高中数学解题思维与方法：七、 数学解题方法

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1、 1 七、 数学解题方法数学解题方法 一、换元法一、换元法 “换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如 f(x)，作为新的变量 y 或者把题中某一变量如x，用新变量 t 的式子如 g(t)替换，即通过令 f(x)=y 或 x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题，关键在于根据问题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易的代换 f(x)=y 或 x=g(t)。就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代

2、换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方

3、程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。 二、消元法二、消元法 对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数恒等式或三角恒等式），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法， 在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。 三、待定系数法三、待定系数法 按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，

4、通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。 确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。 （一）比较系数法（一）比较系数法 比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。 比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等的充分必要条件 2 是对应项系数相等， 即 a0 xn+a1xn-1+ +anb0 xn+b1xn-1+ +bn 的充分必要条件是 a0=b0, a1=b1, an=bn 。 （二）特殊值法（二）特殊值法 特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右

5、两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。 特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。 待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。 四、判别式法四、判别式法 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的判别式=b2-4ac 具有以下性质： 0，当且仅当方程有两个不相等的实数根 0，当且仅当方程有两个相等的实数根； 0，当且仅当方程没有实数根。 对于二次函数

6、y=ax2+bx+c (a0)它的判别式=b2-4ac 具有以下性质： 0，当且仅当抛物线与 x 轴有两个公共点； 0，当且仅当抛物线与 x 轴有一个公共点； 0，当且仅当抛物线与 x 轴没有公共点。 利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。 在具体运用判别式时，中的系数都可以是含有参数的代数式。 从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取

7、良好的效果。 五、五、 分析法与综合法分析法与综合法 分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的作用。 在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。 通常把前者称为分析法，后者称为综合法。 具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已知条件； 综合法则是从题目的已知条件出发， 经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。 3 六、六、 数学模型法数学模型法 数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学

8、模型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一种数学方法。 利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作： （1） 建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤： 1o考察实际问题的基本情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。 2o分析系统的矛盾关系。 从实际问题的特定关系和具体要求出发， 根据有关学科理论，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的关系。 3o进行数学抽象。对事物对象及诸对象间

9、的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。 （2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。 （3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的解答。 七、试验法七、试验法 解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。 用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的对象和范围；在制定试验方案时

10、，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。 任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。 八、分类法八、分类法 分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。 不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合， 分成若干个便于讨论的非空真子集， 然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植

11、到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。 用分类法解题，大体包含以下几个步骤： 第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合 A； 第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合 A 分为若干个便于求解 4 的非空真子集 A1，A2，An; 第三步：在子集 A1，A2，An内逐类讨论； 第四步：综合子集内的解答，归纳结论。 以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要

12、有较强的分类意识，需要思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。 九、数形结合法九、数形结合法 数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。 数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。 数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关

13、系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。 中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。 十、反证法与同一法十、反证法与同一法 反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。 （一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。 反证法的解题步骤： 第一步：反设。假设命题结论不

14、成立，即假设原结论的反面为真。 第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。 第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。 反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。 十一、同一法十一、同一法 互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指 5 的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。 对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤： 第一步：作出符合命题结论的图形。 第二步：证明所作图形符合已知条件。 第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。 第四步：断定原命题的真实性。