2023年中考数学专题训练：二次函数与特殊的三角形（含答案解析）

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1、中考专题训练：二次函数与特殊的三角形1如图，已知与抛物线C1过 A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）.（1）求抛物线C1 的解析式（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 P，D 为第四象限内的一点，若CPD 为等腰直角三角形，求出 D 点坐标2在平面直角坐标系中，抛物线y=-（x-3）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点.（1）求点A，B，C的坐标；（2）判断ABC的形状，并说明理由；（3）若点P在抛物线上，且PBA=60，求点P的坐标.3已知一次函数yx+1与抛物线yx2+bx+c交A（m，9），B（0，1）两点，点C在抛物线上且横坐标为6（1）写出抛物线的函数表

2、达式；（2）判断ABC的形状，并证明你的结论；（3）平面内是否存在点Q在直线AB、BC、AC距离相等，如果存在，请直接写出所有符合条件的Q的坐标，如果不存在，说说你的理由4二次函数y=的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由5定义：在平面直

3、角坐标系xOy中，直线ya（xm）+k称为抛物线ya（xm）2+k的关联直线（1）求抛物线yx2+6x1的关联直线；（2）已知抛物线yax2+bx+c与它的关联直线y2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线ya（x1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC当ABC为直角三角形时，求a的值6如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx3交x轴于点A（3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求ADE面积的

4、最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由7如图，已知直线y=3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标8如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动（点P

5、异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状9如图，在平面直角坐标系中，ACB=90，OC=2OB，tanABC=2，点B的坐标为（1，0）抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE求点P的坐标；在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条

6、件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由10如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且.（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；（3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值.11如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).(I).求抛物线的解析式及它的对称轴；()点在线段OB上，点Q在线段BC上，若，且,求n的值；()在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.12如图，已知直线与抛物线相交于点和点两

7、点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.13抛物线yax2+bx3（a0）与直线ykx+c（k0）相交于A（1，0）、B（2，3）两点，且抛物线与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标14如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，

8、0），连接AC，BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒连接PQ（1）填空：b ，c ；（2）在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且AOM的面积与AOC的面积相等，求出点M的坐标15如图1，抛物线yax2+bx+2与x轴交于A（5，0）B（1，0）两点，与y轴交于C点，若点P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t（1t2），过点P作PQx轴于点Q作PMx轴交抛物线于另一点M，以PQ

9、，PM为邻边作矩形PQNM，矩形PQNM的周长为l（1）求抛物线的函数表达式；（2）求1与t的函数关系式，并求l的最大值；（3）当l12时连接对角线PN，在线段PN上取一点D（点D与点P，N不重合），连接DM，过点D作DEDM交x轴于点E的值为 ；是否存在点D使DEN是等腰三角形若存在请直接写出符合条件的点D的坐标；若不存在请说明理由16如图，已知二次函数yax2+x+c（a0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC（1）求出二次函数表达式；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求

10、此时点N的坐标；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标17如图1,二次函数y=ax2+bx-2 (a0)的图象与x轴交于A(-4, 0)、 B(1, 0)两点，与y轴交于点C(1)求这个二次函数的表达式：(2)点M在该抛物线的对称轴上，当ACM是直角三角形时，求点M的坐标；(3)如图2,点D在y轴上，且CD=OA,连接AD,点E、F分别是线段OA, AD上的动点，求EF+OF的最小值18如图，已知抛物线经过、两点，（1）求抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线（、为常数，且），直线（、为常数，且），若，则解决问题：若直

11、线与直线互相垂直，求的值；在抛物线上是否存在点，使得PAB是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与、重合），求点到直线 距离的最大值19如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+2的图象交x轴于点P，二次函数yx2+x+m的图象与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），且+17（1）求二次函数的解析式和该二次函数图象的顶点的坐标（2）若二次函数yx2+x+m的图象与一次函数yx+2的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧），在x轴上是否存在点M，使得MAB是以ABM为直角的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，

12、请说明理由20如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1（1）y = x2-2x-3，（2）D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 )【分析】（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入即可求出解析式;（2）根据题意作出图形，根据等腰直角三角

13、形的性质即可写出坐标.【解析】（1）设解析式为y=a(x-3)(x+1),把点C（0，-3）代入得-3=a（-3）1解得a=1，解析式为y= x2-2x-3，（2）如图所示，对称轴为x=1，过D1作D1Hx轴，CPD为等腰直角三角形，OPCHD1P，PH=OC=3，HD1=OP=1，D1（4，-1）过点D2Fy轴，同理OPCFCD2,FD2=3，CF=1，故D2（3，- 4）由图可知CD1与PD2交于D3,此时PD3CD3，且PD3=CD3，PC=，PD3=CD3=故D3 ( 2，- 2 ) D1(4，-1)，D2(3，- 4)，D3 ( 2，- 2 ) 使CPD 为等腰直角三角形.【点评】此

14、题主要考察二次函数与等腰直角三角形结合的题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质及等腰直角三角形的性质.2（1）A（-1,0），B（3,0），C（0，）;(2)见解析;(3) （2， ）或C（-4，-7）.【分析】（1）抛物线与x轴相交，则y=0；与y轴相交，则x=0，计算结果即可（2）根据三个点的坐标画图即可观察得到（3）点P在抛物线上，且PBA=60，画图求解即可.【解析】抛物线与x轴相交，则y=0；与y轴相交，则x=0，A（-1,0），B（3,0），C（0，）.（2）根据三点坐标，画图可知，ABC是直角三角形（3）设P（m，=- （m-3），过点P作PHx轴于点H，PBA=60，PH=B

15、H, - （m-3）=(3-m)或 （m-3）=(3-m)，解之，得m=2，或-4，点P 的坐标为（2， ）或（-4，-7）【点评】此题重点考察学生对二次函数的理解，掌握二次函数的性质和解法是解题的关键.3（1）yx27x+1；（2）ABC为直角三角形理由见解析；（3）符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，7），（0，13）【分析】（1）先利用一次函数解析式得到A（8，9），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先利用抛物线解析式确定C（6，5），作AMy轴于M，CNy轴于N，如图，证明ABM和BNC都是等腰直角三角形得到MBA45，NBC45，AB8 ，BN6，从而得到ABC

16、90，所以ABC为直角三角形；（3）利用勾股定理计算出AC10 ，根据直角三角形内切圆半径的计算公式得到RtABC的内切圆的半径2 ，设ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，则AI、BI为角平分线，BIy轴，PQ为ABC的外角平分线，易得y轴为ABC的外角平分线，根据角平分线的性质可判断点P、I、Q、G到直线AB、BC、AC距离相等，由于BI24，则I（4，1），接着利用待定系数法求出直线AI的解析式为y2x7，直线AP的解析式为yx+13，然后分别求出P、Q、G的坐标即可【解析】解：（1）把A（m，9）代入yx+1得m+19，解得m8，则A（8，

17、9），把A（8，9），B（0，1）代入yx2+bx+c得，解得，抛物线解析式为yx27x+1；故答案为yx27x+1；（2）ABC为直角三角形理由如下：当x6时，yx27x+13642+15，则C（6，5），作AMy轴于M，CNy轴于N，如图，B（0，1），A（8，9），C（6，5），BMAM8，BNCN6，ABM和BNC都是等腰直角三角形，MBA45，NBC45，AB8，BN6，ABC90，ABC为直角三角形；（3）AB8，BN6，AC10，RtABC的内切圆的半径，设ABC的内心为I，过A作AI的垂线交直线BI于P，交y轴于Q，AI交y轴于G，如图，I为ABC的内心，AI、BI为角平分线，

18、BIy轴，而AIPQ，PQ为ABC的外角平分线，易得y轴为ABC的外角平分线，点I、P、Q、G为ABC的内角平分线或外角平分线的交点，它们到直线AB、BC、AC距离相等，BI24，而BIy轴，I（4，1），设直线AI的解析式为ykx+n，则，解得，直线AI的解析式为y2x7，当x0时，y2x77，则G（0，7）；设直线AP的解析式为yx+p，把A（8，9）代入得4+n9，解得n13，直线AP的解析式为yx+13，当y1时，x+131，则P（24，1）当x0时，yx+1313，则Q（0，13），综上所述，符合条件的Q的坐标为（4，1），（24，1），（0，7），（0，13）【点评】本题考查了二次

19、函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、角平分线的性质和三角形内心的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键4（1）m=2，A（3，0），B（1，0）；（2）P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在，见解析.【分析】（1）利用二次函数的定义求出m的知，再令y=0即可得出点A，B坐标；（2）设PA=t（-3t0），则OP=3-t，如图1，证明DAPPOE，利用相似比得到OE=- ，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）讨论：当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，证明DAPPOE得到PO=AD=4，则PA=1，OE=1，再利用平行线分线段成比例定理计算

20、出AG= ，则计算SDAG即可得到此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得DAPPOE，则PO=AD=4，PA=7，OE=7，再利用平行线分线段成比例定理计算出OG和BQ，然后计算S四边形DGBQ得到此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积当点P和点A重合时，点E和和点O重合，此时，PED不是等腰三角形【解析】（1）二次函数y=（m1）6x+9，m2+m=2且m10，m=2，二次函数解析式为y=3x26x+9，令y=0，0=3x26x+9，x=1或x=3，A（3，0），B（1，0）；（2）设PA=t（3t0），则OP=

21、3t，DPPE，DPA=PEO，DAPPOE，即，OE=t2+t=（t）2+，当t=时，OE有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在当点P在y轴左侧时，如图1，DE交AB于G点，PD=PE，DPE=90，DAPPOE，PO=AD=4，PA=1，OE=1，ADOE，=4，AG=，SDAG=4=，P点坐标为（4，0），此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；当P点在y轴右侧时，如图2，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得DAPPOE，PO=AD=4，PA=7，OE=7，ADOE，OG=，同理可得BQ=，S四边形DGBQ=（+1）4+4=当点P的坐标为（4，0）时，此时P

22、ED与正方形ABCD重叠部分的面积为当点P和点A重合，此时，点E和点O重合，DPOP，此时，PDE不是等腰三角形【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会利用全等和相似的知识解决线段之间的关系和进行几何计算；理解坐标与图形性质；会运用分类的思想解决数学问题5（1）yx+310x7；（2）y2x2+3或y2（x+1）2+1；（3）a=1或a=.【分析】（1）先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据关联直线的定义即可得出答案；（2）由题意可得a=2，c=3，设抛物线的顶点式为y=2（x-m）2+k，可得，可

23、求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a），B（2，3a），C（-1，0），可求AB2=1+a2，BC2=9+9a2，AC2=4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值【解析】解：（1）yx2+6x1（x+3）210，关联直线为yx+310x7；（2）抛物线yax2+bx+c与它的关联直线y2x+3都经过y轴上同一点，a2，c3，可设抛物线的顶点式为y2（xm）2+k，则其关联直线为y2（xm）+k2x2m+k，解得或，抛物线解析式为y2x2+3或y2（x+1）2+1；（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（1，0），AB21+a2，

24、BC29+9a2，AC24+16a2，显然AB2BC2 且AB2AC2，故AB不能成为ABC的斜边，当AB2+BC2AC2时：1+a2+9+9a24+16a2解得a1，当AB2+AC2BC2时：1+a2+4+16a29+9a2解得a=，抛物线的顶点在第一象限，a0，即a=1或a=.【点评】本题是二次函数综合题，考查了直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用6(1) 二次函数解析式为yx2+2x3；(2) ADE的面积取得最大值为；（3）点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，4

25、） 【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求出直线的解析式为，作轴，延长交于点，设，则，根据可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线，据此设，由，知，再分，及三种情况分别求解可得.【解析】解：（1）二次函数yax2+bx3经过点A（3，0）、B（1，0），解得：，二次函数解析式为yx2+2x3；（2）设直线AE的解析式为ykx+b，过点A（3，0），E（0，1），解得：，直线AE解析式为，如图，过点D作DGx轴于点G，延长DG交AE于点F，设D（m，m2+2m3），则F（），DFm22m+3+m+1m2m+4，SADESADF+SDEFDF

26、AG+DFOGDF（AG+OG）3DF（m2m+4）m2m+6（m+）2+，当m时，ADE的面积取得最大值为（3）yx2+2x3（x+1）24，抛物线对称轴为直线x1，设P（1，n），A（3，0），E（0，1），AP2（1+3）2+（n0）24+n2，AE2（0+3）2+（10）210，PE2（0+1）2+（1n）2（n1）2+1，若APAE，则AP2AE2，即4+n210，解得n，点P（1，）或（1，）；若APPE，则AP2PE2，即4+n2（n1）2+1，解得n1，P（1，1）；若AEPE，则AE2PE2，即10（n1）2+1，解得n2或n4，P（1，2）或（1，4）；综上，点P的坐标为（

27、1，）或（1，）或（1，1）或（1，2）或（1，4）【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知识点.7（1）抛物线解析式为：y=x2+2x3；（2）6；（3）存在M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，1）【分析】（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的

28、坐标为（1，m），分三种情况讨论，AM=AB，BM=AB，AM=BM，求出m的值后即可得出答案【解析】解：（1）直线y=3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，可得A（1，0），B（0，3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：抛物线解析式为：y=x2+2x3（2）令y=0得：0=x2+2x3，解得：x1=1，x2=3C点坐标为：（3，0），AC=4，SABC=ACOB=43=6（3）存在易得抛物线的对称轴为：x=1，假设存在M（1，m）满足题意，根据勾股定理，得分三种情况讨论：当AM=AB时，解得：M1（1，），M2（1，）当BM=AB时，解得：M3=0，M4=6M3（1，0

29、），M4（1，6）（不合题意舍去）当AM=BM时，解得：m=1M5（1，1）综上所述，共存在四个点使ABM为等腰三角形，坐标为M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，1）8（1）y=x2（2）证明见解析（2，3）、（2，3）直角三角形【解析】解：（1）抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对称E是AB的中点，O是矩形ABCD对角线的交点又B（2，1），A（2，1）、D（2，1）抛物线的顶点为（0，0），可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=1，a=抛物线的解析式为：y=x2（2）证明：由抛物线的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），则：PF=PR=，

30、PF=PRRF=，若PFR为等边三角形，则由得RF=PF=PR，得：=，即：a48a248=0，得：a2=4（舍去），a2=12a=2，a2=3存在符合条件的P点，坐标为（2，3）、（2，3）同可证得：QF=QS在等腰SQF中，1=（180SQF）同理，在等腰RPF中，2=（180RPF）QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=1801+2=（360SQFRPF）=90SFR=18012=90，即SFR是直角三角形（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式（2）首先根据抛物线的解

31、析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证首先表示RF的长，若PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可根据的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180减去这个和值即可判断出RSF的形状9（1）y=x23x+4；（2）P（1，6），存在，M（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【分析】（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PDx轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2

32、x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标【解析】解：（1）B（1，0），OB=1，OC=2OB=2，C（2，0），RtABC中，tanABC=2， ， AC=6，A（2，6），把A（2，6）和B（1，0）代入y=x2+bx+c得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x23x+4；（2）A（2，6），B（1，0），AB的解析式为：y=2x+2，设P（x，x23x+4），则E（x，2x+2），PE=DE，x23x+4（2x+2）=（2x+2），

33、x=-1或1（舍）， P（1，6）；M在直线PD上，且P（1，6），设M（1，y），B（1，0），A（2，6）AM2=（1+2）2+（y6）2=1+（y6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2， AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当AMB=90时，有AM2+BM2=AB2，1+（y6）2+4+y2=45，解得：y=3，M（1，3+）或（1，3）；ii）当ABM=90时，有AB2+BM2=AM2，45+4+y2=1+（y6）2，y=1，M（1，1），iii）当BAM=90时，有AM2+AB2=BM2，1+（y6）2+45=4+y2，y=，M（1，）；综上所述，点M的坐标为：M

34、（1，3+）或（1，3）或（1，1）或（1，）【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用10（1），顶点的坐标为；（2）为直角三角形，理由见解析；（3）【分析】（1）把点代入解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；（2）当时，即.，求出，根据勾股定理求出AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）作出点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小，求出直线的解析式即可求解.【解析】解：（1）点在抛物线上，解得抛物线的解

35、析式为，又顶点的坐标为.（2）为，理由如下：当时，.当时，.，.是直角三角形.（3）作出点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小，设直线的解析式为，则，解得，.当时，【点评】属于二次函数综合题，考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，轴对称-最短路线问题，综合性比较强.11()；对称轴为直线；()；()点M的坐标为，【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式即可，根据x=-得出对称轴即可；（）把C（m，4）代入解析式求出m的值，可得C点坐标，过C作轴，垂足为E，连接AB根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，根据勾股定理逆定理

36、可得BCA=90，利用HL可证明，即可得出OP=CQ，根据OP=2BQ列方程求出n的值即可；（）分别讨论AB=AM、BM=BA、MA=MB三种情况，设点M的坐标为，利用勾股定理列方程求出t的值即可.【解析】（）抛物线经过原点O，抛物线解析式为抛物线与x轴交于点(5，0)，解得抛物线解析式为，抛物线的对称轴为直线 （）点C在抛物线上，解得(舍)，点C坐标为(8，4)过C作轴，垂足为E，连接AB在中，同理，可求得， 在和中，解得（）抛物线的对称轴为，设点M的坐标为当，为顶角时，解得当，为顶角时，解得 当，为顶角时，解得此时点为AB的中点，与点A，B不构成三角形 综上可得，点M的坐标为，【点评】本题

37、考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式、二次函数的几何应用，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.12（1）所求抛物线的函数表达式为；（2）的面积有最大值是，此时点坐标为；（3）存在点坐标为或或或.【分析】（1）先根据点B在直线y=x+1求出其坐标，再将A，B坐标代入抛物线解析式求解可得；（2）作PMx轴于点M，交AB于点N，设点P的坐标为（m，-m2+2m+3），点N的坐标为（m，m+1），依据SPAB=SPAN+SPBN列出函数解析式，利用二次函数的性质求解可得；（3）设点Q坐标为（n，0），结合各点坐标得出QA2=（-1-n）2，QB2=（2-n）2+9，AB2=18，再根据等腰三角

38、形的定义分三种情况分别求解可得【解析】解（1）点在直线上，点坐标为，点和点在抛物线上，解得，所求抛物线的函数表达式为；（2）过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点是位于直线上方， .的面积 ,抛物线开口向下，又，当时，的面积有最大值，最大值是.此时点坐标为；（3）存在点坐标为或或或.【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的定义等知识点13（1）yx22x3;（2）C（0，3）,D（0，1）;（3）P（1+，2）.【分析】（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可

39、得抛物线解析式（2）当x0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x0可求D点坐标（3）由题意可知P点纵坐标为2，代入抛物线解析式可求P点横坐标【解析】解：（1）把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入yax2+bx3可得 解得 yx22x3（2）把x0代入yx22x3中可得y3C（0，3）设ykx+b，把A（1，0）、B（2，3）两点坐标代入解得 yx1D（0，1）（3）由C（0，3），D（0，1）可知CD的垂直平分线经过（0，2）P点纵坐标为2，x22x32解得：x1，x0x1+P（1+，2）【点评】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x0代入二次函数解析式和一次函数解析

40、式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标14（1），4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当APQ是直角三角形时，则APQ90，从而得出AOCAPQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，m2+m+4），再根据AOM的面积与AOC的面积相等，从而得出m2+m+4=，解方程即可【解析

41、】解：（1）设抛物线的解析式为ya（x+3）（x4）将a代入得：yx2+x+4，b，c4（2）在点P、Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形理由如下：在点P、Q运动过程中，PAQ、PQA始终为锐角，当APQ是直角三角形时，则APQ90将x0代入抛物线的解析式得：y4，C（0，4）点A的坐标为（3，0），在RtAOC中，依据勾股定理得：AC5，APOQt，AQ=3+t，OACPAQ，APQAOCAOCAPQAP:AO=AQ:AC=t=4.5由题意可知：0t4，t4.5不合题意，即APQ不可能是直角三角形(3 )设点M的坐标为（m，m2+m+4）AOM的面积与AOC的面积相等，且底都为AO，C（0

42、，4） m2+m+4=当m2+m+4=-4时，解得：m=或,当m2+m+4=4时，解得：m=1或0当m=0时，与C重合，m=或或1 M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键15（1）；（2），最大值；（3），存在，D.【分析】（1）将A（5，0）B（1，0）代入yax2+bx+2，即可求解；（2）利用对称性可知点P与点M关于对称轴x2对称，所以PM42t， 结合矩形周长公式即可求解；（3）当l12时P点与C点重合，Q点与O点重合，点M，N，E，D四点共圆，可知DEMMNC，利用正切值 即可求解；DEN在D的运动过程中始终是钝角，只有当EDEN时，DEN是等腰三角形，证明DEMNEM（HL），求出点E（3，0），直线CN的解析式为 ，设D利用DE1得出方程求解；【解析】解：（