北京市海淀区2023届高三上期中数学试卷（含答案解析）

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1、北京市海淀区2023届高三上期中数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 在同一个坐标系中，函数与且图象可能是（ ）A. B. C D. 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为，则（ ）A. B. C. D. 4. 若等差数列和等比数列满足，则的公比为（ ）A. 2B. C. 4D. 5. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们终边关于直线对称若，则（ ）A. B. C. D. 7. 已知函数甲同学将的图象向上平移

2、个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若P是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A. B. C. 1D. 210. 我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去若经过次这

3、样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ）（参考数据：，）A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数，则_12. 函数的定义域是_.13. 已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为_14. 若函数和的图象的对称中心完全重合，则_；_15. 已知函数当时，的极值点个数为_；若恰有两个极值点，则的取值范围是_三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列的前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项若，求（用含的式子

4、表示）条件：；条件：；条件：注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得分17. 已知函数（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求在区间上最大值和最小值18. 已知函数（1）求的单调区间；（2）若在区间上的取值范围是，求的取值范围19. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求的面积；（2）求点之间的距离20. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切

5、线方程；（2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围21. 对于一个m行n列的数表，用表示数表中第i行第j列的数，（；）对于给定的正整数t，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：，；（1）以下给出数表1和数表2数表1111010000数表211110100001111010000（i）数表1是否具有性质？说明理由；（ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；（2）是否存在数表具有性质？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（3）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为求的最大值北京市海淀区2

6、023届高三上期中数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.1. 已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】，.故选：B.2. 在同一个坐标系中，函数与且图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于对称可确定结果.【详解】由指数函数和对数函数性质可知：与图象关于对称，由选项中图象对称关系可知A正确.故选：A.3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格中每个小正方形的边长均为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由图形可求得，由向量数量

7、积定义可求得结果.【详解】由图形可知：，.故选：C.4. 若等差数列和等比数列满足，则的公比为（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，所以，所以.故选：B.5. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知A正确；通过反例可知BCD错误.【详解】对于A，（当且仅当时取等号），A正确；对于B，当，时，B错误；对于C，当，时，则，C错误；对于D，当，时，则，D错误.故选：A.6. 在平面直角坐标系中，角与角均以

8、为始边，它们的终边关于直线对称若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对称关系可得，利用诱导公式可求得结果.【详解】的倾斜角为，与满足，.故选：D.7. 已知函数甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.【详解】对于A，A错误；对于B，B正确；对于C，C错误；对于D，D错误.故选：B.8. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A.

9、充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据可得，由奇偶性定义可知充分性成立；由为奇函数可知，由此可构造方程求得，知必要性成立，由此可得结论.【详解】当时，为奇函数，充分性成立；当奇函数时，由得：，即，必要性成立；“”是“为奇函数”的充分必要条件.故选：C.9. 若P是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】由题设及向量的线性关系知，且，再应用基本不等式求最大值，注意取值条件.【详解】由P是内部或边上的一个动点，且，所以，且，由，当且仅当时等号成立.故选：A10. 我们

10、可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为的线段，第次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（ ）（参考数据：，）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据变化规律可知每次去掉的线段长度成等比数列，利用等比数列求和公式可求得第次后，去掉的线段长度总和为，由，结合对数运算可解不等式求得，由此可得结果.【详解】第次操作，去掉的线段长度为；第次操作，去掉的线段长度为；第次操作，去掉的线段长度为，依次类推，可知第次

11、操作去掉的线段长度为，即每次去掉的线段长度成等比数列，第次后，去掉的线段长度总和为，由得：，的最小值为.故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数，则_【答案】【解析】【分析】由共轭复数概念写出，再求其模长.【详解】由题设，则.故答案为：12. 函数的定义域是_.【答案】.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13. 已知向量，若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为_【答案】（答案不唯一，小于的实数均可）【解析】【分析】由两向量同向可知，由此可构造方

12、程组求得，由可求得满足题意的的范围，进而得到结果.【详解】与方向相同，由得：，存在实数，使得与方向相同.故答案为：（答案不唯一，小于的实数均可）.14. 若函数和的图象的对称中心完全重合，则_；_【答案】 . 2 . 1或1【解析】【分析】由题设，由对称中心完全重合知两函数最小正周期相同即可确定，进而求的对称中心代入求，注意讨论参数，最后求出对应.【详解】由，与的对称中心完全重合，所以两函数的最小正周期相同，故，则，令且，故且，则对称中心为且，所以，故且，则，令，此时，所以，故；令，此时，所以，故；由余弦函数的周期性、对称性知：.故答案为：2，1或115. 已知函数当时，的极值点个数为_；若恰

13、有两个极值点，则的取值范围是_【答案】 . . 【解析】【分析】验证分段处函数值可知为连续函数，由单调性可确定和是的极值点，由此可得极值点个数；验证分段处函数值可知为连续函数，根据一次函数和二次函数单调性可确定和必为的两个极值点，得到；根据二次函数的单调性，结合极值点定义可知在上单调递增，即；由此可得的范围.【详解】当时，；，为连续函数；在上单调递增，在上单调递减，和是的极值点，即的极值点个数为；，为连续函数，为单调函数，在上无极值点；又在上至多有一个极值点，和必为的两个极值点，解得：，又在上单调递减，在上单调递增，；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】易错点睛：本题考查函数极值点

14、定义、根据极值点个数求解参数范围的问题；本题易错的点在于根据极值点个数求解参数范围时，确定和为的两个极值点后，忽略在极值点左右两侧函数单调性需发生改变，导致丢失的范围.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知等差数列的前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）等比数列的首项为，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项若，求（用含的式子表示）条件：；条件：；条件：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差，进而得到；（2）利用等比数列通项公式可得，由

15、可得与之间关系；若选条件，可知当为偶数时，不合题意；若选条件，可知，不合题意；若选条件，可知，并知，由此可得结果.【小问1详解】设等差数列的公差为，解得：，.【小问2详解】若选条件，又，由得：，；当为偶数时，不符合，则不能选择条件；若选条件，又，由得：，；当且时，为奇数，则，不合题意，则不能选择条件；若选条件，又，由得：，；当时，为偶数，满足题意；综上所述：.17. 已知函数（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求在区间上的最大值和最小值【答案】（1）-1； （2）； （3）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）自变量直接代入求值；（2）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型

16、函数性质求最小正周期；（3）利用正弦型函数性质求区间最值即可.【小问1详解】【小问2详解】由题设所以的最小正周期为【小问3详解】因为，所以，当，即时，取得最大值，所以在区间上的最大值为；当，即时，取得最小值，所以在区间上的最小值为18. 已知函数（1）求的单调区间；（2）若在区间上的取值范围是，求的取值范围【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为 （2）【解析】【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间；（2）分别令，可求得的临界值，分别在、和的情况下，根据值域确定满足题意的范围.【小问1详解】由题意知：定义域为，当时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为.【小问2详解】

17、由得；，解得：或；由得：或；当时，不合题意；当时，即值域为，满足题意；当时，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.19. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求的面积；（2）求点之间的距离【答案】（1）; （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】在 中，

18、所以由正弦定理：，得，所以,，所以 的面积为【小问2详解】由，得，且,在 中由余弦定理，得,所以即点C，D之间的距离为20. 已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；（2）令，求导后可知，由此确定在上单调递增，结合零点存在定理可得结论；（3），将问题转化为恒成立；求导后，分析可知当时，单调递增；当时，利用零点存在定理可说明在上单调递减，由此可得，知不合题意；当时，可得，知单调递增，满足

19、题意；当时，采用放缩法得，结合时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果.【小问1详解】当时，则，又，在点处的切线方程为：，即.【小问2详解】当时，令，则；当时，即，在上单调递增，又，在上有唯一零点，即在上有且仅有一个零点.【小问3详解】令，则对任意，恒成立；又，令，则；当时，若，则，在上恒成立，则在上单调递增；当时，使得，且当时，在上单调递减，此时，不合题意；当时，；当时，则在上单调递增，恒成立，满足题意；当时，由知：对任意，满足题意；综上所述：实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数

20、的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围.21. 对于一个m行n列的数表，用表示数表中第i行第j列的数，（；）对于给定的正整数t，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：，；（1）以下给出数表1和数表2数表1111010000数表211110100001111010000（i）数表1是否具有性质？说明理由；（ii）是否存在正整数t，使得数表2具有性质？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由；（2）是否存在数表具有性质？若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由；（3）给定偶数，对每一个，将集合中的最小元素记为求的最大值【答案】（1）（i

21、）数表1不具有性质，理由见解析；（ii）存在. （2）不存在，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据数表具有性质的定义，可判断（i）中数表1不具有性质，（ii）中数表当时满足条件，即得答案；（2）假设存在m使得数表具有性质，根据题意可推出任意两行中，1的个数的奇偶性相同，与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾，可得结论；（3）定义行n列的数表，满足设定的条件其第i行第j列为，（），在其条件下先证明，再证时，综合可得，从而得的最大值的为【小问1详解】（i）数表1不具有性质理由：（）存由图表可知，故时，数表2具有性质【小问2详解】不存在数表具有性质假设存在m使得数表具有性质，则即在

22、这两行中，有6列的数不同，设其中有k列是第i行的数为1，第行的数为0，则有列是第i行的数为0，第行的数为1，所以，从第i行到第行，一共增加了个1，1的个数的奇偶性不变所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同，与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾，所以，不存在具有性质的数表【小问3详解】的最大值的为定义行n列的数表：其第i行第j列为，（），则，且表示，两数相同，表示，两数不同因为数表的第1行确定，所以给定数表后，数表唯一确定先证按照如下方式，构造数表：对于第行和第2s行，令，且在这两行其余的列中，任选相同的列都为1，其他列都为0，于是可得到具有性质的数表如下：第1列第2列第3列第4列第

23、n1列第n列第1行111111 第3行001111第5行000011第行000000即对于每个，当时，都存在数表具有性质所以再证时，记（）因为是奇数，所以与的奇偶性不相同（）因为，所以m是奇数考虑的第i行和行，因为，所以这两行中都有列为1，1列为0若这两行相同，则数表的第i行和第行相同，若这两行不同，设其分别在第p，q列为0，则数表的第i行和第行只在第p，q列上不同，其他列都相同，因为，其中n是偶数所以，所以，即结合，综上所述，的最大值为【点睛】本题考查了关于数表新定义的问题，涉及到归纳推理的思想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好地考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义，根据其定义解决问题.