高中数学解题思维与方法：四 数学思维的开拓性

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1、 1 四四 数学思维的开拓性数学思维的开拓性 一、概述一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特

2、点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1) 一题的多种解法 例如 已知复数z满足1|z，求|iz 的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： 运用复数的代数形式； 运用复数的三角形式； 运用复数的几何意义； 运用复数模的性质（三角不等式）|212121zzzzzz； 运用复数的模与共轭复数的关系zzz2|； （数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1|z与riz |有公共点时，r的最大值。 (2) 一题的多种解释 例如，函数式221axy 可以有以下几种解释： 可以看成自由落体公式.212gts 可以看成动能公式.212mvE 可以看

3、成热量公式.212RIQ 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1” 2 可以变换为：xtgxabxxxxabaa2222sec),(log)(log,cossin,log，等等。 1 1 思维训练实例思维训练实例 例例 1 1 已知. 1, 12222yxba求证：. 1byax 分析分析 1 1 用比较法。本题只要证. 0)(1byax为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于 2 便不难解决。 证法证法 1 1 )() 11 (21)(1byaxbyax )()(212222byaxyxba , 0)()(21)2()2(21222222ybxay

4、bybxaxa 所以 . 1byax 分析分析 2 2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。 证法证法 2 2 要证 . 1byax 只需证 , 0)(1byax 即 , 0)(22byax 因为 . 1, 12222yxba 所以只需证 , 0)(2)(2222byaxyxba 即 . 0)()(22ybxa 因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。 分析分析 3 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平

5、均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法） 证法证法 3 3 .2,22222ybbyxaax. 1222222ybxabyax x l M y d 图图421 O 3 即 . 1byax 分析分析 4 4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。 证法证法 4 4 , 1, 12222yxba可设 cos,sin.cos,sinyxba , 1)cos(coscossinsinbyax 分析分析 5 5 数形结合法：由于

6、条件122 yx可看作是以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，而.22babyaxbyax联系到点到直线距离公式，可得下面证法。 证法证法 5 5 （如图 4-2-1）因为直线0:byaxl经过 圆122 yx的圆心 O，所以圆上任意一点),(yxM 到直线0byax的距离都小于或等于圆半径 1， 即 . 11|22byaxbyaxbabyaxd 简评简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。 例例 2 2 如果, 0)(4)(2zyyxx

7、z求证：zyx、成等差数列。 分析分析 1 1 要证zyx、，必须有zyyx成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。 证法证法 1 1 , 0)(4)(2zyyxxz , 02, 0)2(, 0)2()(22)(, 044442222222yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz 4 故 zyyx，即 zyx、成等差数列。 分析分析 2 2 由于已知条件具有xzzyyx,轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。 证法证法 2 2 设,bzyayx则. bazx 于是，已知条件可化为： .0)(04)(22

8、zyyxbabaabba 所以zyx、成等差数列。 分析分析 3 3 已知条件呈现二次方程判别式acb42的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。 证法证法 3 3 当0 yx时， 由已知条件知, 0zyxxz即zyx、成等差数列。 当0 yx时，关于t的一元二次方程：, 0)()()(2zytxztyx 其判别式, 0)(4)(2zyyxxz故方程有等根，显然t1 为方程的一个根，从而方程的两根均为 1， 由韦达定理知 .121zyyxyxzytt即 zyx、成等差数列。 简评：简评：证法 1 是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法 2 简单明了，是最好的

9、解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法 3 引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。 例例3 3 已知1 yx，求22yx 的最小值。 分析分析 1 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母yx、， 但已知条件恰有yx、的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。 解法解法 1 1 .1, 1xyyx 设22yxz，则. 122)1 (222xxxxz 二次项系数为, 02 故z有最小值。 5 当21222x时，.212421242）（最小值z 22yx 的最小值为.21 分析分析 2 2 已知的一次式1 yx两边平方后与所求的二次式22yx 有密切关联，

10、于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。 解法解法 2 2 , 1)(, 12yxyx即.2122xyyx ).(1,2222222yxyxyxxy 即 ,2122 yx当且仅当21 yx时取等号。 22yx 的最小值为.21 分析分析 3 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。 解法解法 3 3 设.22yxz .2121)21()21(1, 12222yxyxyxzyx 当21 yx时，.21最小z即22yx 的最小值为.21 分析分析 4 4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得

11、到用解析法求解的启发。 解法解法 4 4 如图 422，1 yx表示直线, l22yx 表示原点到直线l上的点),(yxP的距离的平方。 显然其中以原点到直线l的距离最短。 此时，,222|100|d即.22)(22最小yx 所以22yx 的最小值为.21 注注 如果设,22zyx则问题还可转化为直线1 yx与圆zyx22有交点时，半径z的最小值。 简评简评 几种解法都有特点和代表性。解法 1 是基本方法，解法 2、3、4 都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法 4，),(yxP 1 1 O x y l 图图422 6 形象直观，值得效仿。 例例4

12、4 设.1,2RzzRz求证：. 1|z 分析分析 1 1 由已知条件21zz为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。 证法证法 1 1 设),(12Raazz当0a时，可得0z与Rz条件不合。 . 0a于是有 . 02azaz ,Rz该方程有一对共轭虚根，设为21,zz，于是.|,222121zzzz 又由韦达定理知 . 1|. 1|, 12221221121zzzzzzzaazz 分析分析 2 2 由于实数的共轭复数仍然是这个实数， 利用这一关系可以建立复数方程，注意到2| zzz 这一重要性质，即可求

13、出| z的值。 证法证法 2 2 设),(12Raazz当0a时，可得0z与Rz条件不合，. 0a 则有 21zza，.11,22zzzzaa 即 ).()()1 ()1 (22zzzzzzzzzzzz 但 ,|2zzz. 0)|1)(,|222zzzzzzzzz 而 . 1|,2zRzz即. 1|z 分析分析 3 3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。 证法证法 3 3 ,1,122RzzRzz即.11Rzzzzzz 从而必有. 1|. 1zzz 简评简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件

14、化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法 3 利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法。 7 例例 5 5 由圆922 yx外一点)12, 5(P引圆的割线交圆于BA、两点， 求弦AB的中点M的轨迹方程。 分析分析 1 1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。 解法解法 1 1 如图 423，设弦AB的中点M的坐标为),(y

15、xM，连接OMOP、， 则ABOM ，在OMP中，由两点间的距离公式和勾股定理有 .169)12()5(2222yxyx 整理，得 . 012522yxyx其中. 33x 分析分析 2 2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的 曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。 解法解法 2 2 因为M是AB的中点，所以ABOM ， 所以点M的轨迹是以|OP为直径的圆，圆心为)6 ,25(, 半径为,2132|OP该圆的方程为： 222)213()6()25(yx 化简，得 . 012522yxyx其中. 33x 分析分析 3 3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM

16、与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。 解法解法 3 3 设过P点的割线的斜率为, k则过P点的割线方程为：)5(12xky. ABOM 且过原点，OM的方程为 .1xky这两条直线的交点就是M点的轨迹。两方程相乘消去, k化简，得：. 012522yxyx其中. 33x 分析分析 4 4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。 解法解法 4 设过P点的割线方程为：)5(12xky 它与圆922 yx的两个交点为BA、，AB的中点为M. 图图4P M B A

17、 O 8 解方程组 , 912)5(22yxxky 利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M点的轨迹方程为： . 012522yxyx其中. 33x 分析分析 5 5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M的坐标),(yx与两交点),(),(2211yxByxA、通过中点公式联系起来， 又点、MPBA、构成 4 点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。 解法解法 5 5 设),(),(),(2211yxByxAyxM则.2,22121yyyxxx . 9, 922222121yxyx 两式相减，整理，得 . 0)()(21121212yyyyxxxx 所以 ,21211212yxyyxxxxyy 即为AB的斜率，而AB对斜率又可表示为,512xy,512yxxy 化简并整理，得 . 012522yxyx其中. 33x 简评简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 1、2、3 局限于曲线是圆的条件，而解法 4、5 适用于一般的过定点P且与二次曲线C交于BA、两点，求AB中点M的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法 5 通常利用ABPMkk可较简捷地求出轨迹方程，比解法 4 计算量要小，要简捷得多。