江苏省南通市如皋市2022-2023学年高三上期中模拟数学试卷(含答案解析)
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1、江苏省南通市如皋市高三上期中模拟数学试题考试范围:集合与逻辑、不等式、函数与导数、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设集合X是实数集R的子集,如果点满足:对任意,都存在,使得,称为集合X的聚点,则在下列集合中:;,以0为聚点的集合有( )个.A. 1B. 2C. 3D. 02. 设命题p:,命题q:,那么命题p是命题q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分不必要条件3. 关于复数,下列说法正确是( )A. 若,则或B. 复数与分别对应向量与,则向量对应的复数为C. 若点Z的坐标为,则Z
2、对应的点在第三象限D. 若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为4. 油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为1的圆,圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时,该市的阳光照射方向与地面的夹角为),若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置,则( )A. 该椭圆的离心率为B. 该椭圆的离心率为C. 该椭圆的焦距为D. 该椭圆的焦距为5. 已知数列的前项和为,且().记,为数列的前项和,则使成立的最小正整
3、数为( )A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知,则的值为( )A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中,是的中心,则( )A. B. C. D. 8. 设,则( )A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 若,则下列说法正确的有( )A. 的最小正周期是B. 方程是的一条对称轴C. 的值域为D. ,对都满足,(a,b是实常数)10. 已知数列满足,则( )A. 2B. 是递增数列C. -4是递增数列D. 11. 已知抛物线的焦点为,抛物线上的点到点的距离是2,是抛物线的准线与轴的交点,是抛物线上两个
4、不同的动点,为坐标原点,则( )A. B. 若直线过点,则C. 若直线过点,则D. 若直线过点,则12. 已知某四面体的四条棱长度为a,另外两条棱长度为b,则下列说法正确的是注:,则,当且仅当时,等号成立( )A. 若且该四面体的侧面存在正三角形,则B. 若且该四面体的侧面存在正三角形,则四面体的体积C. 若且该四面体的对棱均相等,则四面体的体积D. 对任意,记侧面存在正三角形时四面体体积为,记对棱均相等时四面体的体积为,恒有三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数()为奇函数,若函数与图像的交点为,则=_.14. 已知直线与直线相交于点,线段是圆的一条动弦,且,则的最大
5、值为_15. 已知在中,角,所对的边分别为,且,点为其外接圆的圆心.已知,则当角取到最大值时的面积为_16. 阿基米德多面体是由边数不全相同正多边形为面的多面体组成,目前发现了共有13个这种几何体,而截角四面体就是其中的一种,它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得,已知一截角四面体的棱长为每一个截角四面体共有18条棱,12个顶点;该截角四面体的表面积为该截角四面体的外接球半径为则上述所有正确结论的序号是_.四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记内角的对边分别是,已知.(1)求证:;(2)求的取值
6、范围.18. 图1是由矩形、等边和平行四边形组成一个平面图形,其中,N为的中点.将其沿AC,AB折起使得与重合,连结,BN,如图2.(1)证明:在图2中,且B,C,四点共面;(2)在图2中,若二面角的大小为,且,求直线AB与平面所成角的正弦值.19. 已知数列满足,.(1)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式.(2)若记为满足不等式的正整数的个数,数列的前项和为,求关于的不等式的最大正整数解.20. 如图,在四棱锥中,四边形是矩形,是正三角形,且平面平面,为棱的中点,四棱锥的体积为(1)若为棱的中点,求证:平面;(2)在棱上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,指出点的
7、位置并给以证明;若不存在,请说明理由.21. 作斜率为的直线l与椭圆交于两点,且在直线l的左上方.(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时,证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上;(2)证明:的内切圆的圆心在一条定直线上.22. 已知,.(1)讨论单调性;(2)若函数与的图象恰有一个交点,求的取值范围.江苏省南通市如皋市高三上期中模拟数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 设集合X是实数集R的子集,如果点满足:对任意,都存在,使得,称为集合X的聚点,则在下列集合中:;,以0为聚点的集合有( )个.A. 1B. 2C. 3D. 0【答案】B【解析】【分析】根据集
8、合聚点的定义,逐一分析每个集合中元素的性质,并判断是否满足集合聚点的定义,从而得到答案.【详解】对于集合,对任意的,都存在 (实际上任意比小得数都可以),使得 ,0是集合的聚点; 对于,对于某个实数,比如,此时对任意的,都有,也就是说不可能,从而0不是的聚点; 对于,对任意的,都存在,即,使 ,故0是集合的聚点; 对于,故随着n的增大而增大,故的最小值为,故当时,即不存在,使得,故0不是的聚点;故以0为聚点的集合有2个,故选:B2. 设命题p:,命题q:,那么命题p是命题q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】对命题p进
9、行分类求解,对命题q取特殊值验证,从而可判断得出结论.【详解】命题p:,当时,即 ;当时,即;所以命题p是命题q的充分条件;命题q:,可取,而此时 ;故命题p是命题q的不必要条件;故选:A.3. 关于复数,下列说法正确的是( )A. 若,则或B. 复数与分别对应向量与,则向量对应的复数为C. 若点Z的坐标为,则Z对应的点在第三象限D. 若复数z满足,则复数z对应的点所构成的图形面积为【答案】D【解析】【分析】取,计算模,可判断A;根据复数的几何意义结合向量的运算,可判断B;根据点的坐标特征可判断其所在象限,判断C;根据复数模的几何意义求得复数z对应的点所构成的图形面积,判断D.【详解】对于A,
10、取 ,则,故A错误;对于B,B错误;对于C,点Z的坐标为,则Z对应的点在第二象限,C错误;对于D,设,则由可知 ,故复数z对应的点所构成的图形面积为 ,D正确,故选:D.4. 油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为1的圆,圆心到伞柄底端的距离为1,阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时,该市的阳光照射方向与地面的夹角为),若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置,则( )A. 该椭圆的离心率为B. 该椭圆的离心率为C. 该椭圆的
11、焦距为D. 该椭圆的焦距为【答案】BC【解析】【分析】先求得,结合椭圆的知识以及正弦定理求得,进而求得椭圆的离心率和焦距.【详解】,如图,分别是椭圆左右顶点,是椭圆的左焦点,是圆的直径,为该圆的圆心.因为,所以,设椭圆的长轴长为,焦距为,则.因为,由正弦定理得,解得,所以,所以.故选:BC5. 已知数列的前项和为,且().记,为数列的前项和,则使成立的最小正整数为( )A 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】根据之间的关系证明为等比数列,然后再证明也是等比数列,由此求解出.根据不等式结合指数函数单调性求解出的取值范围,从而确定出的最小整数值.【详解】解析:由,可知,即.时,数列
12、是以1为首项,以为公比的等比数列.又,数列是以为首项,以为公比的等比数列.又,即,.又,的最小值为7.故选:C.6. 已知,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据二倍角余弦公式求,解得,最后根据两角差余弦公式得结果.【详解】或因为,所以故选:B【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式,考查基本分析求解能力,属中档题.7. 在正三棱锥中,是的中心,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将转化为,由三棱锥是正三棱锥可知POOA,即可将转化为,结合勾股定理即可求解【详解】为正三棱椎,为的中心,平面,ABC是等边三角形,POAO,故故选:D.8
13、. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数并利用导函数判断函数的单调性,进一步得到,根据基本不等式化简求出c的范围以及b的范围,进一步求出答案.【详解】设,在的范围内单调递增,由此可得,设,在的范围内单调递减,由此可得,显然,所以,综合可得.故选:D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 若,则下列说法正确的有( )A. 的最小正周期是B. 方程是的一条对称轴C. 值域为D. ,对都满足,(a,b是实常数)【答案】BC【解析】【分析】根据,可判断A,根
14、据可判断B,根据周期性以及三角函数的性质可判断C,根据图象可判断D.【详解】对A,因为,所以,故是的一个周期,故最小正周期是是错误的,对B,因为,故是的一条对称轴是正确的,对C,当时,由,则,故因此,由A知是的周期,故的值域为,C正确,对D,因为当时,且是的周期,故画出的图象如图:由图可知,没有对称中心,故不存在,使得,故D错误.故选:BC10. 已知数列满足,则( )A. 2B. 是递增数列C. -4是递增数列D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据所给的递推公式,结合选项构造对应的表达式推导即可【详解】对于A,因为,故,所以,当且仅当时取等号,故A正确;对于B,由A可得为正数数列,且,则,
15、故为递增数列,且,根据对勾函数的单调性,为递增数列,故B正确;对于C,由,由题意,即可知不是递增数列;对于D,因为,所以,所以,所以,即.故选:ABD11. 已知抛物线的焦点为,抛物线上的点到点的距离是2,是抛物线的准线与轴的交点,是抛物线上两个不同的动点,为坐标原点,则( )A. B. 若直线过点,则C. 若直线过点,则D. 若直线过点,则【答案】BCD【解析】【分析】对于A,利用抛物线的定义求得抛物线的方程,然后将点的坐标代入即可求解;对于B,设出直线的方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系以及向量数量积的坐标运算即可求解;对于C,先写出点的坐标,然后得到直线与的斜率之和为0,从而得到
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