江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高三上期中数学试卷(含答案解析)
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1、江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高三上期中数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 2. 已知,为两个不同平面,为直线且,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知向量,则下列结论正确的是( )A. B. C. 向量与向量的夹角为D. 在的投影向量是4. 有一个内角为的等腰三角形被称为黄金三角形,它的较短边与较长边之比为黄金分割比由上述信息可求得的值为( )A. B. C. D. 5. 已知函数,的解析式是由函数和的解析式组合而成,函数部分图象如下图所示
2、,则解析式可能为( )A. B. C. D. 6. 已知函数(,),直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心,则下列说法正确的是( )A. 函数为奇函数B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上为单调函数D. 函数在区间上有12个零点7. 已知直线与直线相交于点,则下列结论正确是( )A. 过定点B. 点的轨迹方程为C. 点到点和点距离之和最大值为D. 点到坐标原点的距离的最小值为8. 已知函数,其中实数,则下列结论错误是( )A. 必有两个极值点B. 有且仅有3个零点时,的范围是C. 当时,点是曲线的对称中心D. 当时,过点可以作曲线的3条切线二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共2
3、0分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 设复数z在复平面内对应的点为Z,i为虚数单位,则下列说法正确的是( )A. 若,则z的虚部为2iB. 若|z|1,则z1或ziC. 若点Z坐标为(1,3),且z是关于x的实系数方程x2pxq0的一个根,则pq12D. 若,则点Z的集合所构成的图形的面积为10. 下列不等关系中成立的是( )A. B. C. D. 11. 在三棱锥中,已知,则( )A. 与成角B. 平面平面C. 平面平面D. 与平面所成角小于与平面所成角12. 螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”,平面螺旋便是
4、以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线,如图(1)所示如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案,它的画法是这样的:正方形的边长为4,取正方形各边的四等分点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的四等分点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去,就可以得到阴影部分的图案设正方形边长为,后续各正方形边长依次为;如图(2)阴影部分,直角三角形面积为,后续各直角三角形面积依次为,下列说法正确的是( )A. 第个正方形面积为.B. .C. 使得不等式成立的的最大值为.D. 数列的前项和对任意恒成立.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知函数同时满足(1);(2),其中,则符合
5、条件的一个函数解析式_14. 已知正方形ABCD的边长为4,中心为O,圆O的半径为1,MN为圆O的直径若点P在正方形ABCD的边上运动,则的取值范围是_15. 正四棱台高为2,上下底边长分别为和,所有顶点在同一球面上,则球的表面积是_16. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则的最小值为_四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设数列的前项和为,(1)求的通项公式;(2)对于任意的正整数,求数列的前项和18. 若函数满足,其中,且(1)求函数解析式;(2)判断并证明函数单调性;(3)若,在时恒成立,求的取值范围19. 如图,在四棱锥PABCD中,底面AB
6、CD为正方形,PAPBAB2,平面PAB平面ABCD,N是CD的中点(1)若点M为线段PD上一点,且平面AMN,求的值;(2)求二面角BPAC的正弦值;(3)求点N到面PAC的距离20. 在;两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)求角C的大小;(2)若ACB的角平分线CD交线段AB于点D,且,求ABC的面积21. 已知圆O:x2y216,点A(6,0),点B为圆O上的动点,线段AB的中点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程;(2)设T(2,0),过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点(i)过点T作与直线l垂直的直
7、线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值;(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由22. 函数,(1)求函数的单调递增区间;(2)当时,求实数的取值范围江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高三上期中数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1. 已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将写成分段函数形式求值域,由指数函数性质求值域分别得到集合A、B,再结合各项判断正误即可.【详解】,故,而,则,所以,即A、B、C错误,D正确.故选:D2.
8、已知,为两个不同平面,为直线且,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时,若,则推不出;反之可得,根据充分条件和必要条件判断方法,判断即可得到答案【详解】当时,若且,则推不出,故必要性不成立;当时,可过直线作平面与平面交于,根据线面平行的性质定理可得,又,所以,又,所以,故充分性成立,所以“”是“”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定,关键是掌握充分条件和必要条件的定义,判断是的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件能否推得条件;二是由条件能否推得条件3. 已知向量,则下列
9、结论正确的是( )A. B. C. 向量与向量的夹角为D. 在的投影向量是【答案】C【解析】【分析】应用向量坐标的线性运算求、,结合向量共线定理、模长的坐标运算判断A、B,根据向量夹角的坐标表示、投影向量的定义判断C、D.【详解】由,不存在使,即与不共线,A错误;由,故,B错误;由,又,故,C正确;由在的投影向量,D错误.故选:C4. 有一个内角为的等腰三角形被称为黄金三角形,它的较短边与较长边之比为黄金分割比由上述信息可求得的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出,其中,计算出,然后利用诱导公式可求得的值.【详解】在中,取的中点,连接,如下图所示:由题意可知,且,所
10、以,所以,.故选:C.5. 已知函数,的解析式是由函数和的解析式组合而成,函数部分图象如下图所示,则解析式可能为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合图象的对称性排除CD,再由特殊值及放缩法判断的正负排除B.【详解】定义域都为,关于原点对称,而,所以都是奇函数,故都是偶函数,因为所给图象关于原点对称,是奇函数,故可排除CD;当时,故排除选项B.故选:A6. 已知函数(,),直线和点分别是图象相邻的对称轴和对称中心,则下列说法正确的是( )A. 函数为奇函数B. 函数图象关于点对称C. 函数在区间上为单调函数D. 函数在区间上有12个零点【答案】D【解析】【
11、分析】根据已知条件求得,代入法以及正余弦函数性质判断奇偶性、对称中心,由整体法,结合正弦函数的单调性、周期性判断区间单调性和区间零点个数.【详解】由题设,故,所以,故且,所以,又,故,综上,为偶函数,A错误;,图象不关于对称,B错误;在上,根据正弦函数的性质在该区间上不单调,C错误;在上,在区间内有6个周期长度,每个周期有2个零点,所以该区间内有12个零点,D正确.故选:D7. 已知直线与直线相交于点,则下列结论正确的是( )A. 过定点B. 点的轨迹方程为C. 点到点和点距离之和的最大值为D. 点到坐标原点的距离的最小值为【答案】B【解析】【分析】求出直线所过定点的坐标,可判断A选项;求出直
12、线所过定点的坐标,分析可知,由可求得点的轨迹方程,可判断B选项;求出,利用基本不等式可判断C选项;利用圆的几何性质可判断D选项.【详解】对于A选项,直线的方程可化为,由,可得,所以,直线过定点,A错;对于B选项,直线的方程可化为,由,可得,所以,直线过定点,因为,则,即,设点,则,所以,整理可得,所以,点的轨迹方程为,B对;对于C选项,由勾股定理可得,所以,则,当且仅当时,等号成立,所以,点到点和点距离之和的最大值为,C错;对于D选项,记圆的圆心为,该圆的半径为,因为,故原点在圆外,又因为,故,D错.故选:B.8. 已知函数,其中实数,则下列结论错误的是( )A. 必有两个极值点B. 有且仅有
13、3个零点时,的范围是C. 当时,点是曲线的对称中心D. 当时,过点可以作曲线的3条切线【答案】B【解析】【分析】对求导,得到的单调性,判断的极值点个数可判断A;要使有且仅有3个零点,只需即可判断;当时,计算可判断C;设切点为,求出过点的切线方程,令,所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数即可判断D.【详解】对于A,令,解得:或,因为,所以令,得或,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值,在处取得极小值,所以A正确;对于B,要使有且仅有3个零点,只需即,所以,所以的范围是,故B不正确;对于C,当时,所以点是曲线的对称中心,所以C正确;对于D,设切点为,所以在点处的
14、切线方程为:,又因为切线过点,所以,解得:,令,所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.,令,解得:或,因为,所以令,得或,令,得,则在上单调递增,在上单调递减,如下图所示,当时,与图象有3个交点,即过点可以作曲线的3条切线,故正确,故选:B【点睛】方法点睛:对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略:1、通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;2、利用可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9
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