题：解方程明明的做法是：将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解得，（1）当时，解得；（2）当时，解得综合（1）

13、（2），可得原方程的解为请你参考明明同学的思路，解方程58法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：如果一元二次方程的两个根是，那么，后来人们将这个一元二次方程根与系数的关系称为“韦达定理”这一结论同学们由求根公式也很容易得到请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：（1）已知，是方程的两根，则，；（2）设，是方程的两个根，则的值是 ；（3）若，是两个不相等的实数，且满足，那么59阅读材料：如果，是一元二次方程的两根，那么有，这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例，是方程的两根，求的值解法可以这样：，则请你根据以上解法解答下题：已知，是方

14、程的两根，求：（1）的值； （2）的值60阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式例如，观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的例如，当，即或1时，的值均为0；当，即或0时，的值均为3我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴例如，关于对称，是它的对称轴请根据上述材料解决下列问题：（1）将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴；（2）若关于的多项式关于对称，则；（3）代数式的对称轴是直线参考答案与试题解析一一元二次方程的定义与解（共7小题）1【解答】解：把代入方程，得，解得或

15、，而，所以的值为故选：2【解答】解：关于的方程的一个根是，解得，故选：3【解答】解：由题意得：，且，解得：，故选：4【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是0，解得，故选：5【解答】解：把代入方程得，解得故答案为6【解答】解：是方程的一个实数根，原式7【解答】解：是方程的一个根，即二解一元二次方程（共8小题）8【解答】解：用配方法解方程时，原方程应变形为：，故选：9【解答】解：，则或，解得，10【解答】解：，分解因式得：，可得：或，解得：，11【解答】解：（1），则或，解得，；（2），则或，解得，12【解答】解：，13【解答】解：，或，14【解答】解：，或，解得：，15【解答】解：（1），则或

16、，；（2），解得：，三一元二次方程的判别式（共26小题）16【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，且，解得：且故选：17【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，且，故选：18【解答】解：根据题意得且，解得且故选：19【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，符合一组满足条件的实数、的值：，故答案为：1，220【解答】解：方程有两个相等的实数根，的最小值是0故答案为：021【解答】解：一元二次方程无实根，故答案为：22【解答】（1）证明：不论取何值，方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得，解得23【解答】证明：（1），此方程为一元二次方程，而，方程恒有两个实数根（2）解：方程的

17、根为，若为整数，当或时，方程的两个实数根均为整数24【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，；（2）方程有两个不相等的实数根，且，解得；的取值范围为，可以是3，此时方程为，解得，25【解答】解：（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，；（2）为非负整数，或1，当时，此时方程的根不是整数，舍去；当时，此时方程的根都是整数，26【解答】解：（1），方程总有两个实数根；（2），方程两个根的绝对值相等，或27【解答】解：（1）由题意得，即解得：，又一元二次方程且；（2）且取最大整数，当时，解得，28【解答】解：（1）依题意，得，即的取值范围是；（2）为正整数，或2，当时，方程为的根不是

18、整数；当时，方程为的根，都是整数综上所述，29【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，解得：，的取值范围为（2）为正整数，原方程为，即，解得：，若为正整数时，方程的根为1和330【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，（2）为正整数，且，原方程为，31【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根，即，解得；（2）由（1）可知，的最大整数值为4，此时方程为，解得或32【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，解得：（2），此时原方程为，即，解得：，33【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，解得：且，则的取值范围是且；（2）由

19、（1）知，则方程为，即，解得，方程的根为，34【解答】解：（1）有两个实数根，解得；（2）由（1）知，为正整数，原方程为：，35【解答】解：（1）此方程总有两个不相等的实数根（2）由求根公式，得，此方程的两个实数根都为正整数，整数的值为或36【解答】（1）证明：在方程中，方程总有两个实数根（2）解：，方程有一根小于1，解得：，的取值范围为37【解答】解：（1）根据题意，得，解得；（2）由（1）知，则符合题意当时，整理，得解得，（答案不唯一）38【解答】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根，解得：；（2），的最大整数值为：1，当时，解得：，39【解答】（1）证明：依题意，得，该方程总有两个不

20、相等的实数根；（2）解：解方程，得，方程的两个根均为负数，解得40【解答】（1）证明：依题意，得，方程总有两个实数根；（2），可得，解得，若方程有一个根为负数，则，故41【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根，；（2）存在实数，使得成立；，解得：或，当时，方程为，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去，四一元二次方程的应用（共10小题）42【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为，依题意，得：，故答案为：43【解答】解：设这种商品的年平均增长率为，故答案为：44【解答】解：设月平均增长率为，根据题意得：故答案为：45【解答】解：设年平均增长率为，根据题意可列方程：故答案为：46【解答】解

21、：长为步，宽比长少12步，宽为步依题意，得：47【解答】解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，依题意得：，整理得：，解得：，当时，；当时，答：李明剪的这两个正方形的边长分别是和故答案为：48【解答】解：设道路宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的矩形，依题意得：，整理得：，解得：，又，答：道路宽应为2米49【解答】解：（1），故答案为：；（2）根据题意可得：，解得：，（不合题意，舍去），答：的长为2米50【解答】解：设该厂月平均增长率为，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）答：设该厂月平均增长率为51【解答】解：（1）设每个月盈利的增长率为，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去

22、）答：每个月盈利的增长率为（2）（元答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到4320元五一元二次方程探究题（共9小题）52【解答】解：（1），所以；故答案为3；（2），所以为一次项系数的相反数，即；故答案为；（3）由（2）的结论得到，所以，即，故答案为53【解答】（1）解：当，时勾系一元二次方程为；（2）证明：根据题意，得即勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当时，有，即，即，54【解答】解：（1）在方程中，；在方程中，是倍根方程的是故答案为：（2）整理得：，是倍根方程，（3）是倍根方程，整理得：在一次函数的图象上，此方程的表达式为55【解答】解：（1）设所求方程的根为，则，所以，

23、把代入方程，得：，故答案为：；（2）设所求方程的根为，则，于是，把代入方程，得 ，去分母，得，若，有，于是，方程有一个根为0，不合题意，故所求方程为 56【解答】解：（1）方程与互为“同根轮换方程”，设是公共根，则有，解得，或（舍去），；（2）能，理由如下：当公共解为时，当，时，方程与 互为“同根轮换方程”，当公共解为时，当，时，方程与 互为“同根轮换方程”，设公共解为，是关于的方程的实数根，是关于的方程 的实数根，当，时，方程与 互为“同根轮换方程”57【解答】解：设，则原方程可化为：，解得：，（1）当时，解得，（2）当时，此方程无实数根，综合（1）（2），可得原方程的解是：58【解答】解：（1），；故答案为；2；（2）根据根与系数的关系得，所以；故选：（3），是两个不相等的实数，且满足，可看作方程，故答案为59【解答】解：，（1）（2）60【解答】解：（1），该多项式的对称轴为：；（2），该多项式的对称轴为：，关于的多项式关于对称，故答案为：5；（3）对称轴为：，故答案为：