2023年广东省中考数学一轮复习专题特训18：四边形（含答案解析）

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1、2023年中考数学一轮复习专题特训18：四边形一、单选题1（2022广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A62B32C2-3D6-222（2022深圳）下列说法错误的是（）A对角线垂直且互相平分的四边形是菱形B同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等C对角线相等的四边形是矩形D对角线垂直且相等的平行四边形是正方形3（2022广东）如图，在 ABCD 中，一定正确的是（） AAD=CDBAC=BDCAB=CDDCD=BC4（2022广东模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是

2、AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于点F下列结论中，正确的结论有（） BPAP；BPEC= PCAB；13SABP=12S四边形PBCF ；sinPCF= 725A4B3C2D15（2022深圳模拟）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且 GCBG=12 ，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DEDG交CA的延长线于点E，若AE=3，则DF的长为（） A22B453C92D3526（2022花都模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则BAD的正弦值为（）A35B1225C2425D657（

3、2022海珠模拟）如图，平行四边形ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD12，则DOE的周长为（）A16B14C22D188（2022南海模拟）如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF=2，则四边形AECF的周长等于（）A20B202C30D4349（2022福田模拟）如图，在ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，DEF=C若DE=4，AF=73，则BC的长是（）A163B92C6D21410（2022濠江模拟）如图，ABC中，AB10，AC7，BC9，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DBFE的周长

4、是（）A13B15C17D19二、填空题11（2022广州）如图，在ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则BOC的周长为 12（2022南海模拟）若一个正n边形的一个内角与和它相邻的外角的度数之比是3：1，那么n= 13（2022花都模拟）如图，在矩形ABCD中，DE平分ADC，交AB于点E，EFCE交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H则下列结论：AE=BC；若AE=4，CH=5，则CE25；EF=AE+DH；当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG=6：5其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）14（202

5、2高州模拟）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若DCB70，则FAC 15（2022宝安模拟）图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AF平分BAC，交BD于点E，交BC于点F，若BEBF2，则AD 16（2022南沙模拟）如图，在平行四边形ABCD中，BAD60，延长AD至点E使得AEAB，连接BE交CD于点F，连接并延长AF，交CE于点G下列结论：BADEBC；BDAF；BDAG；若AD2DE，则FGCG=12其中，正确的结论是 （请填写所有正确结论的序号）17（2022濠江模拟）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠

6、放在一起，ABAF，AEBC若AB2，BC6，则图中重叠（阴影）部分的面积为 18（2022中山模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC=3，ADC=120 ，点E为对角线 AC 上的一动点，则 EA+EB+ED 的最小值为 19（2022封开模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的面积为12，点 B 在 y 轴上，点 C 在反比例函数 y=kx （ x0 ）的图象上，则 k 的值为 20（2022宝安模拟）如图，在 ABCD 中对角线 AC ， BD 交于点O， AF 平分 BAC ，交 BD 于点E，交 BC 于点F，若 BE=BF=2 ，则 AD= 三、综合题21（2022广

7、州）如图，在菱形ABCD中，BAD = 120，AB = 6，连接BD （1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由22（2022深圳） （1）【探究发现】如图所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将AEB沿BE翻折到BEF处，延长EF交CD边于G点求证：BFGBCG（2）【类比迁移】如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将AEB沿BE翻折到BEF处，

8、延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长（3）【拓展应用】如图，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，D=60，将ADE沿AE翻折得到AFE，直线EF交BC于点P，求CP的长23（2022深圳模拟）如图 图1 图2 图3（1）问题背景：如图1，在ABC中，D为AB上一点，若ACD=B求证：AC2=ADAB；（2）尝试应用：如图2，在ABC中，AB=9，AC=6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且 DEEC=12 ，ACD=ABE，求BD的长： （3）拓展创新：如图3， ABCD 中，E是AB上一点，且 AEBE=12 ，EFAC，连接DE，DF，若EDF=

9、BAC，DF= 56 ，直接写出AB的长 24（2022南海模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，连接AE、CF（1）求证：四边形AECF是菱形（2）当AB=4，BC=8时，求线段EF的长25（2022广州模拟）如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：GDETEH；（2）若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；（3）是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时

10、AE的长度，若不存在，请说明理由26（2022顺德模拟）如图（1）动手操作：如图1，将一张长方形的纸对折两次，然后沿45的方向剪下一个角，打开，剪出的是一个 形再利用图形的“旋转”开展数学探究活动，体会图形在旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法；（2）问题探究：如图2，由“动手操作”所得的四边形ABCD的对角线相交于点O，把一个与它全等的四边形OGHM绕点O旋转，OG交AB于E，OM交BC于F探究线段OE，OF之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展迁移：如图3，矩形ABCD的对角线交点为O，直角EOF的边OE，OF分别与边AB，BC相交于E，F设ABBC=k（k为常数），探究线段OE，OF之

11、间的数量关系，并说明理由27（2022潮南模拟）如图，在四边形ABCD中，BCD=90，对角线AC，BD相交于点N点M是对角线BD的中点，连接AM，CM如果AM=DC，ABAC，且AB=AC（1）求证：四边形AMCD是平行四边形；（2）延长AM交BC于点E，求MEBE的值28（2022澄海模拟）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MHBC于点H，连接BF（1）求证：MHNBCF；（2）若HN=32，求DF的长；（3）若DF=12CF，求折叠后重叠部分的面积

12、29（2022蓬江模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AOB关于AB的对称图形为AEB（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）连接CE，若AB=6cm，CB=21cm求sinECB的值；若点P为线段CE上一动点（不与点C重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以2.5cm/s的速度沿线段PC匀速运动到点C，到达点C后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点C所需要的时间最短时，求CP的长和点Q走完全程所需的时间30（2022新会模拟）如图，在ABC中， D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AFBC交ED的延长线于点F，连接A

13、E， CF求证：（1）四边形AFCE是平行四边形：（2）FGBE=CEAE答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】解：如图，连接EF，正方形ABCD的面积为3，AB=BC=CD=AD=3，ABC=90=A=D，CE=1，DE=3-1，tanEBC=CEBC=13=33，EBC=30，ABE=90-30=60，AF平分ABE，ABF=12ABE=30，AF=ABtan30=333=1，DF=3-1，DEF为等腰直角三角形，EF=2DE=2(3-1)=6-2，M，N分别为BE，BF的中点，MN=12EF=6-22.故答案为：D【分析】利用锐角三角函数先求出AF=1，再求出DEF为等腰直角三角形，最

14、后求解即可。2【答案】C【解析】【解答】解：A对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；B同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；C对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；D对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意故答案为：C【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。3【答案】C【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形AB=CD，AD=BC故答案为：C【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可。4【答案】A【解析】【解答】解：由折叠的性质得：BE=EP，点E是AB边的中点，AE=BE=3，AE=BE=EP=

15、3，EAP=EPA，EBP=EPB，EAP+EPA+EBP+EPB=180，APB=90，BPAP，故正确；由折叠的性质得：EPC=EBC=90，ECP=ECB，CEBP，PC=BC=4，APB=EPC，ABP=ECB=ECP，CPEBPA，PCBP=ECAB，BPEC=PCAB，故正确；CEBP，BPAP，CEAF，ABCD，四边形AECF是平行四边形，CF=AE=3，AF=CE，EPC=90，PC=4，EP=3，CE=AF=5，CPEBPA，PCBP=ECAB=PEPA，4BP=56=3PA，BP=245，PA=185，SABP=12245185=21625， S四边形PBCF=3+642

16、=18， S四边形PBCF=18-21625=23425，13SABP=280825=12S四边形PBCF，故正确 ；如图，过点P作PMCD于点M，PFMAFD，PMAD=PFAF，AF=5，PA=185，PF=75PM4=755，PM=2825，sinPCF=PMPC=28254=725，故正确，正确的个数有4个.故答案为：A.【分析】根据折叠的性质和等腰三角形的性质得出EAP=EPA，EBP=EPB，从而得出APB=90，得出BPAP，即可判断正确；证出CPEBPA，得出PCBP=ECAB，从而得出BPEC=PCAB，即可判断正确；证出四边形AECF是平行四边形，得出CF=AE=3，AF=

17、CE=5，根据相似三角形的判定与性质得出BP=245，PA=185，求出SABP=12245185=21625，S四边形PBCF=18-21625=23425，从而得出13SABP=280825=12S四边形PBCF，即可判断正确 ；过点P作PMCD于点M，根据相似三角形的判定与性质得出PM=2825，再根据锐角三角函数的定义得出sinPCF=725，即可判断正确.5【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点E作EMAD于点M，设CG=x，CGBG=12，BG=2x，BC=3x，四边形ABCD是正方形，AD=CD=BC=3x，EAM=CAD=45，ADC=BCD=90，AM=EM，AC=32x，

18、AM2+EM2=AE2=32，AM=EM=322，DM=3x+322，DEDG，ADC=90，CDG=MDE，DME=BCD=90，DCGDME，CDDM=CGME，3x3x+322=x322，x=2，DG=25，ADBC，GFDF=CGAD=13，DF=34DG=352.故答案为：D.【分析】过点E作EMAD于点M，设CG=x，根据正方形的性质得出AD=CD=BC=3x，EAM=CAD=45，ADC=BCD=90，根据勾股定理得出AM=EM=322，从而得出DM=3x+322，再证出DCGDME，得出CDDM=CGME，从而得出x=2，得出DG=25，再根据GFDF=CGAD=13，得出DF

19、=34DG=352.6【答案】C【解析】【解答】解：如图，过B作BQAD于Q， 菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，S=12ACBD=24，OA=OC=4，OB=OD=3，AB=AD，AB=32+42=5=AD，ADBQ=24，BQ=245，sinBAD=BQAB=2455=2425.故答案为：C【分析】过B作BQAD于Q，先求出AB和BQ的长，再利用正弦的定义可得sinBAD=BQAB=2455=2425。7【答案】B【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，OD=12BD，点E是AD的中点，DE=12AD，OE=12AB，平行四边形ABCD的周长是32，A

20、D+AB=16，BD12，DOE的周长等于DO+DE+OE=12BD+12AD+12AB=12(BD+AD+AB)=12(12+16)=14故答案为：B【分析】根据中点和中位线的性质可得DE=12AD，OE=12AB，再利用平行四边形的性质可得AD+AB=16，再结合BD=12，利用三角形的周长公式可得答案。8【答案】D【解析】【解答】解：如图，连接AC，AC与BD相交于点O，四边形ABCD是正方形，AOCO，BODO，ACBD，ACBD10，AOCOBODO5，ACEFDE=BF=2，OEOFODDE3，在RtCOE中，CE2=CO2+OE2CE=CO2+OE2=52+32=34AOCO，O

21、EOF四边形AECF是平行四边形 ACEF四边形AECF是菱形，AEECCFAF34四边形AECF的周长434故答案为：D【分析】连接AC，AC与BD相交于点O，先利用勾股定理求出CE的长，再证明四边形AECF是菱形，即可得到四边形AECF的周长为434。9【答案】A【解析】【解答】解：如图四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，A=CDEF=C，DEF=AEDF=ADE，DFEDEADEDF=ADDEDE2=DFAD，DE=4，AF=73，DF=AD-7342=(AD-73)AD，AD=163，AD=-3（舍去）BC=AD=163故答案为：A【分析】先证明DFEDEA可得DEDF=ADDE求

22、出DF=AD-73，再结合42=(AD-73)AD求出AD的长即可。10【答案】D【解析】【解答】解：点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，DE、EF均为ABC的中位线，DE=12BC=BF，EF=12AB=BD， AB10，BC9，DE=BF=92，EF=BD=10，四边形DBFE的周长=DB+BF+FE+DE=19故答案为：D 【分析】根据三角形中位线的性质可得DE=12BC=BF，EF=12AB=BD，求出DE=BF=92，EF=BD=10，再利用四边形的周长公式求解即可。11【答案】21【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，BC

23、=AD=10，AC+BD=22，OC+BO=11，BC=10，BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21故答案为：21【分析】根据题意先求出OC+BO=11，再求三角形的周长即可。12【答案】8【解析】【解答】解：设和它相邻的外角的度数为x，则这个内角为3x，根据题意得：x+3x=180，解得：x=45，n=36045=8故答案为：8【分析】设和它相邻的外角的度数为x，则这个内角为3x，利用邻补角求出x的值，再利用多边形的外角和除以外角的度数可得边数。13【答案】【解析】【解答】矩形ABCD，A=B=90，EFCE，AEF=BCE，DE平分ADC，DAE=45，AD=AE=BC，AEFB

24、CE，AE=BC，故符合题意；AEFBCE，EF=BC，矩形EFGC是正方形，CE=CG，DCG=BCE=90-DCE，GCHBCE，CGCB=CHCE，AE=4，CH=5，CB=AE=4，CE4=5CE，CE=25，故符合题意；设CB=a，CE=b，则CB=AE=AD=a，CE=CG=EF=b，BE=CE2-CB2=b2-a2，CD=AB=AE+BE=a+b2-a2，GCHBCE，CGCB=CHCE，ba=CHb，CH=b2a，DH=DC-CH=a+b2-a2-b2a，AE+DH=a+a+b2-a2-b2a=2a+b2-a2-b2a，EF=b，a、b的关系不固定，2a+b2-a2-b2a=b

25、不一定成立，EF=AE+DH不一定成立，故不符合题意；当F是AD的中点时，BE=AF=12AD=12a=b2-a2，4b2=5a2，即a2b2=45，S四边形ABCDS四边形CEFG=CB2CE2=a2b2=45，故不符合题意；综上所述，正确的是；故答案为：【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质及四边形的综合题逐项判断即可。14【答案】20【解析】【解答】解：EF是线段AB的垂直平分线，AFBF，FABFBA，四边形ABCD是菱形，DCB70，BCAB，BCA12DCB35，ACBD，BACBCA35，FBA90BAC55，FAB55，FACFABBAC553520，故答案为：20【

26、分析】根据菱形的性质和等腰三角形的性质求出BAC和FAB的度数，即可解决问题。15【答案】2+22【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，DAFBFE，BEBF2，BEFBFE，BEFAEDBFEDAF，ADDE，设BEFAEDDAFx，又AF平分BAC，BAFCAF，设BAFCAFy，则DACDAFCAFxy，ABDAEDBAFxy，DBADAO，又ADOBDA，ADOBDA，设ADDEm，ADBD=DODA，BDBE+DE2+m，DO12BD12（2+m），m2+m=12(2+m)m，2m2（2+m）2m2+4m+4，m12+22，m22220（舍），经检验m2

27、+22是分式方程的解，AD2+22，故答案为：2+22【分析】先证明ADOBDA，设ADDEm，则ADBD=DODA，求出BDBE+DE2+m，DO12BD12（2+m），再将数据代入可得m2+m=12(2+m)m，求出m的值即可得到答案。16【答案】【解析】【解答】BAD60，AEAB，ABE是等边三角形，BE=BA，BEA60，四边形ABCD是平行四边形，BCD60，BCAD，BC=AD，BEA=CBE=60，BCAD，BC=AD，CBF都是等边三角形，BF=BC=CF=AD，BADEBC，故结论符合题意；四边形ABCD是平行四边形，DFAB，EAB=ABE=60，BFD=ADF=120，

28、BF=AD，DF=FD，FBADAB，BF=AD，故结论符合题意；四边形ABCD是平行四边形，DFAB，BCAD，CBD=BDA=60+FBD，BDF=ABD=60-FBD，CBDBDF，若BDAG，则BDA+FAD=90，2BDA+2FAD=180，BD是ADC的角平分线，CBD=BDF，矛盾，故结论不符合题意；四边形ABCD是平行四边形，DFAB，BCAD，FDE=FCB=60，DEF=FBC=60，EDF都是等边三角形，FE=FD=ED，AD=CF，CFE=ADF=120，FDAEFC，GCF=DAF，GFC=DFA，GCFDAF，FGFD=CGAD，FGCG=FDAD=EDAD，AD=

29、2DE，FGCG=12，故结论符合题意；故答案为：【分析】利用平行四边形的性质和判定、相似三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质逐项判断即可。17【答案】203【解析】【解答】设BC交AE于点G，AD交CF于点H 四边形ABCD是矩形，四边形AECF是矩形AHGC，AGCH四边形AGCH是平行四边形四边形ABCD和四边形AECF是全等的矩形AB=CE在ABG和CEG中B=EABG=CGEAB=CEABGCEG(AAS)AG=CG平行四边形AGCH是菱形BG+CG=6BG+AG=6设AG=CG=x，BG=6-x在RtABG中B=90(6-x)2+22=x2解得：x=103菱形AGCH的面积：

30、ABCG=2103=203故答案为：203 【分析】设BC交AE于点G，AD交CF于点H，先利用“AAS”证明ABGCEG，再证明平行四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，BG=6-x，利用勾股定理列出方程(6-x)2+22=x2，求出x的值，最后利用菱形的面积公式计算即可。18【答案】3【解析】【解答】如图，过点 E 作 AD 的垂线 EF ，垂足为 F ，过点 D 作 DOAC ， AC=3，ADC=120RtADO 中， ADO=12ADC=60DAO=30AD=2DOAO=3DO ， AO=32AD=2DO=23332=3DAC=30EA+EB+ED=EA+2EB=2(12EA+EB

31、)=2(EF+EB)2FB如图，当 BFAD 时， BF 最小，最小值为 FB=AB32=32EA+EB+ED 的最小值为 2FB=3 故答案为：3 【分析】过点 E 作 AD 的垂线 EF ，垂足为 F ，过点 D 作 DOAC ，先利用含30角的直角三角形的性质可得 EA+EB+ED=EA+2EB=2(12EA+EB)=2(EF+EB)2FB，当 BFAD 时， BF 最小，最小值为 FB=AB32=32，再求出EA+EB+ED 的最小值为2FB=3。 19【答案】-6【解析】【解答】解：连接AC，交y轴于点D，如图所示：四边形OABC是菱形，OBAC，OB、AC互相平分，菱形OABC的面

32、积为12，SOCD=14S菱形OABC=1412=3 ，由反比例函数k的几何意义可知： SOCD=12|k|=3 ，解得 k=6 ，由图象可知 k=-6 故答案为：-6【分析】连接AC，交y轴于点D，根据菱形的性质可得SOCD=14S菱形OABC=1412=3，再利用反比例函数k的几何意义可得SOCD=12|k|=3，从而求出k的值即可。20【答案】2+22【解析】【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形AD BC，OD 12 BDDAEBFE BEBFBEF是等腰三角形BEFBFEDAEBEFBEFAEDDAEAEDADE是等腰三角形ADDEAED是ABE的外角AEDABEBAEAF 平分

33、BACBAECAEAEDABECAEAEDDAEOADCAEABEOADADOBDAADOBDAADBD=ODAD设AD x，则DEADx，BDDEBEx2，xx+2=12(x+2)x 解得x1 2+22 ，x2 2-22 （不合题意，舍去） x 2+22AD 2+22故答案为： 2+22【分析】先证明ADOBDA可得ADBD=ODAD，设AD x，则DEADx，BDDEBEx2，可得xx+2=12(x+2)x，再求出x的值，即可得到AD的长。21【答案】（1）解：连接AC，设AC与BD的交点为O，如图， 四边形ABCD是菱形，ACBD ， OA=OC，ABCD，AC平分DAB，BAD = 1

34、20，CAB=60，ABC是等边三角形，BO=ABsin60=632=33，BD=2BO=63；（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， ABC是等边三角形，AC=AB=6，由（1）得：BD=63；菱形ABCD中，对角线BD平分ABC，ABCD，BC=AB=6，MNBC，BAD=120，ABC=60，EBN=30；EN=12BES菱形ABCD=12ACBD=MNBC，MN=33，设BE=x，则EN=12x，EM=MN-EN=33-12x， S菱形ABCD= ADMN=633=183，SABD= 12S菱形ABCD=93，BE=3DF，DF=BE3=33x，SDEF=12

35、DF EM=1233x(33-12x) =-312x2+32x，记四边形ABEF的面积为s，s= SABD - SDEF =93-（-312x2+32x）=312(x-33)2+2734，点E在BD上，且不在端点，0BEBD，即0x63；当CEAB时，OBAC，点E是ABC重心，BE=CE=23BO=2333=23，此时s=312(23-33)2+2734 =73，当CEAB时，四边形ABEF的面积为73；作CHAD于H，如图，COBD，CHAD，而点E和F分别在BD和AD上，当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；在菱形ABCD中，ABCD，AD=CD，BAD=120，

36、ADC=60，ACD是等边三角形，AH=DH=3，CH=33，s=312(x-33)2+2734，当x=33，即BE=33时， s达到最小值，BE=3DF，DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，CE+3CF的值达到最小，其最小值为CO+3CH=3+333=12【解析】【分析】（1）先求出 ABC是等边三角形， 再利用锐角三角函数BO的值，最后求出BD的值即可；（2）利用三角形的面积公式求出s，再求出 点E是ABC重心， 最后求解即可；根据题意先求出 ACD是等边三角形， 再求出 DF=3， 最后求最小值即可

37、。22【答案】（1）解：将AEB沿BE翻折到BEF处，四边形ABCD是正方形，AB=BF，BFE=A=90，BFG=90=C，AB=BC=BF，BG=BG，RtBFGRtBCG(HL)；（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：设FH=HC=x，在RtBCH中，BC2+CH2=BH2，82+x2=(6+x)2，解得x=73，DH=DC-HC=113，BFG=BCH=90，HBC=FBG，BFGBCH，BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，BG=254，FG=74，EQ/GB，DQ/CB，EFQGFB，DHQCHB，BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，DQ=887，设

38、AE=EF=m，则DE=8-m，EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，EFQGFB，EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，解得m=92，AE的长为92；（3）解：（）当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QHCD于H，如图：设DQ=x，QE=y，则AQ=6-x，CP/DQ，CPEQDE，CPDQ=CEDE=2，CP=2x，ADE沿AE翻折得到AFE，EF=DE=2，AF=AD=6，QAE=FAE，AE是AQF的角平分线，AQAF=QEEF，即6-x6=y2，D=60，DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，在RtHQE中，H

39、E2+HQ2=EQ2，(1-12x)2+(32x)2=y2，联立可解得x=34，CP=2x=32；（）当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q，过D作DNAB交BA延长线于N，如图：同理QAE=EAF，AQAF=QEEF，即6+x6=y4，由HQ2+HD2=QD2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，可解得x=125，CP=12x=65，综上所述，CP的长为32或65【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可；（3）分类讨论，利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。23【答案】（1）证明：ACD=B，A=A A

40、BCACDABAC=ACADAC2=ADAB（2）解：过点E作EFAC分别交AB于点F. DFEDACDECE=12EFCA=DFDA=DEDC=13EF= 13 AC=2设DF=x，则FA=2x，FB=9-2xMNACACD=FED又ACD=ABEFED=FBEFEBFDEEF2=FDFB22=x(9-2x)x1=4 ， x2=12 当x=4时，BD=9-3x=-3（舍去） 当 x=12 时，BD=9-3x= 152BD的长为 152 .另解：过点C作CMBE交AB的延长线于点M.（3）解： 454【解析】【解答】解：（3）延长EF交DC的延长线于N. 则AENC，BEFCNFAE=CN，N=BACAEBE=12设AE=CN=x，则BE=2x，CD=3x，DN=4x.设EF=2y，则NF=y，EN=3yEDF=BACEDF=NDEFNEDED2=ENEF =3y2y= 6y2ED= 6y