辽宁省沈阳市重点高中联合体2022-2023学年高二上期中检测数学试卷（含答案解析）

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1、辽宁省沈阳市重点高中联合体高二上期中检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 已知过点，的直线的倾斜角为60，则实数a的值为（ ）A B. C. D. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 3. 设、，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切5. 椭圆M的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 6. 设点，若直线ax+y

2、+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知四棱锥SABCD底面ABCD是边长为2的正方形，SD平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD（ ）A 2B. C. 4D. 18. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，且，则点Q的坐标为（ ）A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求

3、.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（ ）A. 2B. C. 1D. 10. 若椭圆的左、右焦点分别为，则下列b的取值能使以为直径的圆与椭圆C有公共点的是（ ）A. B. C. D. 11. 已知椭圆，则（ ）A. 椭圆，焦距相等B. 椭圆，的焦点都在轴上C. 直线与椭圆，共有3个交点D. 椭圆的离心率比椭圆的离心率大12. 已知四面体ABCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 直线l过点，若点到直线的距离为3，则直

4、线的方程为_.14. 若方程表示椭圆，则的取值范围是_.15. 已知空间向量、满足，则与的夹角为_16. 已知椭圆C1：（0b2）的离心率为，F1和F2是C1的左右焦点，P是C1上的动点，点Q在线段F1P的延长线上，PQPF2，点Q的轨迹为C2，线段F2Q的垂直平分线交C2于A，B两点，则AB的最小值是_四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17 已知直线与直线交于点.求：（1）过点且垂直于直线的直线的一般式方程；（2）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般式方程.18. 如图，在直三棱柱中，E为线段的中点（1）证明：平面；（2）若，求二

5、面角的平面角的正弦值19. 设、分别是椭圆的左、右焦点（1）设椭圆上的点到、两点距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程20. 已知圆心在直线x+y-1=0上，且过点的圆与直线3x-4y+5=0相切，其半径小于5.（1）求圆的方程；（2）若圆与圆关于直线x+2y-2=0对称，求圆的方程.21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.（3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.22. 已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”

6、为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.辽宁省沈阳市重点高中联合体高二上期中检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 已知过点，的直线的倾斜角为60，则实数a的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据斜率的定义求解【详解】由题意，得，解得.故选：A.2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（ ）A. B

7、. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.【详解】解：设椭圆半焦距为，若椭圆上一点，则，且又，则由于，所以于是可得，所以椭圆C的离心率.故选：B.3. 设、，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，因此，.故选：D.4. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】A【解析】【分

8、析】由圆心距与两圆半径的和差比较可得【详解】圆的圆心为，半径为.圆的圆心为，半径为2，所以两圆圆心之间的距离为，半径和为.因为，所以两个圆相离.故选：A.5. 椭圆M的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a5，根据焦点坐标求出c3，得到椭圆标准方程.【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a20，即a5，又因为c3，所以，所以该椭圆的标准方程为.故选：B.6. 设点，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D

9、【解析】【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案【详解】直线过定点，且，由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，解得，故选：D7. 已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD（ ）A. 2B. C. 4D. 1【答案】C【解析】【分析】以D为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设，则，所以，所以，.因为直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，也即.故选：C.8. 阿波

10、罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，Q为x轴上一定点，且，则点Q的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可设，按照阿波罗尼斯圆定义得轨迹方程，根据已知轨迹方程列式即可得得值，从而可得点Q的坐标.【详解】解：设，所以.由，得.因为，所以，整理得：.因为动点M的轨迹方程是，所以解得，所以.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

11、错的得0分）9. 若表示圆的一般方程，则实数的值可以是（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】BD【解析】【分析】将已知方程配方成圆的标准方程的形式，再根据，可得的取值范围，从而可得实数的可能值.【详解】解：将配方得.要想表示圆，则，解得.故选：BD.10. 若椭圆的左、右焦点分别为，则下列b的取值能使以为直径的圆与椭圆C有公共点的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据给定的条件，确定以为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b的范围作答.【详解】令椭圆的半焦距为c，则以为直径的圆的方程为，因圆与椭圆C有公共点，则有，即，解得，显然选项A，B，C满足，D不满

12、足.故选：ABC11. 已知椭圆，则（ ）A. 椭圆，的焦距相等B. 椭圆，的焦点都在轴上C. 直线与椭圆，共有3个交点D. 椭圆的离心率比椭圆的离心率大【答案】AC【解析】【分析】化椭圆为标准方程，分别确定两个椭圆方程中的值，结合椭圆方程，逐项判断即可.【详解】解：因为椭圆，整理为标准方程为，其中，所以；椭圆，其中，所以则椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，故A正确；因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y轴上，故B错误；因为与y轴交于点，与y轴交于点，所以与相切，与相交，即直线与，共有3个交点，故C正确；因为椭圆的离心率为，的离心率为所以，故D错误.故选：AC.12. 已知四面体ABCD的所有棱长均为

13、2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】由异面直线和向量平行的定义判断A，由空间向量数量积的运算判断BC，由空间向量的线性运算判断D【详解】由题意可得四面体ABCD为正四面体，如图.A：因为平面ABCA，平面ABC，且，平面，由异面直线的定义可知，AF，CE为异面直线，故A错误；B：因为F分别为棱CD的中点，所以，故B错误；C：因为，所以，故C正确；D：因为E，F分别为棱AB，CD的中点，所以，所以，故D正确.故选：CD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 直线l过点，若点到直线的距离为3，则直线的方

14、程为_.【答案】或【解析】【分析】根据过一点讨论直线斜率是否存在从而确定直线方程，再利用点到直线的距离为3进行检验或运算得直线方程.【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时点到直线的距离为3，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以此时点到直线的距离为，解得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为：或.故答案为：或.14. 若方程表示椭圆，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据方程的形式可得关于的不等式组，从而可得的取值范围.【详解】由题设可得，解得.故答案为：.15. 已知空间向量、满足，则与的夹角为_【答案】#60【解析】【分析】由，得，两边平方化简

15、可求出得结果.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，故答案为：16. 已知椭圆C1：（0b2）的离心率为，F1和F2是C1的左右焦点，P是C1上的动点，点Q在线段F1P的延长线上，PQPF2，点Q的轨迹为C2，线段F2Q的垂直平分线交C2于A，B两点，则AB的最小值是_【答案】【解析】【分析】先求椭圆方程，由椭圆定义和已知可得C2方程，然后数形结合，根据圆的弦长公式分析可得.【详解】由题知，解得，又所以C1方程为因为PQPF2，所以所以点Q的轨迹为圆：记的中点为M，线段F2Q的垂直平分线交C2于A，B两点，过作垂直于点N，则因为所以当时，有最小值，即点椭圆右顶点时取得最小值此

16、时直线AB方程为，故故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知直线与直线交于点.求：（1）过点且垂直于直线的直线的一般式方程；（2）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般式方程.【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）联立已知直线方程，得交点的坐标，根据直线垂直于直线设直线的方程，代入点坐标即可得的方程；（2）根据直线在两坐标轴上的截距互为相反，讨论直线过原点和截距不为零的情况分别求得直线的方程即可.【小问1详解】联立，解得，所以.由于直线垂直于直线则可设直线的方程为，代入点的坐标，得.所以直线的一般式方程为.【小

17、问2详解】解：当直线过坐标原点时，直线的斜率此时直线的方程为，即；当直线不过坐标原点时，由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数则可设直线的方程为，代入点的坐标，得，所以直线的方程为，即.综上所述，直线的一般式方程为或.18. 如图，在直三棱柱中，E为线段的中点（1）证明：平面；（2）若，求二面角的平面角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据向量的夹角公式求得二面角的平面角的余弦值，即可求得答案.【小问1详解】证明：连接交于点O，连接，在直三棱柱中，

18、为矩形，所以O为中点，又因为E为中点，所以，又由平面平面，所以平面【小问2详解】由题意知在直三棱柱中，故两两垂直，以B点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则 ，令，则，所以平面的一个法向量为，因为平面的一个法向量可取为，设二面角的平面角为，则，所以二面角的平面角的正弦值为19. 设、分别是椭圆的左、右焦点（1）设椭圆上的点到、两点距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；（2）设是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程【答案】（1）椭圆的方程为，焦点坐标分别为、 （2）【解析】【分析】（1）依题意可得且，即可求出、的值，从而求

19、出椭圆方程与焦点坐标；（2）设的中点为，即可表示出的坐标，利用相关点法计算可得.【小问1详解】解：由于点在椭圆上，所以，又，解得，所以，所以椭圆的方程为，焦点坐标分别为、【小问2详解】解：设的中点为，则点，把K的坐标代入椭圆中，得，所以线段的中点的轨迹方程20. 已知圆心在直线x+y-1=0上，且过点的圆与直线3x-4y+5=0相切，其半径小于5.（1）求圆的方程；（2）若圆与圆关于直线x+2y-2=0对称，求圆的方程.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出圆的坐标，再借助经过的点及切线方程列出方程求解作答.（2）求出圆心关于直线x+2y-2=0对称点坐标，即可求出

20、圆的方程作答.【小问1详解】由圆心在直线x+y-1=0上，设点，又圆过点，且与直线3x-4y+5=0相切，则，整理得，解得或，因为圆的半径小于5，则有a2，即，圆的半径，所以圆的方程为.【小问2详解】设圆的圆心，因圆与圆关于直线x+2y-2=0对称，则有，解得，即点，而圆的半径等于圆的半径3，所以圆的方程为.21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.（3）若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）由

21、题意建立空间直角坐标系，按照空间向量坐标运算证明即可；（2）分别确定平面与平面的法向量，根据向量夹角余弦值与二面角的关系可求得二面角的平面角的余弦；（3）根据点在棱上（不与点，重合），设比例系数，可得的坐标，假设直线能与平面垂直得向量关系为，根据坐标判断是否可得的值，从而判断假设是否成立.【小问1详解】解：因为平面，所以，又则以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以，所以，且，平面所以平面.【小问2详解】解：由（1）知是平面的一个法向量.，.设平面的一个法向量为，所以，即令，则，所以，所以.又由图可知二面角的平面角为锐角所以二面角平面角的余弦值为.【小问3详解】解：由（1）得，.

22、设，则，可得，所以.由（2）知是平面的一个法向量.若平面，可得则，该方程无解，所以直线不能与平面垂直.22. 已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；（3）当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可；（2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可；（3）设，则，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可.【小问1详解】解：设.所以，根据“伴随点”的定义，有，则，又因为，所以，即.所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为.【小问2详解】解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，因为椭圆上的点的“伴随点”为，所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得，因为点在椭圆上，所以，所以，且，所以.因为，所以，所以的取值范围是.【小问3详解】解：由题意，得椭圆的方程为.设，则，.联立椭圆和直线的方程，得所以.由题意，得，所以，.因为为直径的圆经过坐标原点，所以，即，所以.将代入，化简，得.所以，所以.又因为点到直线距离，所以.