2022届广东省高三数学二轮复习专题训练04:导数(含答案解析)
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1、专题04:导数一、单选题1(2022广东梅州二模)已知是定义在上的奇函数,是的导函数,当时,且,则不等式的解集是()ABCD2(2022广东茂名二模)过坐标原点作曲线的切线,则切点的纵坐标为()AeB1CD3(2022广东茂名二模)已知函数,分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且,若函数有唯一零点,则正实数的值为()ABC1D24(2022广东普宁市华侨中学二模)已知定义在上的奇函数满足,则不等式的解集为()ABCD5(2022广东韶关二模)已知直线既是函数的图象的切线,同时也是函数的图象的切线,则函数零点个数为()A0B1C0或1D1或26(2022广东汕头二模)已知函数,若过点存在3条直线与
2、曲线相切,则t的取值范围是()ABCD7(2022广东深圳二模)已知,若过点可以作曲线的三条切线,则()ABCD8(2022广东茂名二模)已知,则不等式的解集为()ABCD二、多选题9(2022广东广州二模)已知,直线与曲线相切,则下列不等式成立的是()ABCD10(2022广东湛江二模)若过点最多可作出条直线与函数的图象相切,则()AB当时,的值不唯一C可能等于D当时,的取值范围是11(2022广东佛山二模)已知,且 ,其中e为自然对数的底数,则下列选项中一定成立的是()ABCD12(2022广东茂名二模)若对任意的,且,都有,则m的值可能是()ABCD113(2022广东珠海市第三中学二模
3、)已知函数,下列说法正确的有()A曲线在处的切线方程为B的单调递减区间为C的极大值为D方程有两个不同的解14(2022广东二模)吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),为r(V)的导函数已知r(V)在上的图象如图所示,若,则下列结论正确的是()ABCD存在,使得15(2022广东潮州二模)已知幂函数的图象经过点,则下列命题正确的有()A函数的定义域为B函数为非奇非偶函数C过点且与图象相切的直线方程为D若,则三、填空题16(2022广东肇庆二模)写出一个同时具有下列性质的函数:_.;.17(2022广东茂名二模)已知,则曲线在点处的切线方程为_.18(2022广东惠州二模)若函
4、数在上单调递增,则实数的取值范围是_19(2022广东普宁市华侨中学二模)函数的图象在点处的切线方程是_.20(2022广东茂名二模)已知函数,若存在实数t使得函数有7个不同的零点,则实数a的取值范围是_四、解答题21(2022广东广州二模)已知函数(1)若,求的单调区间;(2)若,证明:22(2022广东湛江二模)已知函数.(1)当时,若在上存在最大值,求m的取值范围;(2)讨论极值点的个数.23(2022广东佛山二模)已知函数.其中为自然对数的底数.(1)当时,求的单调区间:(2)当时,若有两个极值点,且恒成立,求的最大值.24(2022广东梅州二模)已知.(1)求的单调区间;(2)证明:
5、方程在上无实数解25(2022广东茂名二模)已知函数其中实数(1)讨论函数的单调性;(2)求证:关于x的方程有唯一实数解26(2022广东肇庆二模)已知函数(1)函数为的导函数,讨论的单调性;(2)当时,证明:存在唯一的极大值点,且27(2022广东珠海市第三中学二模)1.已知函数.(1)若在处取得极值,求的值及函数的单调区间;(2)请在下列两问中选择一问作答,答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若恒成立,求的取值范围.若仅有两个零点,求的取值范围.28(2022广东茂名二模)已知函数,其中.(1)当时,求的值;(2)讨论的零点个数.29(2022广东惠州二模)已知函数().(1)当时,试
6、求函数图像在点处的切线方程;(2)若函数有两个极值点、(),且不等式恒成立,试求实数的取值范围.30(2022广东普宁市华侨中学二模)已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个极值点,求实数的取值范围31(2022广东韶关二模)已知(1)求证:当x0时, (2)若不等式,(其中)恒成立时,实数m的取值范围为(-,t,求证:32(2022广东二模)已知函数(且)的图象与x轴交于P,Q两点,且点P在点Q的左侧(1)求点P处的切线方程,并证明:时,(2)若关于x的方程(t为实数)有两个正实根,证明:33(2022广东潮州二模)已知函数,(1)若函数在区间内单调递增,求实数a的取值范围;(2)
7、若,且,求证:34(2022广东汕头二模)已知函数,其中是自然对数底(1)求的极小值;(2)当时,设为的导函数,若函数有两个不同的零点,且,求证:35(2022广东深圳二模)设函数,其中(1)讨论的单调性;(2)当存在小于零的极小值时,若,且,证明:36(2022广东茂名二模)已知函数在点处的切线方程为(1)求函数在上的单调区间;(2)当时,是否存在实数m使得恒成立,若存在,求实数m的取值集合,若不存在,说明理由(附:,)参考答案1B【分析】令,根据题意可得函数在上递增,从而可得出函数在上的符号分布,从而可得函数在上的符号分布,再结合是定义在上的奇函数,即可得出函数在上的符号分布,从而可得出答
8、案.【详解】令,则,所以函数在上递增,又因,所以当时,当时,又因当时,当时,所以当时,当时,又因为,所以当时,因为是定义在上的奇函数,所以,当时,由不等式,得或,解得,所以不等式的解集是.故选:B.2B【分析】设出切点,利用导数得到切线的斜率,写出切线方程,将原点坐标代入切线方程,解出即可.【详解】解:设切点,由,得,所以,曲线在点处的切线方程为,又过(0,0),解得,切点,纵坐标为1故选:B3C【分析】首先利用方程组法求函数的解析式,由解析式判断的对称性,利用导数分析的单调性及极值点,根据函数有唯一的零点知极小值,即可求正实数值.【详解】由题设,可得:,由,易知:关于对称.当时,则,所以单调
9、递增,故时单调递减,且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大,所以仅有一个极小值点1,则要使函数只有一个零点,即,解得.故选:C【点睛】关键点点睛:奇偶性求函数解析式,导数分析函数的单调性、极值,根据零点的个数及对称性、单调性求参数值.4B【解析】构造,易知奇函数,且在上为增函数,然后将转化为,令,用导数法得到时,然后利用函数单调性的定义求解.【详解】因为奇函数满足,所以,所以为奇函数,且在上为增函数,而等价于,令,则,而,当时,当时,所以,所以在上递减,而,所以时,;所以的解集为,故选:B【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数,函数的单调性的定义的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,
10、属于较难题.5B【分析】设是函数图象的切点,则由导数的几何意义可求得,设是函数的切点,同样利用导数的几何意义可求出,然后根据零点存在性定理可求得结果【详解】设是函数图象的切点,则,(1) 又(2),将(1)代入(2)消去整理得:,设是函数的切点,据题意,又故,令, ,故,在定义域上为增函数,又,故,故,在上是增函数当时,;当时,;由零点存在性定理可得,g(x)存在唯一一个函数零点个数是1,故选:B6D【分析】设切点,求得切线方程,根据切线过点,得到,再根据存在3条直线与曲线相切,则方程有三个不同根,利用导数法求解.【详解】解:设切点,因为,则,所以切线方程为,因为切线过点,所以,即,令,则,令
11、,得或,当或时,当时,所以当时,函数取得极小值,当时,函数取得极大值,因为存在3条直线与曲线相切,所以方程有三个不同根,则,故选:D7B【分析】设切点为,切线方程为,求出函数的导函数,即可得到,整理得,令,利用导数说明函数的单调性,即可求出函数的极值,依题意有三个零点,即可得到不等式组,从而得解;【详解】解:设切点为,切线方程为,由,所以,所以,则,所以,令,则,因为,所以当或时,当时,所以在和上单调递增,在上单调递减,所以当时取得极大值,当时取得极小值,即,依题意有三个零点,所以且,即;故选:B8B【分析】确定函数的奇偶性,由导数确定单调性,然后由奇偶性变形不等式,由单调性求解【详解】由题意
12、知的定义域为R,且,得为奇函数,且,且在上单调递增由得,即解得故选:B9AC【分析】利用导数的几何意义,求出a,b的关系,再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.【详解】设直线与曲线相切的切点为,由求导得:,则有,解得,因此,即,而,对于A,当且仅当时取“=”,A正确;对于B,当且仅当,即时取“=”,B不正确;对于C,因,则有,即,当且仅当,即时取“=”,由得,所以当时,C正确;对于D,由,得,而函数在R上单调递增,因此,D不正确.故选:AC10ACD【分析】由题设切点为,进而得,再构造函数,将问题转化为与的交点个数问题,再数形结合求解即可.【详解】解:不妨设切点为,因为,所以切线方程为,所
13、以,整理得,所以令,则,所以,令得.所以,当或时,当时,因为,当趋近于时,趋近于,当趋近于时,趋近于,所以,函数的图像大致如图,所以,当时,故B错误,此时成立;当时,所以,故可能等于,C正确;当当时,显然,故D正确;综上,A正确.故选:ACD11AC【分析】构造函数,求导,计算出其单调性即可判断.【详解】构造函数 , ,当 时, , 时, , 时, ,在处取最大值, , ,函数图像如下: , ,A正确;B错误; , , ,C正确,D错误;故选:AC.12BCD【分析】将转化为,构造函数,利用导数求其单调递减区间即可.【详解】,且,则,整理得设,则只需要在上单调递减即可,令,解得,则,所以BCD
14、符合,故选:BCD.13ABC【分析】对于A,利用导数的几何意义求解即可,对于B,对函数求导后,由导数小于零可求得结果,对于C,求导后求出函数的单调区间,从而可求出函数的极大值,对于D,画出的图象,利用图象求解.【详解】因为,所以,对于A,则在处的切线方程为,所以A正确;对于B,令,解得,所以的单调递减区间为,所以B正确;对于C,令,得,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以的极大值为,所以C正确;对于D,由D的解析知在上单调递增,在上单调递减,且,当时,当时,所以画出的图象,如图,方程解的个数,即的图象与的交点个数,由图知只有一个解,所以D错误故选:ABC14BD【分析】A:设,由图得
15、,所以该选项错误;B:根据图象和导数的几何意义得,所以该选项正确;C:设 ,所以该选项错误;D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解:A:设,由图得,所以所以,所以该选项错误;B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义得,所以该选项正确;C:设,因为所以,所以该选项错误;D:表示两点之间的斜率,表示处切线的斜率,由于,所以可以平移直线使之和曲线相切,切点就是点,所以该选项正确.故选:BD15BC【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式,写出函数的定义域、判定奇偶性,即判定选项A错误、选项B正确;设出切点坐标,利用导数的几何意义和过点求出切线方程,进而判定选项
16、C正确;平方作差比较大小,进而判定选项D错误.【详解】设,将点代入,得,则,即,对于A:的定义域为,即选项A错误;对于B:因为的定义域为,所以不具有奇偶性,即选项B正确;对于C:因为,所以,设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,又因为切线过点,所以,解得,即切线方程为,即,即选项C正确;对于D:当时,即成立,即选项D错误故选:BC16(底数大于e的指数函数均可)【分析】由指数函数的性质可求解.【详解】由可知函数是指数函数,由可知函数单调递增,又,故只要即可故答案为:(底数大于e的指数函数均可)17【分析】利用导函数求得即为切线斜率,由原函数求得,由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】因为,所
17、以,又,故所求切线方程为,即.故答案为:.18【分析】求出导函数,利用,用分离参数法即可求出a的范围.【详解】因为,所以,又函数在上单调递增,所以在恒成立,分离参数可得在恒成立,令,所以在上单调递增,所以,所以,故答案为:.19【分析】利用导数求出斜率,即可得到切线方程.【详解】因为,所以;所以,所以.所以函数在点处的切线方程是,即.故答案为:20【分析】利用导数研究函数的性质,得单调性和极值,并作出函数的大致图象,由得或,然后分类讨论,它们一个有3个根,一个有4个根,由此可得参数范围【详解】当时,当时,递减,当时,递增,故时,;当时,时,递增,时,递减,所以当时,有极大值,当时,作出的大致图
18、象如图,由题意知,即有7个不同的实根,当有三个根,有四个实根,此时或,得或;当有四个根时,有三个实根,此时,得,所以故答案为:21(1)单调递减区间为,无单调递增区间;(2)证明见解析【分析】(1)求f(x)的导数,令,求,根据正负判断单调性,根据单调性判断正负,从而判断f(x)单调性;(2)将化为,令1,则,根据(1)中f(x)单调性即可证明(1)的定义域为,由于,则,令,则,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减则函数的单调递减区间为,无单调递增区间(2)方法一:欲证,只要证,即证令,由于,则故只要证,即证由(1)可知,在区间上单调递减,故时,即由于,则成立方法二:由(1)得在上单调递增,
19、当时,则,使,即,则当时,在上单调递减;当时,在上单调递增则,令,由于,则,则,整理得【点睛】本题第一问关键是二次求导,依次通过导数的正负判断原函数的单调性;第二问的关键是注意到要证的不等式可以化为,令1,则化为,即,结合(1)中函数单调性即可证明得到结论22(1);(2)当时,函数有一个极值点;当时,函数有两个极值点;当时,函数没有极值点.【分析】(1)根据导数的性质,结合函数的单调性和最值的定义进行求解即可;(2)根据导数的性质,结合极值点的定义、一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可.(1)因为,所以,因为函数的定义域为:,所以当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,函数有最大值,因此
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