浙江省A9协作体2022-2023学年高二上期中联考数学试卷(含答案解析)
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1、浙江省A9协作体2022-2023学年高二上期中联考数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 点关于轴对称点的坐标为( )A. B. C. D. 2. 直线与直线平行,那么的值是()A. B. C. 或D. 或3. 如图,在平行六面体中,与的交点为,若,则( )A. B. C. D. 4. 直线斜率取值范围是,则其倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 5. 已知空间向量,则在上的投影向量坐标是( )A B. C. D. 6. 已知圆:,为圆心,为圆上任意一点,定点,线段的垂直平分线与直线相交于点,则当点在圆上运动时,点的轨迹方程为( )A. B. C. D. 7.
2、 文心雕龙中说“造化赋形,支体必双,神理为用,事不孤立”,意思是自然界的事物都是成双成对的已知动点与定点的距离和它到定直线:的距离的比是常数若某条直线上存在这样的点,则称该直线为“成双直线”则下列结论正确的是( )A. 动点的轨迹方程为B. 动点的轨迹与圆:没有公共点C. 直线:为成双直线D. 若直线与点的轨迹相交于,两点,点为点的轨迹上不同于,的一点,且直线,的斜率分别为,则8. 正方体中,是棱的中点,是底面内一动点,且、与底面所成角相等,则动点的轨迹为( )A. 圆一部分B. 直线的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的
3、选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 若方程表示的曲线为,则下列说法正确的有( )A. 若,则曲线为椭圆B. 若曲线为双曲线,则或C. 曲线不可能是圆D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则10. 在棱长为2的正方体中,、分别为、的中点,则下列选项正确的是( )A. 若点在平面内,则必存在实数,使得B. 直线与所成角的余弦值为C. 点到直线的距离为D. 存在实数、使得11. 已知是椭圆:上任意一点,是圆:上任意一点,分别是椭圆的左右焦点,为椭圆的下顶点,则( )A. 使为直角三角形的点共有4个B. 最大值为4C. 若为钝角,则点的横坐标的取值范围为D.
4、当最大时,12. 下列说法正确的有( )A. 设直线系:,则存在一个圆与中所有直线相交B. 设直线系:,则存在一个圆与中所有直线相切C. 如果圆:与圆:有四条公切线,则实数的取值范围是D. 过点作圆的切线,切点为、,若直线的方程为,则三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,则椭圆的面积公式为若椭圆的焦点在轴上,离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为_14. 已知,空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为经过点且方向向量为的直线方程为用以上知识解决下面问题:
5、已知平面的方程为,直线的方程为,则直线与平面所成角的正弦值为_15. 已知,分别是双曲线的左右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A(A在第二象限),射线与双曲线的另一条渐近线相交于点,满足,则双曲线的离心率为_16. 平面直角坐标系中,已知点,当四边形的周长最小时,的外接圆的方程为_四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知ABC的三个顶点分别为A(2,1),B(-2,3),C(0,-3),求:()若BC的中点为D,求直线AD的方程;()求ABC的面积18. 如图,为圆柱的母线,是底面圆的直径,分别是,的中点,面(1)证明:
6、平面;(2)若,求平面与平面的夹角余弦值19. 已知圆的圆心在直线:上,且与直线:相切于点(1)求圆的方程;(2)过点的直线与圆相交于,两点,且,求直线的方程20. 如图,斜三棱柱的体积为,的面积为,平面平面,为线段上的动点(包括端点)(1)求到平面的距离;(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围21. 已知双曲线:与双曲线有相同的渐近线,直线被双曲线所截得的弦长为6(1)求双曲线的方程;(2)过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于,两点,求证:以为直径的圆恒过轴上的定点,并求此定点坐标22. 已知椭圆的离心率为,短轴长为(1)求椭圆的方程;(2)椭圆上是否存在点,使平行于的直线交椭圆于两点,满
7、足直线的倾斜角互补,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由浙江省A9协作体2022-2023学年高二上期中联考数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 点关于轴的对称点的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据空间中点关于坐标轴对称的知识点即可得到答案.【详解】空间中,点关于轴的对称点,纵坐标相同,横坐标与竖坐标相反,所以点关于轴的对称点的坐标为.故选:A2. 直线与直线平行,那么的值是()A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组,解方程组即可求解.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得:,故选:B
8、.3. 如图,在平行六面体中,与的交点为,若,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知,根据题意,将利用线性运算表示成的关系,然后利用待定系数法即可求解出.【详解】由已知,在平行六面体中,与的交点为,所以所以.故选:C.4. 直线斜率的取值范围是,则其倾斜角的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值结合正切函数的图象与性质即可求解.【详解】设直线的斜率为,倾斜角为,则有.当直线的倾斜角为钝角且斜率,即,即,因为在上单调递增,所以解得,当直线的倾斜角为锐角且斜率,即,即,因为在上单调递增,所以解得,综上,故选:D5. 已
9、知空间向量,则在上的投影向量坐标是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量,所以 则在上的投影向量坐标是: 故选:B6. 已知圆:,为圆心,为圆上任意一点,定点,线段的垂直平分线与直线相交于点,则当点在圆上运动时,点的轨迹方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用圆的性质,线段垂直平分线的性质,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点,所以有,由,得,该圆的半径为,因为点在圆上运动时,所以有,于是有,所以点的轨迹是以为焦点的双曲线,所以,所以点的轨迹方程为,故选:D7. 文心雕
10、龙中说“造化赋形,支体必双,神理为用,事不孤立”,意思是自然界的事物都是成双成对的已知动点与定点的距离和它到定直线:的距离的比是常数若某条直线上存在这样的点,则称该直线为“成双直线”则下列结论正确的是( )A. 动点的轨迹方程为B. 动点的轨迹与圆:没有公共点C. 直线:为成双直线D. 若直线与点的轨迹相交于,两点,点为点的轨迹上不同于,的一点,且直线,的斜率分别为,则【答案】C【解析】【分析】A选项,设出动点,列出方程,化简得到动点的轨迹方程为,A错误;B选项,将与联立后,由根的判别式得到,得到动点的轨迹与圆:有两个公共点,B错误;C选项,将与联立后,由根的判别式进行求解得到直线:上存在这样
11、的点,C正确;D选项,联立与联立,求出坐标,设,结合斜率公式得到.【详解】设动点,故,化简得:,两边平方得:,解得:,故动点的轨迹方程为,A错误;将与联立得:,则,故动点的轨迹与圆:有两个公共点,B舍去;将与联立得:,由,故直线:上存在这样的点,故直线:为成双直线,C正确;联立与联立,解得:,故,不妨设,故,则,将代入上式,D错误.故选:C8. 正方体中,是棱中点,是底面内一动点,且、与底面所成角相等,则动点的轨迹为( )A. 圆的一部分B. 直线的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形,由直线、与底面所成的角相等,可得,建立平面直角坐标系,求出的
12、轨迹,则答案可求【详解】正方体如图所示,连接,由底面,底面,可得、分别为直线、与底面所成的角,由,可得,由,在平面内,以为原点,为轴,为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设正方体棱长为,则,设,由,则,化简得,动点的轨迹是以为圆心,为半径的圆位于正方形内的部分.故选:A二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 若方程表示的曲线为,则下列说法正确的有( )A. 若,则曲线为椭圆B. 若曲线为双曲线,则或C. 曲线不可能是圆D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则【答案】BD【解析】【分析】根据的取
13、值,结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A, 当时,此时曲线为圆,故A错,对于B,若曲线为双曲线,则,即或, 故B对,对于C, 若曲线为圆,则即,故曲线可能是圆,故C错,对于D, 曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,解得,故D对.故选:BD.10. 在棱长为2的正方体中,、分别为、的中点,则下列选项正确的是( )A. 若点在平面内,则必存在实数,使得B. 直线与所成角的余弦值为C. 点到直线的距离为D. 存在实数、使得【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量共面定理,异面直线夹角和点到直线距离的求解方法,以及线面平行的判定定理,对每个选项进行逐一分析,即可判断和选择.【详解】对A:
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