高中数学解题思维与方法:四 数学思维的开拓性
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1、 1 四四 数学思维的开拓性数学思维的开拓性 一、概述一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察;对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。 “数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特
2、点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在: (1) 一题的多种解法 例如 已知复数z满足1|z,求|iz 的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决: 运用复数的代数形式; 运用复数的三角形式; 运用复数的几何意义; 运用复数模的性质(三角不等式)|212121zzzzzz; 运用复数的模与共轭复数的关系zzz2|; (数形结合)运用复数方程表示的几何图形,转化为两圆1|z与riz |有公共点时,r的最大值。 (2) 一题的多种解释 例如,函数式221axy 可以有以下几种解释: 可以看成自由落体公式.212gts 可以看成动能公式.212mvE 可以看
3、成热量公式.212RIQ 又如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。“1” 2 可以变换为:xtgxabxxxxabaa2222sec),(log)(log,cossin,log,等等。 1 1 思维训练实例思维训练实例 例例 1 1 已知. 1, 12222yxba求证:. 1byax 分析分析 1 1 用比较法。本题只要证. 0)(1byax为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于 2 便不难解决。 证法证法 1 1 )() 11 (21)(1byaxbyax )()(212222byaxyxba , 0)()(21)2()2(21222222ybxay
4、bybxaxa 所以 . 1byax 分析分析 2 2 运用分析法,从所需证明的不等式出发,运用已知的条件、定理和性质等,得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此,证明过程必须步步可逆,并注意书写规范。 证法证法 2 2 要证 . 1byax 只需证 , 0)(1byax 即 , 0)(22byax 因为 . 1, 12222yxba 所以只需证 , 0)(2)(2222byaxyxba 即 . 0)()(22ybxa 因为最后的不等式成立,且步步可逆。所以原不等式成立。 分析分析 3 3 运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理(主要是平
5、均值不等式)进行推理、运算,从而达到证明需求证的不等式成立的方法) 证法证法 3 3 .2,22222ybbyxaax. 1222222ybxabyax x l M y d 图图421 O 3 即 . 1byax 分析分析 4 4 三角换元法:由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式,符合三角函数同角关系中的平方关系条件,具有进行三角代换的可能,从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系,给证明带来方便。 证法证法 4 4 , 1, 12222yxba可设 cos,sin.cos,sinyxba , 1)cos(coscossinsinbyax 分析分析 5 5 数形结合法:由于
6、条件122 yx可看作是以原点为圆心,半径为 1 的单位圆,而.22babyaxbyax联系到点到直线距离公式,可得下面证法。 证法证法 5 5 (如图 4-2-1)因为直线0:byaxl经过 圆122 yx的圆心 O,所以圆上任意一点),(yxM 到直线0byax的距离都小于或等于圆半径 1, 即 . 11|22byaxbyaxbabyaxd 简评简评 五种证法都是具有代表性的基本方法,也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外,前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中,根据题目的变化的需要适当进行选择。 例例 2 2 如果, 0)(4)(2zyyxx
7、z求证:zyx、成等差数列。 分析分析 1 1 要证zyx、,必须有zyyx成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。 证法证法 1 1 , 0)(4)(2zyyxxz , 02, 0)2(, 0)2()(22)(, 044442222222yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz 4 故 zyyx,即 zyx、成等差数列。 分析分析 2 2 由于已知条件具有xzzyyx,轮换对称特点,此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母,从而给转换运算带来便利。 证法证法 2 2 设,bzyayx则. bazx 于是,已知条件可化为: .0)(04)(22
8、zyyxbabaabba 所以zyx、成等差数列。 分析分析 3 3 已知条件呈现二次方程判别式acb42的结构特点引人注目,提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。 证法证法 3 3 当0 yx时, 由已知条件知, 0zyxxz即zyx、成等差数列。 当0 yx时,关于t的一元二次方程:, 0)()()(2zytxztyx 其判别式, 0)(4)(2zyyxxz故方程有等根,显然t1 为方程的一个根,从而方程的两根均为 1, 由韦达定理知 .121zyyxyxzytt即 zyx、成等差数列。 简评:简评:证法 1 是常用方法,略嫌呆板,但稳妥可靠。证法 2 简单明了,是最好的
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