河南省驻马店市平舆县2021-2022学年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、 河南省驻马店市平舆县九年级河南省驻马店市平舆县九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0（a、b、c 是实数） B （x+1） （x+2）（x+1）2 Cx2+30 D2x210 2在下列平面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3如图，已知 AB 是O 直径，AOC130，则D 等于（ ） A65 B25 C15 D35 4关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40 的一个根为 0，则 a 的值是（ ） A4 B1 C4 或1

2、 D4 或 1 5 如图， 已知O 的直径 CD 垂直于弦 AB， 垂足为点 E， ACD22.5， 若 CD6cm， 则 AB 的长为 （ ） A4cm B3cm C2cm D2cm 6将抛物线 yx2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后所得新抛物线的顶点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 7若 a，b 是方程 x2+2x20210 的两根，则 a2+3a+b（ ） A2021 B2020 C2019 D2018 8如图是由三个边长分别为 6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线 AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（ ） A1 或 9

3、 B3 或 5 C4 或 6 D3 或 6 9函数 yax+1 与 yax2+bx+1（a0）的图象可能是（ ） A B C D 10抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为（2，0） ，其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x12，x26；12a+c0；当y0 时，x 的取值范围是2x2；当 x0 时 y 随 x 的增大而增大其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11方程 x（x+1）2（x+1）的解是 12如图，ABC 外

4、接圆的圆心坐标是 13关于 x 的一元二次方程（m1）x22x+10 无实数根，则 m 的取值范围是 14如图，ACB90，将 RtABC 绕点 C 顺时针方向旋转 90到ABC 的位置，AB 的中点 D 旋转到 D，已知 AC8，BC6，则线段 DD的长为 15如图，P 是抛物线 yx2+x+2 在第一象限上的点，过点 P 分别向 x 轴和 y 轴引垂线，垂足分别为 A，B，则四边形 OAPB 周长的最大值为 三、解答题（本题三、解答题（本题 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （8 分）选择适当方法解下列方程： （1）x25x+10； （2）3（x2）2x（x2） 17 （9

5、分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C 三点在格点上 （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1； （2）画出ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 90后的A2B2C2； （3）连接 A1、A2，并直接写出线段 A1A2的长 18 （9 分）已知关于 x 的方程 x2（k+3）x+2k+20 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个小于 1 的正根，求实数 k 的取值范围 19 （9 分） 在 阿基米德全集 中的 引理集 中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理 如图，已知，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程 （1）尺规作

6、图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交于点 D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交于点 F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD，BF （2）直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系 20 （9 分）小明同学在用描点法画二次函数 yax2+bx+c 图象时，由于粗心，他算错了一个 y 值，列出了下面表格： x 1 0 1 2 3 yax2+bx+c 5 3 2 3 6 （1）请指出这个错误的 y 值，并说明理由； （2）若点 M（m，y1） ，N（m+4，y2）在二次函数 yax2+bx+c 图象上，且

7、m1，试比较 y1与 y2的大小 21 （10 分）某食品零售店为食品厂代销一种盒装食品，当这种食品的单价定为 7 元时，每天卖出 160 盒，在此基础上，单价每提高 1 元，每天就会少卖 20 盒若该食品每盒的成本为 5 元设这种食品的单价为每盒 x（x7）元，零售店每天销售所获得的利润为 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； （2）当食品单价定为多少时，该零售店每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ 22 （11 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（2，0） ，点 B （4，0） （1

8、）求抛物线的解析式； （2）当 0 x4 时，函数 y 的取值范围是 ； （3）若点 M 是抛物线上的一动点，且在直线 BC 的上方，当 SMBC取得最大值时，求 SMBC的最大值和点 M 的坐标 23 （10 分）在 RtABC 中，ABC90，ACB30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转一定的角度 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E （1）当点 E 恰好在 AC 上时，如图 1，求ADE 的大小； （2）若 60时，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）

9、分） 1下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0（a、b、c 是实数） B （x+1） （x+2）（x+1）2 Cx2+30 D2x210 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，判断 即可 【解答】解：A当 a0 时，该方程不是关于 x 的一元二次方程，故 A 不符合题意； B原方程可整理为：x2 是一元一次方程，故 B 不符合题意； C方程中分母含未知数，不是一元二次方程，故 C 不符合题意； D符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故 D 符合题意； 故选：D 【点评】本题利用了一元二次方程的概念只有一个未

10、知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点 2在下列平面图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B是中心对称图形，故本选项符合题意； C不是中心对称图形，故本选项不合题意； D不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B 【点评】本题考查的是中心对称图形的定义，把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 3如图，已知 AB

11、 是O 直径，AOC130，则D 等于（ ） A65 B25 C15 D35 【分析】根据邻补角的定义求出BOC 的度数，根据圆周角定理解答即可 【解答】解：AOC130， BOC50， DBOC25， 故选：B 【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 4关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40 的一个根为 0，则 a 的值是（ ） A4 B1 C4 或1 D4 或 1 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x0 代入关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40，列出关于 a

12、的一元一次方程，通过解方程即可求得 a 的值 【解答】解：根据题意知，x0 是关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40 的根， a2+3a40， 解得，a4 或 a1， a210， a1 a4 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义一元二次方程的解使方程的左右两边相等 5 如图， 已知O 的直径 CD 垂直于弦 AB， 垂足为点 E， ACD22.5， 若 CD6cm， 则 AB 的长为 （ ） A4cm B3cm C2cm D2cm 【分析】连接 OA，根据圆周角定理得AOD2ACD45，由于 3O 的直径 CD 垂直于弦 AB，根据垂径定理得 AEBE，且可判

13、断OAE 为等腰直角三角形，所以 AEOA，然后利用 AB2AE 进行计算 【解答】解：连接 OA，如图， ACD22.5， AOD2ACD45， O 的直径 CD 垂直于弦 AB， AEBE，OAE 为等腰直角三角形， AEOA， CD6， OA3， AE， AB2AE3（cm） 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理 6将抛物线 yx2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后所得新抛物线的顶点是（ ） A （3，2） B （3，2） C （3，2） D （3，2） 【分析

14、】根据平移规律，可得顶点式解析式 【解答】解：将抛物线 yx2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，得 y（x3）22， 顶点坐标为（3，2） ， 故选：A 【点评】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减 7若 a，b 是方程 x2+2x20210 的两根，则 a2+3a+b（ ） A2021 B2020 C2019 D2018 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到 a22a+2021，再根据根与系数的关系得到 a+b2，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：a 是方程 x2+2x20210 的根， a2+2a20210， 即 a22a+2021，

15、a2+3a+b2a+2021+3a+ba+b+2021， a，b 是方程 x2+2x20210 的两根， a+b2， a2+3a+b2+20212019 故选：C 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 8如图是由三个边长分别为 6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线 AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（ ） A1 或 9 B3 或 5 C4 或 6 D3 或 6 【分析】根据题意列方程，即可得到结论 【解答】解：如图， 若直线 AB 将它分成面积相等的两部分， （6+9+x）9x （9x）（6+9+

16、x）963， 解得 x3，或 x6， 故选：D 【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键 9函数 yax+1 与 yax2+bx+1（a0）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】分别讨论 a0 与 a0 两种情况时一次函数与二次函数的图象的草图，进而求解 【解答】解：当 a0 时，直线 yax+1 从左至右上升，抛物线 yax2+bx+1 开口向上， 选项 A 正确，选项 B，D 错误 当 a0 时，直线 yax+1 从左至右下降，抛物线 yax2+bx+1 开口向下， 选项 C 错误 故选：A 【点评】本题考查函数的图象，解题关键是掌握一次函数与二次

17、函数图象与系数的关系 10抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为（2，0） ，其部分图象如图所示，下列结论：4acb2；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x12，x26；12a+c0；当y0 时，x 的取值范围是2x2；当 x0 时 y 随 x 的增大而增大其中正确结论的个数是（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数和判别式的意义对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（6，0） ，则根据抛物线与 x 轴的交点问题可对进行判断；利用对称轴得到b4a，由于 x2 时，y0，则 4a2b+c0

18、，把 b4a 代入可对进行判断；利用抛物线在 x轴上方所对应的自变量的范围可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方， 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 即 4acb2，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（6，0） ， 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x12，x26，所以正确； 2， b4a， x2 时，y0， 4a2b+c0， 4a+8a+c0，即 12a+c0，所以错误； 当2x6 时，y0，所以错误； 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大

19、，所以正确 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 yax2+bx+c（a0） ，二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0） ， 对称轴在 y 轴右 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于 （0，c） 抛物线与 x 轴交点个数由决定：b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24

20、ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11方程 x（x+1）2（x+1）的解是 x12，x21 【分析】移项后分解因式得到（x+1） （x2）0，推出方程 x+10，x20，求出方程的解即可 【解答】解：x（x+1）2（x+1） ， 移项得：x（x+1）2（x+1）0， 即（x+1） （x2）0， x+10，x20， 解方程得：x12，x21， 故答案为：x12，x21 【点评】本题主要考查对解一元二次方程因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键 12如图

21、，ABC 外接圆的圆心坐标是 （4，6） 【分析】因为 BC 是线段，AB 是正方形的对角线，所以作 AB、BC 的垂直平分线，找到交点 O 即可 【解答】解：作线段 BC 的垂直平分线，作 AB 的垂直平分线， 两条线相交于点 O 所以 O 的坐标为（4，6） 故答案为： （4，6） 【点评】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心解决本题需仔细分析三条线段的特点 13关于 x 的一元二次方程（m1）x22x+10 无实数根，则 m 的取值范围是 m2 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m10 且（2）24（m1）0，然后求出两不等式

22、的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 m10 且（2）24（m1）0， 解得 m2 故答案为 m2 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 14如图，ACB90，将 RtABC 绕点 C 顺时针方向旋转 90到ABC 的位置，AB 的中点 D 旋转到 D，已知 AC8，BC6，则线段 DD的长为 5 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再根据直角三角形斜边上的中线可得 CDAB5，然后利用旋转的性质可得 CDCD5，DCD90，即可解答

23、 【解答】解：ACB90，AC8，BC6， AB10， 点 D 是 AB 的中点， CDAB5， 由旋转得： CDCD5，DCD90， DDCD5， 故答案为：5 【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键 15如图，P 是抛物线 yx2+x+2 在第一象限上的点，过点 P 分别向 x 轴和 y 轴引垂线，垂足分别为 A，B，则四边形 OAPB 周长的最大值为 6 【分析】设 P（x，y） （2x0，y0） ，根据矩形的周长公式得到 C2（x1）2+6根据二次函数的性质来求最值即可 【解答】解：yx2+x+2， 当 y0 时，x2+x+20 即（x2） （x+1）0， 解得

24、x2 或 x1 故设 P（x，y） （2x0，y0） ， C2（x+y）2（xx2+x+2）2（x1）2+6 当 x1 时，C最大值6， 即：四边形 OAPB 周长的最大值为 6 故答案是：6 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法本题采用了配方法 三、解答题（本题三、解答题（本题 8 个小题，共个小题，共 75 分）分） 16 （8 分）选择适当方法解下列方程： （1）x25x+10； （2）3（x2）2x（x2） 【分析】 （1）直接利用公式法求出方程的根即可； （2）先移项，使

25、方程的右边化为零，再利用提取公因式法分解因式得出即可 【解答】解： （1）x25x+10， b24ac25411210， x； （2）3（x2）2x（x2） ， 3（x2）2x（x2）0， （x2） （3x6x）0， 解得：x12，x23 【点评】此题主要考查了因式分解法以及公式法解一元二次方程，熟练应用公式法解方程是解题关键 17 （9 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C 三点在格点上 （1）画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1； （2）画出ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 90后的A2B2C2； （3）连接 A1、A2，并直接写出线段 A1A2的长 【分析】

26、（1）分别作出三个顶点关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将三个顶点分别绕点 O 按逆时针方向旋转 90后得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）利用勾股定理求解即可 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图所示，A2B2C2即为所求； （3）A1A26 【点评】本题主要考查作图轴对称变换、旋转变换，解题的关键是掌握轴对称变换、旋转变换的定义 和性质及勾股定理 18 （9 分）已知关于 x 的方程 x2（k+3）x+2k+20 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个小于 1 的正根，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）求出一元二次方程根

27、的判别式，证明根的判别式大于等于 0 即可； （2）求出一元二次方程的根，再列出关于 k 的不等式，即可得到答案 【解答】 （1）证明：由关于 x 的方程 x2（k+3）x+2k+20 得： （k+3）241（2k+2） k22k+1 （k1）2， （k1）20， 0， 方程总有两个实数根； （2）解：关于 x 的方程 x2（k+3）x+2k+20 的解是：x1k+1，x22， 方程有一个小于 1 的正根， 0k+11， 1k0 【点评】本题考查一元二次方程根的情况及字母参数的范围，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，会列出关于 k 的不等式 19 （9 分） 在 阿基米德全集 中的 引理

28、集 中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理 如图，已知，C 是弦 AB 上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程 （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ； 作线段 AC 的垂直平分线 DE，分别交于点 D，AC 于点 E，连接 AD，CD； 以点 D 为圆心，DA 长为半径作弧，交于点 F（F，A 两点不重合） ，连接 DF，BD，BF （2）直接写出引理的结论：线段 BC，BF 的数量关系 【分析】 （1）根据要求作出图形即可 根据要求作出图形即可 （2）证明DFBDCB 可得结论 【解答】解： （1）如图，直线 DE，线段 AD，线段 CD 即为所求 如图，点 F，线

29、段 CD，BD，BF 即为所求作 （2）结论：BFBC 理由：DE 垂直平分线段 AC， DADC， DACDCA， ADDF， DFDC， DBCDBF， DFB+DAC180DCB+DCA180， DFBDCB， 在DFB 和DCB 中， ， DFBDCB（AAS） ， BFBC 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题 20 （9 分）小明同学在用描点法画二次函数 yax2+bx+c 图象时，由于粗心，他算错了一个 y 值，列出了下面表格： x 1 0 1 2 3 yax2

30、+bx+c 5 3 2 3 6 （1）请指出这个错误的 y 值，并说明理由； （2）若点 M（m，y1） ，N（m+4，y2）在二次函数 yax2+bx+c 图象上，且 m1，试比较 y1与 y2的大小 【分析】 （1）根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案 （2）利用函数的增减性和对称性直接比较 y1与 y2大小 【解答】解： （1）由函数图象关于对称轴对称，得 （0，3） ， （1，2） ， （2，3）在函数图象上， 把（0，3） ， （1，2） ， （2，3）代入函数解析式， 得：， 解得：， 函数解析式为 yx22x+3， x1 时 y6， 故 y 错误的数值为 5 （2

31、）二次函数 yax2+bx+c 图象以 x1 为对称轴，抛物线开口向上； 1mm+4， y1y2 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 21 （10 分）某食品零售店为食品厂代销一种盒装食品，当这种食品的单价定为 7 元时，每天卖出 160 盒，在此基础上，单价每提高 1 元，每天就会少卖 20 盒若该食品每盒的成本为 5 元设这种食品的单价为每盒 x（x7）元，零售店每天销售所获得的利润为 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围； （2）当食品单价定为多少时，该零售

32、店每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据销售利润每盒利润销量求解 （2）将二次函数解析式化为顶点式求解 【解答】解： （1）由题意得：y（x5）16020（x7） 整理得 y20 x2+400 x1500， 16020（x7）0， x15 y 与 x 之间的函数关系式为 y20 x2+400 x1500（7x15） （2）y20 x2+400 x150020（x10）2+500， 当 x10 时，y 最大值为 500， 故当食品单价定为每盒 10 元时，该零售店每天销售获得的利润最大，最大利润是 500 元 【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌

33、握求二次函数最值的方法 22 （11 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A（2，0） ，点 B（4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）当 0 x4 时，函数 y 的取值范围是 0y4.5 ； （3）若点 M 是抛物线上的一动点，且在直线 BC 的上方，当 SMBC取得最大值时，求 SMBC的最大值和点 M 的坐标 【分析】 （1）把点 A（2，0） 、B（4，0） 、C（0，4）代入 yax2+bx+c（a0）中进行求解即可； （2）由（1）可得抛物线的顶点坐标，然后由图象可直接进行求解； （3）连接 OM，设，由题意可知 OB

34、4，OC4，进而根据割补法可求解 【解答】解： （1）将点 A（2，0） 、B（4，0） 、C（0，4）代入 yax2+bx+c（a0）中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由配成顶点式得：， 当 0 x4 时，函数 y 的取值范围是：0y4.5， 故答案为：0y4.5； （3）如图连接 OM，设， B（4，0） 、C（0，4） ， OB4，OC4， SMBCSOBM+SOCMSOBC（m2）2+4， 10，抛物线开口向下， 当 m2 时，SMBC有最大值，且最大值为 4， 此时点 M 的坐标为（2，4） 【点评】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 23 （

35、10 分）在 RtABC 中，ABC90，ACB30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转一定的角度 得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E （1）当点 E 恰好在 AC 上时，如图 1，求ADE 的大小； （2）若 60时，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形 【分析】 （1）如图 1，利用旋转的性质得 CACD，ECDBCA30，DECABC90，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAD，从而利用互余和计算出ADE 的度数； （2）如图 2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到 BFAC，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 ABAC，则

36、BFAB，再根据旋转的性质得到BCEACD60，CBCE，DEAB，从而得到 DEBF，ACD 和BCE 为等边三角形，接着证明CFDABC 得到 DFBC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论 【解答】 （1）解：连接 AD，如图 1， ABC 绕点 C 顺时针旋转 得到DEC，点 E 恰好在 AC 上， CACD，ECDBCA30，DECABC90， CACD， CADCDA（18030）75， ADE907515； （2）证明：如图 2， 点 F 是边 AC 中点， BFAC， ACB30， ABAC， BFAB， ABC 绕点 C 顺时针旋转 60得到DEC， BCEACD60，CBCE，DEAB， DEBF，ACD 和BCE 为等边三角形， BECB， 点 F 为ACD 的边 AC 的中点， DFAC， 易证得CFDABC， DFBC， DFBE， 而 BFDE， 四边形 BEDF 是平行四边形 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了平行四边形的判定