北京市通州区2021-2022学年九年级上期中考试数学试卷（含答案解析）

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1、北京市通州区九年级上期中数学试卷一、选择题1如图所示，则的度数为ABCD2下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是ABCD3如图，在中，点是上一点，交于点，则与的比是ABCD4将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为ABCD5如图，已知，其中，则A2BCD46已知，是二次函数图象上的两点，那么，的大小关系是ABCD不能确定7在物理课中同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的螺烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图，这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根到孔的距离为

2、，火焰根的像到孔的距离为，蜡烛火焰的高度为，那么倒立的像的高度为ABCD8如图，要在二次函数的图象上找一点，针对的不同取值，所找点的个数，有下列三种说法：如果，那么点的个数为0；如果，那么点的个数为1；如果，那么点的个数为2上述说法中正确的序号是ABCD二、填空题9如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点是，那么二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是 10已知：，则 11已知点、点在抛物线上，且，那么的取值范围是12已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形对应边的比是 13在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么的取值范围为 14二次函数，自变量

3、与函数的对应值如下表则当时，满足的范围是1324215如图，中，是的中点，在边上确定点的位置使得，那么的长为 16如图，一座悬索桥的桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离与相等，小强骑自行车从桥的一端沿直线匀速穿过桥面到达另一端，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面共需秒三、解答题17已知二次函数的图象经过，两点（1）求和的值；（2）在坐标系中画出该二次函数的图象18如图，在，是延长线上的一点，是上的一点，连接，求证：19在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点（1）求、两点的坐标；（2

4、）已知点在二次函数的图象上，且点和点到轴的距离相等，求点的坐标20如图，是的角平分线，在的延长线上有一点满足求证：21已知二次函数（1）二次函数图象的对称轴为 ，与轴的交点坐标为 （2）当时，如果，是该二次函数图象上的两点，且，求实数的取值范围22定义：如图，如果点在的边上且满足，那么称点为的“理相点”，如图，在中，如果点是的“理想点”，连接求的长23已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点（1）求顶点的坐标；（2）求点的纵坐标（用含的代数式表示）；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，直接写出的取值范围24如图中，点、分别在边、上

5、，且（1）求证：；（2）求线段长的取值范围25在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）（1）求，两点的坐标；（2）已知点，如果线段与二次函数的图象恰有一个公共点结合函数图象，求的取值范围26如图，在中，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点，点重合），连接以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与线段交于点（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明272022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地

6、上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动（1）当运动员运动到离处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的处？参考答案解析一、选择题1如图所示，则的度数为ABCD【分析】直接利用相似三角形的对应角相等，再结合三角形内角和定理得出答案【解答】解：，故选：2下列各坐标表示的点中，在函数的图象上的是ABCD【分析】将各选项的坐标代入函数解析式检验即可【解答】解：当时，点和点不在该函数图象上；当时，点在该函数图象上，点不在该函数图象上；故选：

7、3如图，在中，点是上一点，交于点，则与的比是ABCD【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解【解答】解：，故选：4将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为ABCD【分析】直接利用二次函数的平移规律“上加下减”，进而得出答案【解答】解：将二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的表达式为：故选：5如图，已知，其中，则A2BCD4【分析】直接利用相似三角形的性质得出，进而得出答案【解答】解：，故选：6已知，是二次函数图象上的两点，那么，的大小关系是ABCD不能确定【分析】将和分别代入函数解析式求得的值，然后比较大小【解答】解：当时，当时，故选：7在物理课中同学

8、们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一支点燃的螺烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间数一块钻有小孔章的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像（如图，这种现象就是小孔成像，在图2中，如果蜡烛火焰图1根到孔的距离为，火焰根的像到孔的距离为，蜡烛火焰的高度为，那么倒立的像的高度为ABCD【分析】由知，据此可得，解之即可得出答案【解答】解：如图，则，即，解得，故选：8如图，要在二次函数的图象上找一点，针对的不同取值，所找点的个数，有下列三种说法：如果，那么点的个数为0；如果，那么点的个数为1；如果，那么点的个数为2上述说法中正确的序号是ABCD【分析】把点的坐标代入抛物线解析

9、式，即可得到关于的一元二次方程，根据根的判别式即可判断【解答】解：点在抛物线上，点，当时，整理得，有两个不相等的值，点的个数为2，错误；当时，整理得，有两个相同的值，点的个数为1，正确；当时，整理得，点的个数为0，错误；故正确的，故选：二、填空题9如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，与轴的一个交点是，那么二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标是 【分析】找出点关于的对称点的坐标即可【解答】解：抛物线与轴的一交点坐标为，点关于的对称点的坐标为故答案为：10已知：，则【分析】根据得出，再把它代入中，即可求出答案【解答】解：，则；故填：11已知点、点在抛物线上，且，那么的取值范围是【分析】利用、坐标

10、且和二次函数的性质即可判断【解答】解：由已知抛物线为，对称轴为，要使，则在时，随的增大而增大，故的取值范围是：12已知两个相似三角形的面积之比是，那么这两个三角形对应边的比是【分析】因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是【解答】解：两个相似三角形的面积比为，它们对应的相似比是故答案为13在平面直角坐标系中，已知点，点，如果二次函数的图象与线段有交点，那么的取值范围为 【分析】线段在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大越小，当经过点求出的最小值，当经过点求出的最大值【解答】解：由题意可知：线段在第一象限，当时开口向下，显然的图象与线段没有交点，当开

11、口向上时，由抛物线性质开口越大越小”可知：当经过点时，有最小值，此时，解出；当经过点时，有最大值，此时，解出故的取值范围为：故答案为：14二次函数，自变量与函数的对应值如下表则当时，满足的范围是13242【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可根据及时的值，结合二次函数图象的顶点坐标，即可找出时的取值范围【解答】解：从表格看出，函数的对称轴为直线，顶点为，函数有最大值4，抛物线开口向下，当时，取最小值，当时，故答案为，15如图，中，是的中点，在边上确定点的位置使得，那么的长为 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【解答】解：，是的中点，当时，则，即，故答案为：16如图，一座悬索桥的桥面

12、与主悬钢索之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离与相等，小强骑自行车从桥的一端沿直线匀速穿过桥面到达另一端，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面共需46秒【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案【解答】解：主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离与相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，的对称轴为直线，他通过整个桥面共需（秒故答案为：46三、解答题17已知二次函数的图象经过，两点（1）求和的值；（2）在坐标系中画出该二次函数的图象【分析】

13、（1）把两点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）把解析式配成顶点式，然后利用描点法画出二次函数图象【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，解得：，；（2），则抛物线的顶点坐标为，二次函数的图象经过，两点图象经过，两点如图，18如图，在，是延长线上的一点，是上的一点，连接，求证：【分析】利用两角法即可判断出【解答】证明：，又，19在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点（1）求、两点的坐标；（2）已知点在二次函数的图象上，且点和点到轴的距离相等，求点的坐标【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式求出的值，然后即可得到二次函数解析式；令，解关于的一元二次方

14、程，即可得到、的坐标；（2）由点和点到轴的距离相等，可得点和点的纵坐标相等或互为相反数，代入二次函数的解析式即可求解【解答】解：（1）把点代入得，解得，所以，二次函数的解析式为；令，则，解得，点在点的左侧，；（2）点和点到轴的距离相等，点和点的纵坐标相等或互为相反数，点的纵坐标为5或当时，解得（舍去），点的坐标为；当时，原方程无解综上，点的坐标为20如图，是的角平分线，在的延长线上有一点满足求证：【分析】由是的角平分线，得，由，得，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，则【解答】证明：是的角平分线，21已知二次函数（1）二次函数图象的对称轴为 ，与轴的交点坐标为 （2）当时

15、，如果，是该二次函数图象上的两点，且，求实数的取值范围【分析】（1）根据对称轴公式求对称轴，当时，即可得到与轴的交点坐标；（2）将或分别代入二次函数解析式，解不等式即可得出的取值范围【解答】解：（1），对称轴为，当时，与轴的交点坐标为；故答案为：，（2）当时，是该二次函数的图象上的两点，且，化简整理得，实数的取值范围是22定义：如图，如果点在的边上且满足，那么称点为的“理相点”，如图，在中，如果点是的“理想点”，连接求的长【分析】由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，对应边成比例即可求长度；不可能在上【解答】解：在上时，如图：是的“理想点”，或，当时

16、，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，有， “理想点” 不可能在边上，在边上时，如图：是的“理想点”，又，即，综上所述，点是的“理想点”， 的长为或23已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点（1）求顶点的坐标；（2）求点的纵坐标（用含的代数式表示）；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，直接写出的取值范围【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）令，求得函数值即可求得；（3）结合图象，根据的符号与图象形状的关系列不等式求解【解答】解：（1），顶点的坐标为；（2）令，则，点的纵坐标；（3）当时，如图1，当时，封闭区域内（

17、不包含边界）只有2个整点，时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点；当时，如图2，当时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，时，封闭区域内（不包含边界）只有2个整点；综上，当二次函数的图象与直线围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，的取值范围是或24如图中，点、分别在边、上，且（1）求证：；（2）求线段长的取值范围【分析】（1）由，得，则，变形为，而是和的公共角，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明；（2）先由，确定，则，再由，确定当点与点重合时，此时最大，也最大，即可根据相似三角形的对应边成比例求出此时的值为，即的最大值为，于是得到线段长的取值范围是【解答】（1）证

18、明：，（2）点、分别在边、上，且，当点与点重合时，此时最大，也最大，线段长的取值范围是25在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）（1）求，两点的坐标；（2）已知点，如果线段与二次函数的图象恰有一个公共点结合函数图象，求的取值范围【分析】（1）令，解一元一次方程即可即可得到、的坐标；（2）根据点，如果线段与二次函数的图象恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围【解答】解：（1）令，则，即，解得或，；（3）二次函数的图象的对称轴为直线，图象过点，；当时，若线段与二次函数的图象恰有一个公共点，则，解得（不合题意，舍去）；当时，若线段与二次函数的图象恰有一个公共点，则，

19、解得，综上所述，当时，线段与二次函数的图象恰有一个公共点26如图，在中，过点作的垂线，垂足为，为线段上一动点（不与点，点重合），连接以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，与线段交于点（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明【分析】（1）根据旋转的性质得到，根据角的和差即可得到结论；（2）通过平行线分线段成比例即可证出为的中点【解答】（1）证明：将线段逆时针旋转得到线段，即；（2）解：证明：如图，连接，由（1）知，在和中，272022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，

20、建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方3米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动（1）当运动员运动到离处的水平距离为4米时离水平线的高度为7米，求抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员恰好落在小山坡的处？【分析】（1）根据题意将点和代入求出、的值即可写出的函数解析式；（2）解方程组，求出的值即可【解答】解：（1）由题意可知抛物线过点和，将其代入得：，解得：，抛物线的函数解析式为：；（2）联立方程组得：，消去并整理得：，解得，点在第一象限，答：当运动员运动的水平距离为12米时，运动员恰好落在小山坡的处