高中数学解题思维与方法：三 数学思维的严密性

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1、 1 三三 数学思维的严密性数学思维的严密性 一一、概述、概述 在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面： 概念模糊概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。 它是构成判断、 推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。 判判断错误断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、

2、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如， “函数xy)31(是一个减函数”就是一个错误判断。 推理错误推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。 例如，解不等式.1xx 解解 , 1,12xxx , 1x 或 . 1x这个推理是错误的。 在由xx1推导12x时， 没有讨论x的正、负，理由不充分，所以出错。 二、思维训练实例二、思维训练实例 思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1) (1) 有关概念的训练有关

3、概念的训练 概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。 “正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。 ” 中学数学教学大纲 （试行草案） 例例1 1、 不等式不等式 ).23(log)423(log2)2(2)2(22xxxxxx 错误解法错误解法 , 122x , 2342322xxxx . 223, 0622xxxx或 错误分析错误分析 当2x时，真数0232 xx且2x在所求的范围内（因 232 ） ，说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件 2 造成解法错误，表现出思维的不严密性。 正确解法正确解法 122x 2342302304232222xxxx

4、xxxx 2231231313131xxxxxx或或或 . 22xx或 例例2 2、 求过点求过点) 1 , 0(的直线，使它与抛物线的直线，使它与抛物线xy22仅有一个交点。仅有一个交点。 错误解法错误解法 设所求的过点) 1 , 0(的直线为1 kxy，则它与抛物线的交点为 xykxy212，消去y得：. 02) 1(2xkx 整理得 . 01)22(22xkxk直线与抛物线仅有一个交点， , 0解得.21k所求直线为. 121xy 错误分析错误分析 此处解法共有三处错误： 第一，设所求直线为1 kxy时，没有考虑0k与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是

5、不严密的。 第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况， 只考虑相交的情况。 原因是对于直线与抛物线 “相切” 和 “只有一个交点”的关系理解不透。 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即, 0k而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法正确解法 当所求直线斜率不存在时， 即直线垂直x轴， 因为过点) 1 , 0(， 所以, 0 x即y轴，它正好与抛物线xy22相切。 当所求直线斜率为零时，直线为, 1y平行x轴，它正好与抛物线xy22只有一个交点。 3 设所求的过点) 1

6、 , 0(的直线为1 kxy)0(k则 xykxy212， . 01)22(22xkxk令, 0解得.21k所求直线为. 121xy 综上，满足条件的直线为： . 121, 0, 1xyxy (2)(2) 判断的训练判断的训练 造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。 注意定理、公式成立的条件注意定理、公式成立的条件 数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。 例例3 3、 实数实数m，使方程，使方程021)4(2miximx至少有一个实根。至少有一个实根。 错误解法错误解法 方程至少有一个实根， . 020)21 (4)4(22mm

7、iim , 52m或. 52m 错误分析错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法正确解法 设a是方程的实数根，则 . 0)24(1, 021)4(22imamaamiaima 由于ma、都是实数， 024012mamaa 解得 . 2m 例例 4 4 已知双曲线的右准线为已知双曲线的右准线为4x，右焦点，右焦点)0 ,10(F, ,离心率离心率2e, ,求双曲线方程。求双曲线方程。 错解错解

8、 1 1 .60,40,10, 422222acbaccax 4 故所求的双曲线方程为 . 1604022yx 错解错解 2 2 由焦点)0 ,10(F知,10c .75, 5, 2222acbaace 故所求的双曲线方程为 . 1752522yx 错解分析错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解正解 1 1 设),(yxP为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4x，右焦点)0 ,10(F，离心率2e，由双曲线的定义知 . 2|4|)10(22xyx 整理得 . 148

9、16)2(22yx 正解正解 2 2 依题意，设双曲线的中心为)0 ,(m 则 . 21042acmcmca 解得 . 284mca 所以 ,481664222acb 故所求双曲线方程为 . 14816)2(22yx 注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用 我们知道： 5 如果A成立，那么B成立，即BA，则称A是B的充分条件。 如果B成立，那么A成立，即AB ，则称A是B的必要条件。 如果BA，则称A是B的充分必要条件。 充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题

10、中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。 例例 5 5 解不等式解不等式. 31xx 错误解法错误解法 要使原不等式成立，只需 ,) 3(103012xxxx 解得. 53 x 错误分析错误分析 不等式BA 成立的充分必要条件是：200BABA或 00BA 原不等式的解法只考虑了一种情况2) 3(10301xxxx，而忽视了另一种情况0301xx，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。 正确解法正确解法 要使原不等式成立，则 2) 3(10301xxxx或0301xx 53x，或. 31 x 原不等式的解集为 51| xx 例例

11、 6 6（轨迹问题）求与y轴相切于右侧，并与 06:22xyxC也相切的圆的圆心 的轨迹方程。 错误解法错误解法 如图 321 所示， 已知C 的方程为. 9) 3(22yx 设点)0)(,(xyxP为所求轨迹上任意一点，并且P 与y轴相切于 M 点， P C(3,0) y x O 图图321 M N 6 与C 相切于 N 点。根据已知条件得 3| PMCP，即. 3)3(22xyx 化简得 ).0(122xxy 错误分析错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性 （即所求的轨迹上的点都满足条件） ，而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都

12、满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于 3）的圆也符合条件，所以)30(0 xxy且也是所求的方程。 即动圆圆心的轨迹方程是和)0(122xxy )30(0 xxy且。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 防止以偏概全的错误防止以偏概全的错误 以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。 例例 7 7 设等比数列 na的全n项和为nS.若9632SSS，求数列的公比q. 错误解法错误解法 ,2963SSS qqa

13、qqaqqa1)1 (21)1 (1)1 (916131 . 012(363）整理得qqq 124, 0) 1)(12(. 012033336qqqqqqq或得方程由 错误分析错误分析 在错解中，由qqaqqaqqa1)1 (21)1 (1)1 (916131 . 012(363）整理得qqq时， 应有. 101qa和在等比数列中，01a是显然的，但公比q完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论公比1q的情况，再在1q的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法正确解法 若1q，则有.9,6,3191613aSaSaS 7 但01a，即得,2963SSS与题设矛盾，故1q. 又依题意 ,2963SS

14、S 可得 qqaqqaqqa1)1 (21)1 (1)1 (916131 . 012(363）整理得qqq即, 0) 1)(12(33qq 因为1q，所以, 013q所以. 0123q 所以 .243q 说明说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失 2 分。 避免直观代替论证避免直观代替论证 我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。 例例 8 8 （如图 322），具有公共y轴的两个直角坐标平面和所成的二面角轴y等于60.已知内的曲线C的方程是)0(22

15、pxpy， 求曲线C在内的射影的曲线方程。 错误解法错误解法 依题意，可知曲线C是抛物线， 在内的焦点坐标是. 0),0 ,2(ppF 因为二面角轴y等于60， 且轴，轴轴，轴yxyx所以.60 xxo 设焦点F在内的射影是),(yxF，那么，F位于x轴上， 从而,90,60, 0FOFOFFy 所以.421260cosppFOOF 所以点)0 ,4(pF是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。 所以曲线C在内的射影的曲线方程是.2pxy yO xxF图图3 8 错误分析错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为曲线）的焦点，是射影(F 其次，未经证明C默认条抛

16、物线内的射影（曲线）是一在。 正确解法正确解法 在内，设点),(yxM是曲线上任意一点 （如图 323）过点M作MN，垂足为N， 过N作yNH 轴，垂足为.H连接MH， 则yMH 轴。所以MHN是二面角 轴y的平面角，依题意，MHN 60. 在.2160cos,xHMHNMNHRt中 又知xHM/轴（或M与O重合）， xHN/轴（或H与O重合），设),(yxN， 则 .221yyxxyyxx 因为点),(yxM在曲线)0(22pxpy上，所以).2(22xpy 即所求射影的方程为 ).0(42ppxy (3)(3) 推理的训练推理的训练 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是

17、数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考缜密、推理严密。 例例 9 9 设椭圆的中心是坐标原点， 长轴x在轴上， 离心率23e， 已知点)23, 0(P到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。 错误解法错误解法 依题意可设椭圆方程为)0(12222babyax yO xxF图图3M N H 9 则 43122222222ababaace， 所以 4122ab，即 .2ba 设椭圆上的点),(yx到点P的距离为d

18、， 则 222)23( yxd . 34)21( 3493)1 (222222byyybya 所以当21y时，2d有最大值，从而d也有最大值。 所以 22)7(34b，由此解得：. 4, 122ab 于是所求椭圆的方程为. 1422 yx 错解分析错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当21y时，2d有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y到的取值范围。事实上，由于点),(yx在椭圆上，所以有byb，因此在求2d的最大值时，应分类讨论。即： 若21b，则当by时，2d（从而d）有最大值。 于是,)23()7(22 b从而解得矛盾。与21,2123

19、7bb 所以必有21b，此时当21y时，2d（从而d）有最大值， 所以22)7(34b，解得. 4, 122ab 于是所求椭圆的方程为. 1422 yx 10 例例 1010 求xxy22cos8sin2的最小值 错解错解 1 1 |cossin|8cos8sin22cos8sin22222xxxxxxy .16,.16|2sin|16minyx 错解错解 2 2 . 261182221)coscos8()sinsin2(2222xxxxy 错误分析错误分析 在解法 1 中，16y的充要条件是. 1|2sin|cos8sin222xxx且 即. 1|sin|21|xtgx且这是自相矛盾的。.1

20、6min y 在解法 2 中，261y的充要条件是 ,22cos2sincoscos8sinsin2222222xxxxxx，即且这是不可能的。 正确解法正确解法 1 1 xxy22sec8csc2 .1842210)4(210)1 (8)1 (2222222xtgxctgxtgxctgxtgxctg 其中，当.1824222yxctgxtgxctg时，即.18min y 正正 确确 解解 法法 2 2 取正常数k，易得 kxkxxkxy)coscos8()sinsin2(2222 .268222kkkkk 其中“”取“”的充要条件是 .1821coscos8sinsin222222kxtgxkxxkx且，即且 因此，当,1826212kkyxtg时，.18min y