山东省青岛市即墨区2022-2023学年九年级上期中数学试卷（含答案解析）

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1、山东省青岛市即墨区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1. 已知下列方程：；，其中一元二次方程有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2. 两个相似五边形的一组对应边的长分别是，若它们的面积和是，则较大五边形的面积是（ ）A. B. C. D. 3. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）A 32个B. 36个C. 40个D. 42个4. 要检验一个四边

2、形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）A. 测量四边形画框的两个角是否为B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D. 测量四边形画框的四边是否相等5. 若方程没有实数根，则的值可能是（ ）A. 2B. C. 3D. 6. 如图，若，则图中相似三角形有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么满足的方程是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，正方形边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：；其中正确结

3、论有（ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分）9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是_10 如图，则_ 11. 某药品原价每盒100元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒64元，则该药品平均每次降价的百分率是 _12. 如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为_13. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为_14. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _15. 九年级（

4、1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，旗杆的高度为_m16. 如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D处，折痕为EF，则DD的长为 _三、作图题：（本题满分4分）17. 小强想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹求一个顶点为A，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图把这个菱形作出来四、解答题：（共68分）18. 解下列方程：（1）（配方法）；（2）；（3）；19. 已知，关于x的一元二次方程（1）若是该

5、方程的一个根，求k的值及另一个根；（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围；20. 小明和小亮用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由21. 如图，在四边形中，点，分别是，的中点（1）求证： （2）求证：四边形是菱形（3）给三角形添加一个条件_，使得四边形是正方形，并证明你的结论22. 如图，在中，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使（1）求证： （2）当点时，求的值；（3）当时，求BP的值23. 水果专柜张经理发现，如果以每千克2元的价格购进富士苹果若干，然后

6、以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，后通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；（2）张经理现有资金500元，如果希望通过降价销售销售这种水果每天盈利300元，张经理需将每千克的售价降低多少元？24. 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”如图，在与中，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，则称为“关联比” 下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当与为“关

7、联等腰三角形”，且时，在图1中，若点落在上，则“关联比”= ；在图2中，探究与的关系，并求出“关联比”的值（2）如图3，当与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”= ；（3）如图4，与为“关联等腰三角形”若，点为边上一点，且，点为上一动点，求点自点运动至点时，点所经过路径长25. 矩形中，为对角线，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒 （1）时，求运动时间t；（2）时，求运动时间t；（3）当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？（4）

8、连接的面积能否达到矩形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由山东省青岛市即墨区2022-2023学年九年级上期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1. 已知下列方程：；，其中一元二次方程有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【解析】【分析】一元二次方程必须满足三个条件：（1）整式方程；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0据此可判断【详解】解：不是整式方程，不是一元二次方程，故错误；未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，故错误；符合一元二次方程的条件，故正确；符合一元二次方程的条件，故正确；不是等式，不是方程，不是一元二次方程，故错误；有两个

9、未知数，不是一元二次方程，故错误；综上，是一元二次方程的只有故选：A【点睛】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意a0的条件判断是否是一元二次方程，应先化为一般形式再判断2. 两个相似五边形的一组对应边的长分别是，若它们的面积和是，则较大五边形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设较大多边形的面积为，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，建立方程求解即可.【详解】解：设较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为：（），两个相似多边形的一组对应边长分别为和，解得（）故选D【点睛】本题考查相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，据此建立方程是解题关

10、键.3. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）A. 32个B. 36个C. 40个D. 42个【答案】A【解析】【分析】可根据“黑球数量黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”【详解】设盒子里有白球x个，根据 得： 解得：x=32经检验得x=32是方程的解答：盒中大约有白球32个故选；A【点睛】此题主要考查

11、了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根4. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ）A. 测量四边形画框的两个角是否为B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等D. 测量四边形画框的四边是否相等【答案】B【解析】【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定【详解】A.测量四边形画框的两个角是否为，有三个角是直角的四边形是矩形，此测量方法不可行，不合题意；B.测量四边形画框的

12、对角线是否相等且互相平分，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，此测量方法可行，符合题意；C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，此测量方法不可行，不合题意；D.测量四边形画框的的四边是否相等，四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形，此测量方法不可行，不合题意故选：B【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理5. 若方程没有实数根，则的值可能是（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】先根据根的判别式的意义得到，再解不等式，然后利用的取值范围对各选项进行判断【详解】解：根据题意得，解得，

13、故选：C【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根6. 如图，若，则图中相似三角形有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，平行线的判定与性质进行判断即可【详解】解：，图中相似三角形共有4对，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定定理是解本题的关键7. 在一幅长，宽的景观区域的四周铺设一条观光小道，如图所示，如果要使观光小道的总面积是，设观光小道的宽为，那么满足的方程是（ ）A. B. C. D. 【

14、答案】C【解析】【分析】根据题意可知景观区和观光小道是一个长方形，其长为(60+2x)m，宽为(40+2x)m，根据总面积-景观区的面积=观光小道的面积列出方程即可【详解】根据题意，得，即故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，确定等量关系是解题的关键8. 如图，正方形的边长为10，为的中点，连接，过点作交于点，垂足为，连接、，下列结论：；其中正确结论有（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用三角形边角关系证明即可求解如图过点做的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，在构建的直角三角形中求解线段长度即可求解运用三角函数比较角度可求解【详解】解：四边形为正方形，正确由

15、勾股定理得在中，错误如图过点做的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为在中，由勾股定理得，,在中，正确过点作的垂线，垂足为有在中，正确过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为则为中点，且在中有，错误故选C【点睛】本题考查知识点较多，涉及三角形综合、三角函数、垂线的运用等，熟练掌握概念，构建边角关系即可求解二、填空题（每小题3分，共24分）9. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是_【答案】【解析】【详解】画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率=故答案为：10. 如图，则_ 【答案】#18厘米【解析】【分析】根

16、据题意，证明，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式，代入数据即可求解【详解】解：，解得故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键11. 某药品原价每盒100元，为了响应国家解决老百姓看病贵号召，经过连续两次降价，现在售价每盒64元，则该药品平均每次降价的百分率是 _【答案】20%【解析】【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的售价为，第二次降价后的售价为，据此列出方程求解即可【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意得，解得或（舍去），该药品平均每次降价的百分率是20%，故答案为：20%【点睛】本题主要考查了一元二次

17、方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键12. 如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为_【答案】5【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的边长【详解】解：四边形是菱形，菱形的边长为5故答案为：5【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积和周长的计算，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理13. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为_【答案】#【解析】【分析】根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可【详解】解：依题意，即

18、，解得（负值舍去），故答案为：【点睛】本题考查了黄金分割点，掌握解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义14. 不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _【答案】【解析】【分析】根据题意可列出树状图进行求解即可【详解】解：由题意得：有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种，两次都摸出白球概率是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键15. 九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与

19、标杆的水平距离，旗杆的高度为_m【答案】13.5【解析】【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，于是得到结论【详解】解：设与交于，即：，故答案为：13.5【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度16. 如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点D处，折痕为EF，则DD的长为 _【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质即可求得AD=CD=6；连接AC，根据勾股定理求得

20、AC=10，证得（AAS），根据全等的性质得：DF=BE，根据勾股定理列出关于线段BE的方程，解方程求得BE的长，即可求得，然后通过证，利用相似三角形的性质即可求得DD【详解】解：四边形ABCD是矩形，AB= CD=6，AD=CD，AD=6；连接AC，AB=6，BC=AD=8，ABC=90，由勾股定理得：，BAF=DAE=90，BAE=DAF，在BAE和DAF中，（ASA），DF=BE，AEB=AFD，AEC=DFD，由题意知：AE=EC；设BE=x，则AE=EC=8-x，在RtABE中，B=90，由勾股定理得：（8-x）2=62+x2，解得：，BE=，AE=8-=，则：，ADF=DAE=90

21、，故答案为【点睛】本题主要考查了矩形的翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、相似三角形的性质，勾股定理等几何知识点来解题三、作图题：（本题满分4分）17. 小强想利用一块三角形纸片裁剪一个菱形，要请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹求一个顶点为A，另外三个顶点分别在三角形的三边上，请你在原图上利用尺规作图把这个菱形作出来【答案】作图见解析【解析】【分析】先作的角平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交于点，连接，则四边形即为所求的菱形【详解】解：先作的平分线交边于点，再作线段的垂直平分线，分别交于点，连接，则四边形即为所求的菱形垂直平分，又，平分，又，

22、四边形是平行四边形，又，平行四边形是菱形故作图如下：如图所示，四边形即为所求的菱形【点睛】本题考查了作角平分线，作线段垂直平分线，菱形的性质与判定，掌握菱形的性质与判定是解题的关键四、解答题：（共68分）18. 解下列方程：（1）（配方法）；（2）；（3）；【答案】（1）， （2）， （3），【解析】【分析】（1）将方程常数项移到方程右边左右两边都加上6，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）移项提取公因式，然后用因式分解来求解；（3）将方程整理为一般形式，找出，及的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出

23、原方程的解【小问1详解】解：解得：，；【小问2详解】解：或，解得：，；【小问3详解】解：，则，【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，公式法以及因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解19. 已知，关于x的一元二次方程（1）若是该方程的一个根，求k的值及另一个根；（2）若该方程有两个实数根，求k的取值范围；【答案】（1），另一个根为 （2）且【解析】【分析】（1）将代入，然后解方程即可得到，再根据根与系数的关系求得另一个根；（2）根据根的判别式，可求得k的取值范围【小问1详解】解：将代

24、入得解方程得：故关于x的一元二次方程为：则方程的另一个根为故，另一个根【小问2详解】解：有两个实数根解之得：故k的取值范围是且【点睛】本题考查了一元二次方程的根、根与系数的关系、根的判别式，熟练掌握相关知识是解题关键20. 小明和小亮用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由【答案】公平，理由见解析【解析】【分析】把盘等分成三部份，使得被转到的可能性相等，根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小明和小亮获胜的概率，然后进行比较，即可得出答案【详解】解

25、：把盘等分成三部份，使得被转到的可能性相等，如下图：根据题意列表如下：盘和盘12563458956710115671011共有12种等可能的结果出现，其中两次数字之和为奇数的有6种，两次数字之和为偶数的有6种，则（小明获胜），（小亮获胜），这个游戏对双方公平【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平解题的关键是掌握知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21. 如图，在四边形中，点，分别是，的中点（1）求证： （2）求证：四边形是菱形（3）给三角形添加一个条件_，使得四边形是正方形，并证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）见解析 （

26、3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定解答即可；（2）证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，推出邻边相等即可证明；（3）当，有是的中点，由等腰三角形的性质，即，根据正方形的判定解答即可【小问1详解】证明：，；【小问2详解】证明：由（1），四边形是平行四边形，点，分别是，的中点，四边形平行四边形，点是的中点，平行四边形是菱形；【小问3详解】解：当时，四边形是正方形，理由：由（2）知四边形是菱形，点是的中点，即，菱形是正方形故答案为：.【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及正方形

27、的判定解答22. 如图，在中，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使（1）求证： （2）当点时，求的值；（3）当时，求BP的值【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）先根据等边对等角证明，再根据三角形外角的性质证明即可证明；（2）先求出的长，然后利用相似三角形的性质求解即可；（3）如图所示，过点A作于D，先利用三线合一定理求出，由勾股定理得：，再根据相似三角形的性质得到，证明，求出，由勾股定理得：，则；【小问1详解】解：，；【小问2详解】解：，即，；【小问3详解】解：如图所示，过点A作于D，在中，由勾股定理得：，即，由勾股定理得：，；【点睛】本题主

28、要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键23. 水果专柜张经理发现，如果以每千克2元的价格购进富士苹果若干，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，后通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是 千克（用含x的代数式表示）；（2）张经理现有资金500元，如果希望通过降价销售销售这种水果每天盈利300元，张经理需将每千克的售价降低多少元？【答案】（1） （2）张经理需将每千克的售价降低元【解析】【分析】（1）根据“现在的销售量

29、原来的销售量降价后每天多售出的销售量”，列出代数式，注意：每降0.2元，多售出40千克；（2）根据“（原售价进价降低的价格）销售量总利润”列出关于的方程，解方程即可完成解答，注意要根据“张经理现有资金500元”对的值进行取舍【小问1详解】解：若将这种富士苹果每斤的售价降低元，则每天的销售量是(千克)故答案为：；【小问2详解】解：根据题意得，整理得，解得或因为张经理现有资金500元，解得：，故张经理需将每千克的售价降低元答：张经理需将每千克的售价降低元【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系构建方程解决问题24. 定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，

30、那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”如图，在与中，且，所以称与为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为，连接，则称为“关联比” 下面是小颖探究“关联比”与之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题：（1）当与为“关联等腰三角形”，且时，在图1中，若点落在上，则“关联比”= ；在图2中，探究与的关系，并求出“关联比”的值（2）如图3，当与为“关联等腰三角形”，且时，“关联比”= ；（3）如图4，与为“关联等腰三角形”若，点为边上一点，且，点为上一动点，求点自点运动至点时，点所经过的路径长【答案】（1）；， （2） （3）【解析】【分析】（1）由可得与为等腰直角三角形，斜边， ，而，代入计算即求

31、得；由与为等腰直角三角形可得，减去公共角得，再加上两夹边成比例，证得，所以等于相似比；（2）过点作于点，由可得，所以得到的三边比，则，进而有，代入计算即求得=；（3）过点作于点，根据等腰直角三角形的条件求得的长，即求得点自点运动至点时的长连接，由（1）的证明过程可知，所以为一个定角，即点所经过的路径是线段根据“关联比”的值为，求得【小问1详解】解：当时，与为等腰直角三角形， ，故答案为：；当时，与为等腰直角三角形， ， ，“关联比”的值为【小问2详解】解：过点作于点，=， 同理可证：，即，故答案为：【小问3详解】解：过点作于点，连接，与为“关联等腰三角形”，与为等腰直角三角形，由（1）的证明过

32、程可知，为一个定角，点所经过的路径是线段，时，“关联比”的值为，当点自点运动至点时，点所经过的路径长为【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用解题关键是理解新定义并把性质进行运用，利用转化思想解决新问题25. 矩形中，为对角线，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒 （1）时，求运动时间t；（2）时，求运动时间t；（3）当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？（4）连接的面积能否达

33、到矩形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由【答案】（1） （2） （3）或 （4）【解析】【分析】（1）先求出，再证明，即，由此即可得到答案；（2）证明，得到，即，据此求解即可；（3）分当时， 当时，两种情况利用相似三角形的性质讨论求解即可；（4）先求出，再由，得到，解方程即可【小问1详解】解：由题意得，则，即，解得；【小问2详解】解：四边形是矩形，即，解得；【小问3详解】解：当时，则，如图3-1所示，E是的中点，又，解得或（舍去）；当时，则，解得（不合题意的值已舍去）；综上所述，当或时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似【小问4详解】解：由题意得，解得（不合题意的值已舍去）【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，一元二次方程与图形面积，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键