2022届广东省高三数学二轮复习专题训练10:立体几何(含答案解析)
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1、专题10:立体几何一、单选题1(2022广东湛江二模)已知,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,且,则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2(2022广东佛山二模)如图,某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成,且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36的球面上,若圆柱的高为2,则圆锥的侧面积为()A2B4C16D3(2022广东茂名二模)若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形,则圆锥的侧面积是()ABCD4(2022广东肇庆二模)已知一个圆锥的体积为,其侧面积是底面积的2倍,则其底面半径为()AB3CD5(2022广东珠海市第三中学二模)某圆锥母线长
2、为,底面半径为,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()ABCD6(2022广东惠州二模)已知为三条不同的直线,为三个不同的平面,则下列说法正确的是()A若,则B若且,则C,则D若且,则7(2022广东普宁市华侨中学二模)如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形且,则在下列说法中,错误的为()AB截面PQMNCD异面直线PM与BD所成的角为458(2022广东韶关二模)对24小时内降水在平地上单位面积的积水厚度(mm)进行如下规定:积水厚度区间级别小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆台形容器(如图)接了24小时雨水,则这天的降雨属于哪个等级()A小雨B中雨C大雨D暴雨9(2022
3、广东潮州二模)已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为,则该圆柱的体积为()ABCD10(2022广东潮州二模)已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为()ABCD11(2022广东深圳二模)已知一个球的表面积在数值上是它的体积的倍,则这个球的半径是()A2BC3D二、多选题12(2022广东广州二模)如图,圆柱的轴截面是正方形,E在底面圆周上, ,F是垂足,G在BD上, ,则下列结论中正确的是()AB直线与直线所成角的余弦值为C直线与平面所成角的余弦值为D若平面平面,则13(2022广东湛江二模)在正方体中,点E为线段上的动点,则()
4、A直线DE与直线AC所成角为定值B点E到直线AB的距离为定值C三棱锥的体积为定值D三棱锥外接球的体积为定值14(2022广东佛山二模)在棱长为3的正方体中,M是的中点,N在该正方体的棱上运动,则下列说法正确的是()A存在点N,使得B三棱锥M的体积等于C有且仅有两个点N,使得MN平面D有且仅有三个点N,使得N到平面的距离为15(2022广东梅州二模)在长方体中,动点在体对角线上(含端点),则下列结论正确的有()A当为中点时,为锐角B存在点,使得平面C的最小值D顶点到平面的最大距离为16(2022广东茂名二模)如图,在四面体ABCD中,底面ABC,若四面体ABCD的外接球的表面积为,则四面体ABC
5、D的体积不可能是()A5B6C7D817(2022广东肇庆二模)在九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,如图,四棱锥为一个阳马,其中平面,均为垂足,则()A四棱锥的外接球直径为B三棱锥的外接球体积大于三棱锥的外接球体积C七点在同一个球面上D平面平面18(2022广东珠海市第三中学二模)在正三棱锥中,设,则下列结论中正确的有()A当时,到底面的距离为B当正三棱锥的体积取最大值时,则有C当时,过点A作平面分别交线段,于点,不重合,则周长的最小值为D当变大时,正三棱锥的表面积一定变大19(2022广东茂名二模)某一时段内,从天空降落到地面上的液态或固态的水,未经蒸发,而在
6、水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量24h降雨量的等级划分如下:等级24h降用量(mm)小雨(0,10)中雨10,25)大雨25,50)暴雨50,100)大暴雨100,250)特大暴雨250,+)在一次暴雨降雨过程中,小明用一个大容量烧杯(如图,瓶身直径大于瓶口直径,瓶身高度为50cm,瓶口高度为3cm)收集雨水,容器内雨水的高度可能是()A20cmB22cmC25cmD29cm20(2022广东惠州二模)已知正四棱台的上下底面边长分别为4,6,高为,是的中点,则()A正四棱台的体积为B平面平面C平面D正四棱台的外接球的表面积为21(2022广东普宁市华侨中学二模)下列说法正确的是()A空间
7、中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形;B同一平面的两条垂线一定共面;C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内;D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.22(2022广东二模)在所有棱长都相等的正三棱柱中,点A是三棱柱的顶点,M,N、Q是所在棱的中点,则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是()ABCD23(2022广东汕头二模)如图,在正方体中,点P在线段上运动,则()A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线AP与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为24(2022广东深圳二模)如图,在正方体中,E为的中点,则下列条件中,能使直线平
8、面的有()AF为的中点BF为的中点CF为的中点DF为的中点25(2022广东茂名二模)棱长为4的正方体中,E,F分别为棱,的中点,则下列说法中正确的有()A三棱锥的体积为定值B当时,平面截正方体所得截面的周长为C直线FG与平面所成角的正切值的取值范围是D当时,三棱锥的外接球的表面积为三、填空题26(2022广东梅州二模)已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为的球面上,上、下底面正方形的外接圆半径分别为和,则此正四棱台的体积为_.27(2022广东茂名二模)正方体的棱长为2动点P在对角线上过点P作垂直于的平面记平面截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为yf(x),设BPx,下列说法中
9、,正确的编号为 _截面多边形可能为四边形;函数f(x)的图象关于x对称;当x时,三棱锥PABC的外接球的表面积为928(2022广东普宁市华侨中学二模)如图,直三棱柱,ABC为等腰直角三角形,ABBC.且AC=AA1=2,E,F分别是AC,A1C1的中点,D为AA1的中点,则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为_.29(2022广东二模)十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中一种常见的教具如图2,该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,若底面正方形边长为2,则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为_30(2022广东茂名二模)正三棱锥S-ABC的底面边
10、长为4,侧棱长为,D为棱AC的中点,则异面直线SD与AB所成角的余弦值为_31(2022广东广州二模)在梯形中,将沿折起,连接,得到三棱锥,则三棱锥体积的最大值为_此时该三棱锥的外接球的表面积为_32(2022广东韶关二模)将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=2,则四面体ABCD的外接球的半径为_,四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为_.33(2022广东深圳二模)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家,他于5世纪末提出了“幂势既同,则积不容异”的体积计算原理,即“夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果裁得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何
11、体的体积相等”现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示,若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周,则形成的旋转面的面积_;若将图形G绕y轴旋转一周,则形成的旋转体的体积_四、解答题34(2022广东广州二模)如图,已知四边形是边长为2的菱形,平面平面(1)求证:平面平面;(2)若,求二面角的余弦值35(2022广东湛江二模)在四棱台中,底面ABCD是正方形,且侧棱垂直于底面ABCD,O,E分别是AC与的中点.(1)证明:平面.(2)求与平面所成角的正弦值.36(2022广东佛山二模)如图,在以P,A,B,C,D为顶点的五面体中,平面ABCD为等腰梯形,平面PAD平面PAB,.
12、(1)求证:PAD为直角三角形;(2)若,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.37(2022广东梅州二模)如图,在直角梯形中,分别是,的中点,将四边形沿折起,如图,连结,.(1)求证:;(2)当翻折至时,设是的中点,是线段上的动点,求线段长的最小值.38(2022广东茂名二模)如图,四棱锥P-ABCD的底面为梯形,底面ABCD,E为PA的中点(1)证明:平面平面BCE;(2)若二面角P-BC-E的余弦值为,求三棱锥P-BCE的体积39(2022广东肇庆二模)如图,四棱锥中,底面为平行四边形,(1)证明:;(2)若为等边三角形,求二面角的余弦值40(2022广东珠海市第三中学二模)如图,在三棱
13、锥中,是等边三角形,(1)证明:;(2)若,且平面平面,求三棱锥体积41(2022广东茂名二模)如图,四棱锥PABCD的底面是等腰梯形,ADBC,BC=2AD, ,E是棱PB的中点,F是棱PC上的点,且A、D、E、F四点共面(1)求证:F为PC的中点;(2)若PAD为等边三角形,二面角 的大小为 ,求直线BD与平面ADFE所成角的正弦值42(2022广东惠州二模)如图,在直三棱柱中,直线与平面所成角为(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.43(2022广东普宁市华侨中学二模)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,其中,平面,且,点在棱上,点为中点.(1)证明:若,直线平面;(2)求二面角的
14、正弦值;(3)是否存在点,使与平面所成角的正弦值为?若存在求出值;若不存在,说明理由.44(2022广东韶关二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,点S是边AB的中点AB=2,AD=4,(1)若O是侧棱PC的中点,求证:SO/平面PAD;(2)若二面角P-AD-B的大小为,求直线PD与平面PBC所成角的正弦值45(2022广东二模)如图1,在ABC中,DE是ABC的中位线,沿DE将ADE进行翻折,使得ACE是等边三角形(如图2),记AB的中点为F(1)证明:平面ABC(2)若,二面角D-AC-E为,求直线AB与平面ACD所成角的正弦值46(2022广东潮州二模)如图,平面平面C
15、EFG,四边形CEFG中,点B在正方形ACDE的外部,且,(1)证明:;(2)求二面角的余弦值47(2022广东汕头二模)如图所示,C为半圆锥顶点,O为圆锥底面圆心,BD为底面直径,A为弧BD中点是边长为2的等边三角形,弦AD上点E使得二面角的大小为30,且(1)求t的值;(2)对于平面ACD内的动点P总有平面BEC,请指出P的轨迹,并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由48(2022广东深圳二模)如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面是正三角形,M是侧棱的中点,且平面(1)求证:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值49(2022广东茂名二模)如图所示的圆柱中,AB是圆O的直径,为圆柱的
16、母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且,E,F分别为,的中点(1)证明:平面ABCD;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值参考答案1B【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】,只有一条垂直直线,不能得出,不充分,当时,由于,则有,是必要的,因此是必要不充分条件故选:B2B【分析】分析图中的几何关系,分别求出圆锥的底面半径和母线长即可.【详解】依题意,做球的剖面图如下:其中,O是球心,E是圆锥的顶点,EC是圆锥的母线,由题意可知球的半径计算公式: ,由于圆柱的高为2,OD=1,DE=3-1=2, ,母线 ,圆锥的侧面积为 ,故选:B.3D【分析】根据条件求得圆锥的底面半径和母线长,
17、即可求解圆锥的侧面积.【详解】设圆锥的轴截面的边长为,则,则,得圆锥底面半径,母线,则圆锥的侧面积.故选:D4C【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式,即可求出结果.【详解】设底面半径为,高为,母线为,如图所示:则圆锥的体积,所以,即,则,又,所以,故故选:C5A【分析】求出圆锥的高,设过圆锥顶点的截面为,设,表示的面积,再运用基本不等式求最值即可【详解】设圆锥顶点为,底面直径为,圆心,另有一任意弦,为的中点,连接、,如图,设为过圆锥顶点的截面,因为底面,因为,为的中点,所以,由题意可知:,设,则,所以,则,当且仅当,即时,等号成立,故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的
18、最大值为故选:A6D【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断【详解】对于A,或m与n异面,A错误;对于B,若或m,n异面,B错误;对于C,若或,C错误;对于D,D正确故选:D7C【分析】A由题设易得,根据平行线的性质可证;B由线面平行的判定可证截面PQMN;C:为特殊位置的点时成立;D将异面直线平移到截面上即可知夹角大小.【详解】A:由题设,易知,又,即有,正确;B:由,截面PQMN,截面PQMN,则截面PQMN,正确;C:仅当为中点时,故错误;D:由A知:异面直线PM与BD所成的角为,正确.故选:C8B【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积,计算出圆台的体积可得答案.【详解】由题意
19、知降雨量是雨水的体积除以容器口面积,因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半,且下底面半径是40mm,上底面半径是80mm,可得圆台中雨水的上底面半径是mm,所以雨水的厚度为 mm,是中雨,故选:B9D【分析】设圆柱底面半径为R,高为h,由题意列方程组求出R、h,即可求出圆柱的体积.【详解】设圆柱底面半径为R,高为h,设,解得,圆柱的体积为故选:D10C【分析】求出球心到底面ABC的距离和球的半径,从而确定三棱锥的高的最大值为3,利用椎体体积公式求出体积的最大值.【详解】球O的半径为R,则,解得:,由已知可得:,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,体积最大值为故选:
20、C11D【分析】根据球的表面积公式和体积公式,列出方程求解即可【详解】设球的半径为,则根据球的表面积公式和体积公式,可得,化简得.故选:D12AD【分析】选项A:由线面垂直的判定定理,以及线面垂直的性质定理得出;选项B:平移法找出异面直线所成角,构造三角形,求解三角形可得;选项C:找出线面垂直,作出线面角,再求解三角形可得;选项D:运用线面平行的判定定理,以及线面平行的性质定理可得.【详解】对于A:由圆柱的性质得:面,面,又是下底面圆的直径又,面,面面,又面 ,又又,面,面面,又面,A正确;对于B:过点作交于点,如图则就是直线与直线所成角(或补角)设,则在中, ,在等腰中,又在中,即:在中,
21、在中,B错误;对于C:取的中点,连接,如图所示则:,面,又面 又,面,面面就是直线与平面所成角又 ,C错误;对于D:在中,又面,面 面又平面平面,面 ,D正确.故选:AD.13AC【分析】A.易证平面判断;B.由点E与重合和与重合时判断;C.由三棱锥判断;D. 由 平面,得到三棱锥外接球的球心O在判断.【详解】如图所示:A.因为,又,所以平面,又平面平面,则直线DE与直线AC所成角为定值,故正确;B. 当点E与重合时,点E到直线AB的距离,当点E与重合时,点E到直线AB的距离,故错误;C.因为三棱锥,且点到面EBD的距离为定值, 为定值,故体积为定值,故正确;D. 易知 平面,所以三棱锥外接球
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