2022届山东省高三数学二轮复习专题训练04:导数(含答案解析)
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1、专题:04导数一、单选题1(2022山东烟台市教育科学研究院二模)曲线在点处的切线与直线垂直,则的值为()ABCD2(2022山东烟台市教育科学研究院二模)声音是由物体振动产生的我们平时听到的声音几乎都是复合音复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动,它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动不同的振动的混合作用决定了声音的音色,人们以此分辨不同的声音已知刻画某声音的函数为,则其部分图象大致为()ABCD3(2022山东德州市教育科学研究院二模)已知函数是偶函数,其导函数的图象见下图,且对恒成立,则下列说法正确的是()ABCD4(2022山东日照二模)曲线在处的切线的倾斜角为,则的值
2、为()ABCD5(2022山东聊城二模)实数,满足:,则的最小值为()A0BCD86(2022山东潍坊二模)已知函数,直线,点在函数图像上,则以下说法正确的是()A若直线l是曲线的切线,则B若直线l与曲线无公共点,则C若,则点P到直线l的最短距离为D若,当点P到直线l的距离最短时,二、多选题7(2022山东烟台市教育科学研究院二模)已知、,且,则()ABCD8(2022山东德州市教育科学研究院二模)若函数存在两个极值点 ,则()A函数至少有一个零点B或CD9(2022山东泰安二模)已知函数,则下列结论正确的是()A对任意的,存在,使得B若是的极值点,则在上单调递减C函数的最大值为D若有两个零点
3、,则三、解答题10(2022山东青岛二模)已知函数(1)讨论的单调性;(2)若有两个不同的零点,为其极值点,证明:.11(2022山东烟台市教育科学研究院二模)已知函数(1)设的导函数为,讨论零点的个数;(2)设的极值点为,若恒成立,求实数的取值范围12(2022山东菏泽二模)设函数(1)当时,恒成立,求k的最大值;(2)设数列的通项,证明:13(2022山东德州市教育科学研究院二模)已知函数,(1)当时,求图象在(,f()处的切线方程;(2)当时,求的极值;(3)若,为函数的导数,恒成立,求a的取值范围14(2022山东临沂二模)已知函数(1)若存在,使成立,求a的取值范围;(2)若,存在,
4、且当时,求证:15(2022山东日照二模)已知函数,其中.(1)当时,求的最小值;(2)讨论方程根的个数.16(2022山东滨州二模)已知函数(1)若对任意,恒成立,求实数m的取值范围;(2)设函数在上的最小值为a,求证:17(2022山东济南二模)已知函数,.(1)若曲线在点处的切线在y轴上的截距为,求a的值;(2)是否存在实数t,使得有且仅有一个实数a,当时,不等式恒成立?若存在,求出t,a的值;若不存在,说明理由.18(2022山东泰安二模)已知函数当m1时,曲线在点处的切线与直线xy10垂直(1)若的最小值是1,求m的值;(2)若,是函数图象上任意两点,设直线AB的斜率为k证明:方程在
5、上有唯一实数根19(2022山东济宁二模)已知函数.(1)若函数在上有极值,求在上所有极值的和;(2)若对任意恒成立,求正实数a的取值集合.20(2022山东聊城二模)设函数.(1)讨论函数的单调性;(2)为的导函数,记,证明:当时,函数有两个极值点.21(2022山东潍坊二模)已知函数(1)若,当时,求证:为单调递减函数;(2)若在上恒成立,求实数a的取值范围四、双空题22(2022山东济南二模)已知函数,则函数的最小值为_;若关于x的方程有且仅有一个实根,则实数a的取值范围是_.参考答案:1C【分析】由已知条件可得出,可得出关于、的方程组,即可解得的值.【详解】设,则,直线的斜率为,由题意
6、可得,解得.故选:C.2C【分析】令,进而求导得,再讨论时,的符号得的单调区间与函数值的符号,进而得答案.【详解】解:令,求导得,所以,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减;当时,函数单调递减;当时,函数单调递增;当时,函数单调递减;由于,所以,时,且单调区间变化不具有对称的性质,所以,只有C选项满足.故选:C3D【分析】利用函数的奇偶性与对称轴,将,移到同一个单调区间,由导函数图象确定原函数单调性,再利用函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】 又由导函数的图象得,当时,单调递增, 故选:D.4B【分析】根据已知条件,求出切线斜率,再根据同角三角函数的基本关系可求出,从而根据二倍角公式求
7、得结果.【详解】根据已知条件,因为曲线在处的切线的倾斜角为,所以,所以.因为,则解得,故.故选:B.5D【分析】由题设,将问题转化为求上的点与上的点的距离的平方的最小值,利用导数的几何意义求上与平行的切线方程,应用点线距离公式求目标式的最值即可.【详解】由,则,又,的最小值转化为:上的点与上的点的距离的平方的最小值,由,得:,与平行的直线的斜率为1,解得或(舍,可得切点为,切点到直线之间的距离的平方,即为的最小值,的最小值为:.故选:D.6D【分析】求f(x)导数,令求出可判断D;若直线l是曲线的切线,则再根据(,f()在l上即可求出t;当处切线与l平行时,P到l距离最短,求出P的坐标,利用点
8、到直线距离公式可求最短距离,据此可判断C;令,研究的图像,yt的图像和yg(x)图像无交点时直线l和曲线yf(x)无公共点,据此可求t的范围,从而判断B选项【详解】f(x)定义域为(0,),若直线l是曲线的切线,则,代入得,故A错误;当t2时,当在点P处的切线平行于直线l时,P到切线直线l的最短距离,则,故D正确;此时,故P为,P到l:的距离为,故C错误;设,令,则,当时,单调递减,当,单调递增,又时,;时,若直线l与曲线无公共点,则t3,故B错误故选:D7ABD【分析】利用基本不等式可判断A选项;利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项;利用特殊值法可判断C选项;构造函数,利用函数在上
9、的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项,因为,所以,当且仅当时,等号成立,A对;对于B选项,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,所以,B对;对于C选项,取,则,此时,C错;对于D选项,令,其中,则,所以,函数在上为增函数,因为,则,D对.故选:ABD.8ACD【分析】对于A,只需将 代入验证即可,对于B,通过函数存在2个极值点转化为导函数有2个变号零点问题,从而转化为二次函数根的分布问题即可,对于C,利用B选项的条件即可推导;对于D,计算 ,构造函数 ,求函数 的最小值即可【详解】对于A, , 是 的一个零点,故A正确对于B, 存在两个极值点 , 有两个不相等的实数根,即 有两个变号零点
10、 ,即 , 又, ,解得 综上, ,故B错误对于C,由B选项可得, , , , 故C正确对于D, 将 代入上式 令 有 在 上单调递增, ,故D正确故选:ACD9BD【分析】先求导得,分和讨论函数的单调性及最值,依次判断4个选项即可.【详解】由题意知:,当时,单增,无最大值,故C错误;当时,在上,单增;在上,单减;故,当,即时,无零点,故A错误;若是的极值点,则,故在单减,B正确;若有两个零点,则,且,解得,又时,时,此时有两个零点,D正确.故选:BD.10(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)对函数求导后,分和两情况讨论导数的正负,从而可求出函数的单调区间,(2)由(1)可知函数的极
11、值点为,从而得,再由是函数 的两个不同的零点,可得,设 ,将问题转化为证,设 ,只需证明: ,构造函数,利用导数求出其最小值大于零即可(1),当 时, 在 上为减函数;当 时,由 得: 在 上为增函数;由 得: 在 上为减函数(2)由 (1) 可知: 且当 时, 取极大值为 从而 的最大值为 为满足题意,必有,即,设 , 则 ,当 时, , 所以 在 上单调递增;当 时, , 所以 在 上单调递减,所以 , 从而 , 是函数 的两个不同的零点,两式相减得: .设 , 所以要证明: ,只需要证明: .即证明: , 也就是证明: ,设 , 下面就只需证明: ,设 , 则 , 在 上为增函数, 从而
12、 , 成立, 从而 【点睛】关键点点睛:此题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数证明不等式,解题的关键是根据题意将问题转化为证明成立,令,再次将问题转化为,然后构造函数,利用导数求出其最小值大于零即可,考查数学转化思想和计算能力,属于难题11(1)时,存在两个零点;当或时,存在一个零点;当时,无零点.(2).【分析】(1)求出,再求出它的导数,按和分类讨论导函数的零点,正负,从而得的性质,结合零点存在定理得结论;(2)由(1)知有两个极值点时,的范围,极值点满足的等式,这两个式子相除并取对数得,由此恒成立的不等式变形得分离参数,令,换元后引入的函数,由导数求得的最小值
13、从而得所求范围.(1) 当时,,所以则上单调递减,当时,当时,由零点存在定理可得,此时存在唯一零点;当时,令,解得,故当时,单调递增,时,单调递减,所以.又当当时,当时,所以当,即时,由零点存在定理存在两个零点;当时,存在一个零点;当时,无零点.综上,时,存在两个零点;当或时,存在一个零点;当时,无零点.(2)由(1)知,的极值点是,即方程的两根,且,所以,两式相除并取对数得,由得所以,令,令则恒成立,令,则令,在上递增,所以存在,使得,且当时,单调递减,时,单调递增,又,所以存在,时,单调递减,时,单调递增,又,所以时,递减,时,递增,所以时,的取值范围是.【点睛】本题主要考查用导数求函数的
14、零点个数,研究不等式恒成立问题解题基本方法是由导数研究函数的单调区间,极值,结合零点存在定理得零点个数,而有关极值点的不等式恒成立问题,关键是对两个极值点进行变化,一是变形消去题中参数,二是两个极值点之间适当组合后利用换元法化二元为一元,然后引入新函数,利用导数研究函数的最值,从而得参数范围此处在求最值时需要对导函数再次求导,注意利用零点存在定理确定导函数的零点以便得上一级函数的极值点,本题属于困难题.12(1)2(2)证明见解析【分析】(1)求出,然后分、讨论的单调性,结合可得答案;(2)首先可得,然后由可得、,即可证明.(1),当时,由得,令,则,所以在上单调递增,所以,即所以在上单调递增
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