2022届广东省高三数学一轮复习专题04:导数(含答案)
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1、专题04:导数一、单选题1(2022广东湛江一模)已知当时,函数的图象与函数的图象有且只有两个交点,则实数k的取值范围是()ABCD2(2022广东广州一模)曲线在点处的切线方程为()ABCD3(2022广东汕头一模)已知,则以下不等式正确的是()ABCD4(2022广东深圳一模)已知函数,其中,则()A在上单调递增B在上单调递减C曲线是轴对称图形D曲线是中心对称图形5(2022广东韶关一模)已知,则()ABCD6(2022广东茂名一模)已知,则的解集是()A或或且B或或,且C或或且D或或且二、填空题7(2022广东一模)已知直线分别与函数和的图象交于点A,B,则的最小值为_.8(2022广东
2、广东一模)已知,则曲线在处的切线方程是_9(2021广东佛山一模)已知函数,当时,函数的零点个数为_;若函数有两个零点,则实数a的取值范围为_三、解答题10(2022广东惠州一模)已知函数().(1)当m=0时,讨论的单调性;(2)若不等式对恒成立,求m的取值范围.11(2022广东一模)已知,为的导函数.(1)若对任意都有,求的取值范围;(2)若,证明:对任意常数,存在唯一的,使得成立.12(2022广东湛江一模)已知函数,.(1)当时,证明:当时,;(2)若对,都,使恒成立,求实数a的取值范围.13(2022广东广州一模)已知函数,为的导数.(1)证明:当时,;(2)设,证明:有且仅有2个
3、零点.14(2022广东汕头一模)已知函数(且为常数).(1)讨论函数的极值点个数;(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.15(2022广东深圳一模)已知函数()(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个零点,(i)求实数a的取值范围;(ii)求证:16(2022广东广东一模)已知函数,(1)若函数在处取得极大值,求实数的值;(2)当时,若对,不等式恒成立,求实数的值17(2022广东韶关一模)已知函数且.(1)若,求曲线在点处的切线方程;(2)讨论函数的零点个数.18(2022广东茂名一模)已知函数.(1)若,恒成立,求的取值范围;(2)证明:;(3)证明:当时,.19(2021广东佛山
4、一模)已知函数的两个极值点为,2,且在处的切线方程为(1)求函数的表达式;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围20(2021广东佛山一模)设函数(1)当时,求的单调区间;(2)任意正实数,当时,试判断与的大小关系并证明参考答案1A【分析】将两个函数的解析式联立,消去,得到等式,问题转化为方程有两个不同的正实根,根据这个等式运用常变量分离法,通过构造新函数,利用导数的性质进行求解即可.【详解】由题设,当时,令,则,所以当时,则单调递增;当时,则单调递减.又,所以当时,直线与的图象有两个交点,即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故选:A.【点睛】关键点睛:利用常变量分离法构造函数利用导数的性
5、质是解题的关键.2A【分析】利用导数的几何意义得到切线的斜率,利用点斜式求出切线方程.【详解】,所以,又当时, 所以在点处的切线方程为:,即.故选:A.3C【分析】由于,所以构造函数,然后利用导数判断函数的单调性,再利用单调性比较大小即可【详解】,令,则,当时,当时,所以在上递增,在上递减,因为,所以,因为,所以,所以故选:C4C【分析】由解析式易得且定义域为且即可判断C;对求导,并讨论、研究在上的符号判断A、B;根据是否为定值判断D.【详解】由题设,定义域为且,所以关于对称,C正确;又,当时,不妨假设,则,显然,此时在上有递减区间,A错误;当时,在上,即在上递增,B错误;由,不可能为定值,故
6、D错误.故选:C【点睛】关键点点睛:利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性,根据、是否成立判断对称性(为常数).5C【分析】构造函数,利用导数证明,进而比较大小,再根据正余弦函数性质比较大小即可得答案.【详解】解:当,又,所以,故记,所以,令,得,令,得,所以在单调递减,在单调递增.所以,即,当时取等号.所以,所以.故选:C.6A【分析】不等式等价于或,分别解不等式,再取交集,即可得到答案;【详解】为偶函数,当时,在恒成立,在单调递增,且,当时,;当时,;当时,当时,不等式等价于或的解集是或或且7【分析】由题意,为A,B两点横坐标差的绝对值,因此设出坐标作差,再求最值即可.【详解】与的交点为
7、,函数所以在区间上单调递增,令,对于一个的值,有唯一的使,所以,有,所以,令,则,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减.所以,故.故答案为:8【分析】利用导数的几何意义,即可求解.【详解】,所以曲线在处的切线方程式,得.故答案为:9 1 【分析】(1)令,得,再构造函数,分析函数的性质即得解;(2)令得到,再对分两类讨论、分离参数分析函数的图象得解.【详解】(1)当时,令,所以,所以,令,所以函数是增函数(增函数+增函数=增函数),当时,;,所以只有一个解,所以当时,函数的零点个数为1;(2)令所以,当时,不成立,所以不是函数的零点.当时,所以,令,令,所以函数在单调递增,在单调递减,因为,
8、所以,所以在时有两个零点,在时只有一个零点,在时只有一个零点;所以或,由对勾函数得,当时,即时,此时方程有一个零点,当即时,方程有两个零点.所以当或时,原函数有两个零点.故答案为:1;.10(1)函数在上单调递增;(2).【分析】(1)求得,再求二阶导数,根据二阶导数的正负判断的单调性,从而求得其正负,即可判断原函数的单调性;(2)根据(1)中所求,对进行适度放缩,对参数与的大小关系进行分类讨论,利用导数研究函数单调性和最值,即可证明.(1)当时,则令,则因为时,;时,所以函数在区间单调递减,在单调递增所以,所以函数在R上单调递增.(2)因为对恒成立,且所以当时,有;当时,有由(1)知,所以由
9、,得当时,所以函数在单调递增所以当时,;当时,所以当时,对恒成立.当时,令,则令,则因为,有,所以所以函数在区间单调递增,且有所以当时,;当时,所以函数在单调递减,在单调递增因为,所以存在使得,且时,所以函数在区间上单调递减,即,则有与条件矛盾,即不合题意.综上,可得实数m的取值范围是.【点睛】本题考察利用导数判断函数单调性,以及利用导数由恒成立问题求参数范围的问题;其中解决第二问的关键是利用第一问中的结论对导数进行放缩,同时利用零点存在定理找到当时的矛盾点,也是重中之重,属综合困难题.11(1)(2)证明见解析【分析】(1)通过分离变量的方式得到,利用导数可求得,由此可得的范围;(2)将问题
10、转化为在区间上有唯一的零点,由解析式可确定在上单调递减;结合(1)的结论知,进而得到,由零点存在定理可证得结论.(1)由得:,即;令,则,当时,;当时,;在上单调递减,在上单调递增,即的取值范围为.(2)设,将问题转化为在区间上有唯一的零点,由,知在区间上单调递减,故函数在区间上至多有个零点,由(1)知:当时,(当且仅当时取等号),又,即,即,又,即,由函数零点存在定理知:在区间上有唯一的零点,即存在唯一的,使得成立.【点睛】关键点点睛:本题考查导数在研究函数中的应用,本题第二问证明的关键是能够将问题转化为在区间上有唯一的零点的证明问题,从而能够结合零点存在定理进行证明.12(1)证明见解析;
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