湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上期中联考数学试卷（含答案）

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1、湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1点关于轴的对称点的坐标为（）ABCD2若圆与圆相外切，则实数 （）ABCD3已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（）ABCD4已知空间向量，则在上的投影向量坐标是（）ABCD5已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A1BCD6如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（）ABCD7已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（）A若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B

2、若，三棱锥的体积不是定值C若，有且仅有一个点P，使得平面D若，则异面直线BP和所成角取值范围是8已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，则的周长是（）A19B14CD13二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（）A若，则曲线为椭圆B若曲线为双曲线，则或C曲线不可能是圆D若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则10在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右

3、手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；的模，(表示向量，的夹角)在正方体中，有以下四个结论，正确的有（）AB与共线CD与正方体表面积的数值相等11已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（）A椭圆的焦距为2B椭圆的短轴长为C的最小值为D过点的圆的切线斜率为12如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（）A三棱锥的四个面都是直角三角形B三棱锥的体积最大值为C异面直线与的距离是定值D当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为三、填

4、空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为经过点且方向向量为的直线方程为用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为_14若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_15已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为_16已知椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）设的外心为，则的值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-

5、2，3），C（0，-3），求：（）若BC的中点为D，求直线AD的方程；（）求ABC的面积18在锐角中，内角的对边分别为，且满足(1)求角C的大小；(2)若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.19如图，斜三棱柱的体积为，的面积为，平面平面，为线段上的动点（包括端点）(1)求到平面的距离；(2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围20已知圆的圆心在直线：上，且与直线：相切于点(1)求圆的方程；(2)过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程21如图，为圆柱的母线，是底面圆的直径，分别是，的中点，面(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面的夹角余弦值22已知直线与椭圆交于点A，B

6、，与x轴交于点C，与y轴交于点D.当直线l经过椭圆E的左顶点时，椭圆E两焦点到直线l的距离之比为.(1)求椭圆E的离心率；(2)若，求的值.参考答案1A【分析】根据空间中点关于坐标轴对称的知识点即可得到答案.【详解】空间中，点关于轴的对称点，纵坐标相同，横坐标与竖坐标相反，所以点关于轴的对称点的坐标为.故选：A2C【分析】由两圆外切圆心距等于半径之和求解即可【详解】的圆心，半径为2，的圆心，半径为1，因为两圆外切，所以，即，解得，故选：C3D【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由，得，该圆的半径为，因为点

7、在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，所以点的轨迹方程为，故选：D4B【分析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量，所以 则在上的投影向量坐标是： 故选：B5D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|8|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|8|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【详解】由0b2可知，焦点在x轴上，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|2a

8、+2a4a8|BF2|+|AF2|8|AB|当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|b2，则58b2，解得b，故选D【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题6C【分析】由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出.【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为，所以所以.故选：C.7D【分析】A：为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角为或其补角，求其余弦值；B：在（含端点）上移动，面积恒定，到面的距离恒定，即可判断；C：若分别是中点，在（含端点）上移动，证明

9、面，易知要使面，则必在面内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设，应用向量夹角的坐标表示求，进而判断夹角的范围.【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，连接，则，又且，即为平行四边形，所以，所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，故，错误；B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，错误；C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，由面，面，则面面，由，面面，面，所以面，面，则，同理可证：，由，、面，故面，而面面，要使面，则必在面内，显然面，故错误；D：由知：在（含端点）上移动，如下图建系，则，设，则，所以，令，当，即时，此时直线和所成角是；当，即

10、时，则，当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，正确.故选：D【点睛】关键点点睛：根据向量的线性关系判断的位置，结合异面直线夹角的定义、锥体体积公式、线面垂直的判定及向量夹角的坐标求法，证明或求解线面垂直、体积、异面直线夹角范围等.8D【分析】由离心率为，得到a，b，c之间的关系，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值.【详解】因为椭圆的离心率为，所以，如图，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，所以，直线的方程为：，设点D坐标，点E坐标，将直线方程与椭圆方程联立，得，则，所以，得，.由图，直线垂

11、直平分，所以的周长等于的周长，等于.故选：D.9BD【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A, 当时，此时曲线为圆，故A错，对于B,若曲线为双曲线，则，即或， 故B对，对于C, 若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，对于D, 曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.故选：BD.10ABD【分析】根据所给定义及正方体的性质一一计算可得.【详解】解：对于A，设正方体的棱长为，在正方体中，则，因为，且，所以，所以，所以，所以A正确；对于B，平面，平面，因为平面，所以，同理可证，再由右手系知，与同向，所以B正确；对于C，由，和构成右手系知，与方向相反，又由模的

12、定义知，所以，则，所以C错误；对于D，正方体棱长为，正方体表面积为，所以D对故选：ABD11AD【分析】根据椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等求得；将的最值转化为求椭圆上一点到定点,以及左焦点的最小值问题，数形结合求得，即可判断选项；再结合椭圆定义，以及圆的切线方程的求解，即可判断.【详解】根据题意，作出如下所示的图形，椭圆的长轴长与圆的直径长相等，设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可知，解得或，因为，故.椭圆的焦距为2，即正确；由，得椭圆的短轴长为，即错误；，即错误；设过点的圆的切线方程为，则，解得，即正确综上所述：正确的选项是：.故选：.12ACD【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证

13、明；对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；对于C，找到与和均垂直的即可判断；对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可.【详解】对于A，四边形为正方形，为直角三角形；为直径，为半圆弧上一动点，为直角三角形；平面平面，平面平面，平面，平面，平面，为直角三角形；平面，平面，又，平面，平面，平面，平面，为直角三角形；因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确；对于B，过点在平面内作于点，平面平面，平面平面，平面，平面，为三棱锥的高，三棱锥的体积的面积为定值，当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，三棱锥

14、体积的最大值为，故B错误；对于C，由A选项解析可知，又四边形为正方形，异面直线与的距离为线段的长，异面直线与的距离是定值，故C正确； 对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影，为直线与平面所成角，当直线与平面所成角最大时，取最小值，以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，则在直角三角形内，即， ，当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大，此时，三点均为四棱锥的顶点，平面截四棱锥外接球的截面为的外接圆面，直角三角形外接圆半径，截面面积，故D正确.故选：ACD.【点睛】易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置

15、时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断.13【分析】由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法可求得结果.【详解】由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量，即直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：.148【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，所以，由椭圆定义与勾股定理知：，可得所以四边形的面积为8.故答案为：815【分析】设动点的坐标，利用两点间距离公式，整理的表达式，则可得当取得最小值时，取得最小值，由定点

16、到圆上一点的距离最值，可得答案.【详解】设，当取得最小值时，取得最小值，由圆，则圆心，半径，易知，则.故答案为：.164【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立后由弦长公式得，再由几何关系得点坐标，得出后化简计算【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得设，则，的中点坐标为，是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为，令，得，即，故答案为：417（）x-3y+1=0（）10【分析】（）求出中点D的坐标，利用直线方程的两点式即可得解（）求出的长度，再求出直线的方程及点到直线的距离，问题得解【详解】解：（）B（-2，3），C（0，-3），D（-1，0）直线

17、AD的方程为，整理得：x-3y+1=0；（）B（-2，3），C（0，-3），|BC|=又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，ABC的面积为=10【点睛】本题主要考查了中点坐标公式及直线方程的两点式，考查了两点距离公式及点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题18(1)；(2).【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，进而即得；（2）设，利用正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.【详解】（1），由正弦定理可得,，整理可得：,即，即：,又因为锐角，所以，所以，即，又，所以；（2）由题意可知，设，所以，又，所以，在中

18、，由正弦定理可得，即，所以，所以，又，所以，所以，所以即面积的取值范围为.19(1)(2)【分析】（1）由等体积法求高即可；（2）先证明，计算出的长，从而得到的长，再由等面积法求得长的范围，最后代入几何关系求线面角的正弦值的取值范围.【详解】（1）所以即到平面的距离为.（2）如下图取的中点，连接，又平面平面平面则即为直线与平面所成的角，且于是有，平面又平面，在中由等面积法求得A到的距离为又.20(1)，(2)或.【分析】（1）由题意设圆心为，再根据题意列出关于的方程，解出，则可得圆心坐标，再求出半径，从而可求出圆的方程；（2）由可得圆心到直线的距离为1，然后分直线的斜率不存和存在两种情况求解即

19、可.【详解】（1）由题意设圆心为，半径为， 因为圆与直线：相切于点，所以，所以，化简得，解得，所以圆心为，半径,所以圆的方程为，（2）因为，所以，所以圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时满足条件，当直线的斜率存在时，设直线为，即，因为圆心到直线的距离为1，所以，解得，所以直线的方程为，即，综上，直线的方程为或.21(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先取中点，连接，易证平面平面，再根据面面平行的性质即可证明平面.（2）首先连接，易证面，从而得到，即，再以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.【详解】（1）取中点，连接，如图所示：因为分别为，的

20、中点，所以，又因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又因为，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）连接，如图所示：因为分别为的中点，所以，又因为为的中点，所以，所以，即四边形为平行四边形，即.因为面，所以面.又因为面，所以，即.以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量为，则，令得.则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.22(1)(2)【分析】（1）得到经过椭圆E的左顶点时，直线方程为，利用点到直线距离列出方程，求出3c=2a，进而计算出离心率；（2）根据3c=2a得到，直线l的方程为，设出椭圆E的方程为，联立后得到两根之和，两根之积，根据求出n=1，从而计算出.（1）当直线经过椭圆E的左顶点时，m=b，此时l的方程为.椭圆E的左焦点与右焦点到直线l的距离分别为，.由题意可得：，即，解得：3c=2a，椭圆E的离心率.（2）3c=2a，即，.直线l的方程为，.设椭圆E的方程为，.将代入并化简得，.，.，14n=14，即n=1，即.【点睛】直线与椭圆结合问题，通常要设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，本题中关键是设椭圆方程为，在联立时可以大大减少计算量.