高中数学解题思维与方法：二数学思维的反思性

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1、 1 二二 数学思维的反思性数学思维的反思性 一、概述一、概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、 不轻信。 在解决问题时能不断地验证所拟定的假设， 获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。 二、思维训练实例二、思维训练实例 (1) (1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。检查思路是否正确，注意发现其中的错误。 例例 1 1 已知bxaxxf)(，若, 6)2(3, 0) 1 (3ff求)3(f的范围。 错误解法错误解法 由条件得 622303baba 2得 156 a

2、2得 32338b +得 .343)3(310,34333310fba即 错误分析错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxaxxf)(，其值是同时受ba和制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法正确解法 由题意有 22)2() 1 (bafbaf 2 解得：),2() 1 (232),1 ()2(231ffbffa ).1 (95)2(91633)3(ffbaf 把) 1 (f和)2(f的范围代入得 .337)3(316 f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识

3、，才能反思性地看问题。 例例2 2 证明勾股定理：已知在ABC中，90C，求证.222bac 错误证法错误证法 在ABCRt中，,cos,sincbAcaA而1cossin22AA， 1)()(22cbca，即.222bac 错误分析错误分析 在现行的中学体系中，1cossin22AA这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思

4、性的体现。 (2) (2) 验算的训练验算的训练 验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。 例例3 3 已知数列 na的前n项和12 nnS，求.na 错误解法错误解法 .222) 12() 12(1111nnnnnnnnSSa 错误分析错误分析 显然，当1n时，1231111Sa，错误原因，没有注意公式1nnnSSa成立的条件是).(2Nnn因此在运用1nnnSSa时，必须检验1n时的情形。即：), 2() 1(1NnnSnSann 例例4 4 实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。 错误解法错误解法 将圆01

5、2222aaxyx与抛物线 xy212联立，消去y， 3 得 ).0(01)212(22xaxax 因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得. 01021202aa 解之，得.817a 错误分析错误分析 （如图 221；222）显然，当0a时，圆与抛物线有两个公共点。 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。 当方程有一正根、一负根时，得. 0102a解之，得. 11a 因此， 当817a或11a时， 圆012222aaxyx与抛物线xy212有两个公共点。 思考题：实数a为何值时，圆012222aaxyx与抛物线xy212， （1） 有一个公共点； （

6、2） 有三个公共点； （3） 有四个公共点； （4） 没有公共点。 养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。 (3) (3) 独立思考，敢于发表不同见解独立思考，敢于发表不同见解 受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利x y O 图图221 x y O 图图222 4 于增强思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培

7、养创造性思维。 例例5 5 30 支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？ 解解 因为每场要淘汰 1 个队，30 个队要淘汰 29 个队才能决出一个冠军。因此应安排 29 场比赛。 思思 路路 分分 析析 传统的思维方法是：30 支队比赛，每次出两支队，应有 15742129 场比赛。而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰 1 个队，要淘汰 29 支队，那么必有 29 场比赛。 例例6 6 解方程.cos322xxx 考察方程两端相应的函数xyxycos, 2) 1(2，它们的图象无交点。 所以此方程无解。 例例 7 7 设、是方程0622kkxx的两个实根，则22)

8、1() 1(的最小值是（ ） 不存在)(;18)(; 8)(;449)(DCBA 思路分析思路分析 本例只有一个答案正确，设了 3 个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：, 6,2kk .449)43(42)(22)(1212) 1() 1(222222k 有的学生一看到449，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根、， , 0)6(442kk. 32kk或 当3k时，22) 1() 1(的最小值是 8；当2k时，22) 1() 1(的最小值是 18； 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。