江苏省如皋市2022-2023学年高三上期中调研模拟测试数学试卷(含答案解析)
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1、如皋2022-2023学年度高三上期中调研模拟测试数学试题考试范围:集合与逻辑、不等式、函数与导数、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设集合X是实数集R的子集,如果点满足:对任意,都存在,使得,称为集合X的聚点,则在下列集合中:以0为聚点的集合有( )个.A. 1B. 2C. 3D. 02. 设命题p:,命题q:,那么命题p是命题q的( )条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分不必要3. 关于复数,下列说法正确的是( ).A. 若,则或B. 复数与分别对应向量与,则向量对应的复数为C. 若点Z的坐标
2、为,则z对应的点在第三象限D. 若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为4. 油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图,该伞的伞沿是一个半径为1的圆,圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子春分时,该市的阳光照射方向与地面的夹角为,若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置,则( ).A. 该椭圆的离心率为B. 该椭圆的离心率为C. 该椭圆的半焦距为D. 该椭圆的半焦距为5. 已知数列的前n项和为,且记为数列的前n项和,则使成立的最小正整
3、数为( ).A. 5B. 6C. 7D. 86. 若,则的值为( ).A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中,O是的中心,则( ).A. B. C. D. 8. 设,则( ).A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 若,则下列说法正确的有( ).A. 的最小正周期是B. 方程是的一条对称轴C. 的值域为D. ,对R都满足,是实常数10. 已知数列满足,则( ).A. B. 是递增数列C. 是递增数列D. 11. 已知抛物线的焦点为F,抛物线C上的点到点F的距
4、离是2,P是抛物线C的准线与x轴的交点,A,B是抛物线C上两个不同的动点,O为坐标原点,则( ).A. B. 若直线AB过点F,则C. 若直线AB过点F,则D. 若直线AB过点P,则12. 已知某四面体的四条棱长度为a,另外两条棱长度为b,则下列说法正确的是注:,则,当且仅当时,等号成立( ).A. 若且该四面体的侧面存在正三角形,则B. 若且该四面体的侧面存在正三角形,则四面体的体积C. 若且该四面体的对棱均相等,则四面体的体积D. 对任意,记侧面存在正三角形时四面体的体积为,记对棱均相等时四面体的体积为,恒有三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数为奇函数,若函数与图
5、象的交点为,则 .14. 已知直线l1与直线相交于点P,线段是圆的一条动弦,且,则的最大值为 .15. 已知在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,点O为其外接圆的圆心.已知,则当角C取到最大值时,的面积为 .16. 阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体组成,目前发现了共有13个这种几何体,而截角四面体就是其中的一种,它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得,已知一截角四面体的棱长为每一个截角四面体共有18条棱,12个顶点;该截角四面体的表面积为该截角四面体的外接球半径为则上述所有正确结论的序号是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指
6、定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)记内角的对边分别是,已知证明:;求的取值范围.18. (本小题满分12分)图1是由矩形、等边和平行四边形组成的一个平面图形,其中,N为的中点.将其沿AC,AB折起使与重合,连结,BN,如图2.证明:在图2中,且四点共面;在图2中,若二面角的大小为,且,求直线AB与平面所成角的正弦值19. (本小题满分12分)已知数列满足,证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;若记为满足不等式的正整数k的个数,数列的前n项和为,求关于n的不等式的最大正整数解.20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,四边形ABCD是矩形
7、,是正三角形,且平面平面ABCD,P为棱AD的中点,四棱锥的体积为若E为棱SB的中点,证明:平面SCD;在棱SA上是否存在点M,使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为?若存在,指出点M的位置并给以证明;若不存在,请说明理由.21. (本小题满分12分)作斜率为的直线l与椭圆交于两点,且在直线l的左上方.当直线l与椭圆C有两个公共点时,证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上;证明:的内切圆的圆心在一条定直线上.22. (本小题满分12分)已知R,讨论的单调性;若函数与的图象恰有一个交点,求a的取值范围参考答案解析1. 设集合X是实数集R的子集,如果点满足:对任意,都存在,使
8、得,称为集合X的聚点,则在下列集合中:以0为聚点的集合有个()A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】B【解析】【分析】本题的考点是函数恒成立问题,主要考查的知识点是集合元素的性质,其中正确理解新定义-集合的聚点的含义,是解答本题的关键,属较难题.根据集合聚点的新定义,我们逐一分析四个集合中元素的性质,并判断是否满足集合聚点的定义,进而得到答案【解答】解:集合,对任意的a,都存在实际上任意比a小得数都可以,使得,是集合的聚点;对于某个,比如,此时对任意的,都有或者,也就是说不可能,从而0不是的聚点;集合中的元素是极限为0的数列,对于任意的,存在,使,是集合的聚点;中,集合中的元素是极限为1的数
9、列,除了第一项0之外,其余的都至少比0大,在的时候,不存在满足得的x,不是集合的聚点;故答案为:两个,故选:B2. 设命题p:,命题q:,那么命题p是命题q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查不等式的性质,充分条件、必要条件的判断.根据不等式的性质判断充分条件和必要条件,是基础题.【解答】解:命题,则,或,当,时,则,所以,当,时,则,所以,所以当时,成立,当时,则,或,不能得出,所以命题p是命题q的充分不必要条件.故选3. 关于复数,下列说法正确的是()A. 若,则或B. 复数与分别对应向量与,则向量对应的复数
10、为C. 若点Z的坐标为,则z对应的点在第三象限D. 若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的几何意义,考查了复数模的几何意义,考查向量的运算,属于基础题.对于A,结合特殊值法,即可求解;对于B,结合向量的运算法则,即可求解;对于C,结合复数的几何意义,即可求解;对于D,结合复数模的几何意义,即可求解.【解答】解:令,满足,故A错误;复数与分别对应向量与,则,不是,故B错误;点Z的坐标为,复数z对应的点在第二象限,故C错误;设,a,复数z满足,复数z对应的点所构成的图形面积为,故D正确.故选4. 油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历
11、史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为1的圆,圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子春分时,该市的阳光照射方向与地面的夹角为,若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置,则()A. 该椭圆的离心率为B. 该椭圆的离心率为C. 该椭圆的半焦距为D. 该椭圆的焦距为【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质,正弦定理,考查转化能力与推理能力,属于中档题.由题意,得到a,c之间的关系,然后在中运用正弦定理,求出a,c,从而得到椭圆离心率以及焦距.【解答】解:如图
12、,A,B分别是椭圆的左、右顶点,是椭圆的左焦点,BC是圆的直径,D为该圆的圆心.因为,所以,设椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,则因为,所以,解得,所以,所以, 故选5. 已知数列的前n项和为,且记为数列的前n项和,则使成立的最小正整数为()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】本题考查数列的递推关系,等比数列的判定和求和公式,属于难题.根据,得出数列是以1为首项,以为公比的等比数列,从而得出数列的首项和公比,再运用等比数列的求和公式即可求解结果.【解答】解:由,可知,即时,数列是以1为首项,以为公比的等比数列.又,数列是以为首项,以为公比的等比数列.,即,又的最小值为故选:
13、6. 已知,则的值为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数公式,考查学生三角恒等变形能力,意在考查学生三角函数化简、计算能力,属于基本题.利用二倍角公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数公式直接求解即可.【解答】解:,即,解得或舍去,则,由,知,又,则,所以,故选7. 在正三棱锥中,O是的中心,则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了空间向量的数量积运算,属于中档题。【解答】解:且为故底面ABC,在中,故8. 设,则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考
14、查利用指数函数、对数函数的性质比较大小,考查利用导数研究函数的单调性,属于较难题.构造函数,利用导数研究函数的单调性,可得,可得,根据对数函数的性质及基本不等式即可得,从而即可得结论.【解答】解:,所以函数在上单调递增,所以当时,即,所以,所以函数在上单调递减,所以当时,即,所以,可得,所以故选二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)9. 若,则下列说法正确的有()A. 的最小正周期是B. 方程是的一条对称轴C. 的值域为D. ,对R都满足,是实常数【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查的是函数的周期性,函数的对称性,函数的值域,诱导公式,三角函数的值域,属于中
15、档题.由与的关系可判断A,通过与的关系可判断B,利用三角函数的值域求得函数在上的值域,利用函数的周期性即可得到的值域判断C,利用在上的对称性即可得到函数上的对称性,判断【解答】解:由题,所以的一个周期为,A错误;因为又,即有,所以是的对称轴,B正确;由于的最小正周期为,所以当时,所以函数的值域为,C正确;因为当时,不存在中心对称点,的周期为,所以在R上不存在中心对称点,故不存在 a,使得对R都满足,是实常数,故D错误;综上,正确的是10. 已知数列满足,则()A. B. 是递增数列C. 是递增数列D. 【答案】ABD【解析】【分析】本题考查数列的递推关系和单调性,属于一般题.利用递推关系和数列
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