2023年中考数学专题训练：二次函数与面积问题（含答案解析）

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1、中考专题训练：二次函数与面积问题1如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的右侧），且与直线yx2交于A、C两点，已知B点的坐标为（6，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E是线段AC上一点，且满足，若点P为直线AC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t，当t为何值时，PEA的面积最大；过点E向x轴作垂线，交x轴于点F，在抛物线上是否存在一点N，使得NACFEB，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，直线yx+1与抛物线yax2+bx3交于A、B点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A，B重合）过点P作x轴的垂线交

2、直线AB于点C作PDAB于点D（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连接PB，线段PC把PDB分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3，求出m的值3如图，抛物线：交轴正半轴于点，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，与交于点，直线交于点（1）抛物线的解析式为_；求点，的坐标（2）是抛物线间的点，作轴交抛物线于点，连接，设点的横坐标为，当为何值时，使的面积最大？并求出最大值4如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA2，OC6，连接AC和BC（1）求抛物线的解析式；（2）点

3、E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE求BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由5抛物线经过点，直线过点，点是抛物线上点，间的动点（不含端点，），过作轴于点，连接，（1）求抛物线与直线的解析式：（2）求证：为定值；（3）若的面积为1，求满足条件的点的坐标6如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接（1）求抛物线的解析式；（2）是线段上一点，射线交抛物线于点连接，若，求点的坐标；抛物线的顶点为，当有最小值时，将沿轴正方向平移个单位长度（）得到，设与

4、重叠部分的面积记为，请直接写出与的函数关系式7如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与抛物线相交于点，交轴于点，交直线于点（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，在轴右侧的抛物线上存在一点，使的面积相等，直接写出点的坐标8如图，抛物线经过，三点，点为顶点，直线为对称轴，点在轴上（1）求抛物线的解析式（2）在直线上求一点，使点到直线的距离等于到轴的距离；（3）在对称轴左侧，抛物线上存在一点（不与重合）使，求点的坐标9如图，已知抛物线与直线相交于点和点（1）求该抛物线的解析式；（2）设为直线上方的抛物

5、线上一点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（），平移后的抛物线与原抛物线相交于点，是否存在点使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由10如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为，顶点为，连接 （1）求该抛物线的表达式；（2）点为该抛物线上一动点（与点、不重合），设点的横坐标为点从点出发在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为秒，求运动时间为多少时，的面积最大，并求出最大面积；该抛物线上是否存在点，使得？若

6、存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由11如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点抛物线经过点A，且C点是该抛物线的顶点（1）求点C的横坐标；（2）该抛物线经过线段AB上的另点D（点D不与C重合），直线CD交y轴于点E，分别求点D的坐标（用含a的代数式表示）和点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，是否存在恰当的a值，使得和的面积之间满足其中一个是另一个的4倍?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由12已知二次函数ya-2xc图像与x轴交于A、C两点，点C(3，0)，与y轴交于点B（0，-3）（1）a ，c ；（2）如图，P是x轴上一动点，点D（0，2）在y轴上，连接PD，

7、求PD+PC的最小值；（3）如图，点M在抛物线上，若3，求点M的坐标13如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于原点O和点A(6，0)，抛物线的顶点为B（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，同时有一动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值（3）在（2）的条件下，当t为何值时，OPM是直角三角形？14如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，抛物线的

8、对称轴与x轴交于点D，与直线交于点N，顶点为C（1）求抛物线的解析式；（2）点M在线段上运动，过点M作线段平行于y轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作于点G若设，试用含t的式子表示的长度；当四边形周长取得最大值时，求的面积15如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：yx+2与x轴交于点D动点M在抛物线上运动，过点M作MPx轴，垂足为P，交直线CD于点N（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x

9、轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标16已知抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求b，c的值；（2）直线l与x轴相交于点P如图1，若ly轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当PCQCAP时，求点P的坐标17已知抛物线y=mx2-2mx+3(m0，SBCESOCE+SOBESOBC6m+3（m2+m+6）36，根据二次函数的图象及性质可知，当时

10、，BCE的面积有最大值，此时点E的坐标为（3）存在；点N坐标为，（2，0），A（2，0），C（0，6），AC若AC为菱形的边长，如图2，则MNAC，且MNACN1()，N2()，N3(2，0)若AC为菱形的对角线，如图3，则AN4CM4，AN4CN4，设N4（2，n），则n，解得：nN4（2，）综上所述，点N坐标为，（2，0），【点评】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，面积的最值，菱形的存在性问题，求三角形面积的最值，关键是运用割补的方法，对于菱形存在性问题，注意分类讨论5（1）；（2）证明见解析；（3）满足条件的点有，【分析】（1）将A（4，0），B（0，-4）

11、的坐标代入y=ax2+b，利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E（4，-1），C（0，-3）的坐标代入y=mx+n可得问题的答案；（2）设点，如图，过点P作PFy轴于点F，从而得PF、PD、PC、FC的长度，从而得到答案；（3）方法一：设与的交点为，设，当点G在点P上方时，根据三角形面积公式可得答案；当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，交于点，根据勾股定理及面积法即可求出，易证即可求出；得出过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条：或，再分别与抛物线联立求解即可【解析】解：（1）将，的坐标代入得，抛物线的解析式为设直线为，将点，的坐标代入得，

12、直线的解析式是；（2）证明：设点，如图，过点作轴于点，则，所以为定值； （3）解：方法一：设与的交点为，设如图，当点在点上方时，解得，（负根舍去），即， 如图，当点在点下方时，解得：，（负根舍去），即，综上所述，满足条件的点有， 方法二：如图，分别过点，作，轴，垂是为，交于点，在中，即，即，解得，过点与直线平行，且与直线距离为的直线有两条：或，依题意得解得：（负根舍去），解得，（负根舍去），综上所述，满足条件的点有， 【点评】此题考查了二次函数综合，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、相似三角形的判定与性质是解决此题关键6（1）；（2）；【分析】（1）把点的坐标代入解析式，构造方程组求解

13、即可；（2）根据，得到PC=PB，过点P作x轴的垂线，可确定点P的坐标，继而确定直线AP的解析式，解由直线AP的解析式和二次函数的解析式组成的方程组即可得解；先确定取得最小值的P的坐标为（1，2），后根据平移的规律，结合图形面积的变化规律计算求解即可【解析】（1）抛物线经过和两点，解得：抛物线的解析式为（2），即：，过点作轴，交轴于点，解得：同理：，即设的解析式是，解得：联立得：，解得：，（舍）（3）如图1，C（0，3），B（3，0），OB=OC，OBC=45，过点P作PQx轴,垂足为 Q,则PQ=PBsin45=PB，DP+PB的最小值即为DP+PQ的最小值，根据垂线段最短，当DQx轴时,

14、DP+PQ最小，此时D,P,Q三点一线，C（0，3），B（3，0），设直线BC的解析式为y=nx+3，3n+3=0，n= -1，直线BC的解析式为y= -x+3，D（1，4），P（1，2），设直线AD的解析式为y=hx+p，解得：y=2x+2，设直线AP的解析式为y=qx+f，解得：y=x+1，如图1，当0t1时，A（-1，0）, （-1+t，0）AD，直线AD的解析式为y=2x+2，设的解析式为y=2x+g，0=-2+2t+g，g=2-2t，的解析式为y=2x+2-2t，设直线交y轴于点E，交直线BC于点M，则E（0，2-2t）,CE=3-2+2t=2t+1,根据题意，得，M（，），=CE=

15、；A（-1，0）, （-1+t，0）AP，直线AP的解析式为y=x+1，设的解析式为y=x+w，0=-1+t+w，w=1-t，的解析式为y=x+1-t，设直线交y轴于点G，交直线BC于点N，则G（0，1-t）,OG=1-t,O=1-t, B=4-t,= OGO=；根据题意，得，N（，），=B=，故重叠部分的面积为：-（-）=-+=；如图2，当1t4时，A（-1，0）, （-1+t，0）AD，直线AD的解析式为y=2x+2，的解析式为y=2x+2-2t，设直线交直线BC于点F，根据题意，得，F（，），=B=，A（-1，0）, （-1+t，0）AP，直线AP的解析式为y=x+1，的解析式为y=x+

16、1-t，设直线交直线BC于点R，根据题意，得，R（，），=B=，故重叠部分的面积为：-=-=；【点评】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，图像的交点坐标，一元二次方程的解法，图像的平移，线段和的最值，图形的面积，熟练掌握方程组的求解，一元二次方程的解法，图形面积的分割求解是解题的关键7（1）；（2）存在，或；（3），【分析】（1）运用待定系数法将A（3，0），B（-1，0）代入y=ax2+bx+3，解方程组即可；（2）分两种情况：当射线EP在CE的右侧时，当射线EP在CE的左侧时，设OM=m，则CM=EM=3-m，运用勾股定理求得m，再求出直线EM的解析式，联立直线EM的解析式和抛物线解

17、析式求解即可；（3）分两种情况：当点Q在x轴上方时，当点Q在x轴下方时，连接CQ交x轴于点N，过点A作AMCQ于点M，过点B作BPCQ于点P，根据SQBC=2SQAC，可得BP=2AM，证明NAMNBP，运用相似三角形性质可得点N的坐标，再求得直线CN的解析式，联立直线CN的解析式和抛物线解析式即可求得点Q的坐标【解析】解：（1）抛物线经过点，两点，解得抛物线的解析式为：（2）抛物线交轴于点，经过点当射线在的右侧时，是对称轴轴 点与点重合，又D（1，4），即；当射线在在的左侧时，设，则在中，直线的解析式为（舍）；点的坐标或综上，点P的坐标为：或；（3）当点Q1在x轴上方时，如图2，延长CQ1交

18、x轴于点N，过点A作AMCQ1于点M，过点B作BPCQ1于点P， ，CQ1BP=2CQ1AM，BP=2AM，AMCQ1，BPCQ1，AMBP，NAMNBP，NA=AB=4，N（7，0），设直线CN的解析式为y=kx+c，把C（0，3），N（7，0）代入，得：，解得：，直线CN的解析式为y=x+3，x+3=-x2+2x+3，解得：x1=0（舍去），x2=，当x=时，y=+3=，Q1（，），当点Q2在x轴下方时，如图3，连接CQ2交x轴于点N，过点A作AMCQ2于点M，过点B作BPCQ2于点P， ，CQ2BP=2CQ2AM，BP=2AM，AMCQ2，BPCQ2，AMBP，NAMNBP，NA=NB，

19、NA+NB=4，NA=，N（，0），直线CN的解析式为y=x+3，x+3=-x2+2x+3，解得：x=0（舍去）或x=，当x=时，y=+3=，Q2（，）；综上所述，【点评】本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程和二元一次方程组，三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质及相似三角形的判定和性质等相关知识，并灵活运用数形结合思想、方程思想及分类讨论思想是解题关键8（1）；（2）P点坐标为或；（3）M点坐标为或【分析】（1）待定系数法求函数解析式；（2）分点P位于E点下方和上方两种情况，过点P作PHBD，连接BP，利

20、用三角形面积法及勾股定理列方程求解；（3）根据三角形面积公式求得，然后利用平行线分线段成比例定理求得N点坐标，从而确定直线CN的解析式，然后求直线与抛物线的交点坐标，从而求解，注意分类讨论【解析】解：（1）将，代入解析式，得：，解得：抛物线的解析式为（2）如图1，过点P作PHBD，连接BP，由题意可知PE=PH抛物线顶点D的坐标为（-1，-4），E点坐标为（-1，0）DE=4，BE=2，在RtBDE中，当点P在E点下方，设PE=PH=a，则PD=4-a，解得：P点坐标为当点P在E点上方，设PE=PH=b，则PD=4+b，解得：P点坐标为综上，P点坐标为或（3）如图2，延长CM交x轴于点N，过点

21、A作AHCN，过点B作BQCN，又AHCN，BQCNAHBQ，即A为BN的中点AN=AB=4，则N点坐标为（-7，0）设直线CN的解析式为，将C，N两点代入可得，解得直线CN的解析式为由此可得，解得：，M点坐标为如图3，同理AHBQ，此时BN+AN=AB=4，则，即N点坐标为设直线CN的解析式为，将C，N两点代入可得，解得直线CN的解析式为由此可得，解得：，M点坐标为综上，M点坐标为或【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例定理，一次函数、图形的面积计算等，掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键9（1）y=-x2+4x+1；（2）（，）；（3）（4，3），（-2，5）或（

22、3，0），（-3，2）【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PAB面积，即可求解（3）求出两抛物线的交点D的坐标，分两种情况讨论：当点D为直角顶点时，当点A为直角顶点时，分别求解即可【解析】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得：抛物线的表达式为：y=-x2+4x+1；（2）设直线AB的表达式为：y=kx+t，将点A、B的坐标代入解得故直线AB的表达式为：y=x+1，过点C作y轴的平行线交AB于点H，设点C（x，-x2+4x+1），则H（x，x+1），PAB面积S有最大值，当时，S的最大值为此时点C坐标为（，）；（3）抛物线的表达式为：y=-x2+4x+1

23、=-（x-2）2+5，则平移后的抛物线表达式为：y=-x2+5，联立上述两抛物线的解析式并解得：故点D（1，4）；当点D为直角顶点时，是以为腰的等腰直角三角形HDE+IDA=90，AD=ED过点D作x轴的平行线，过点E作EHDH，则DHEDIA=90，HDE+DHE=90，IDA=DHE，ID=HE=1，AI=DH=3，点E坐标为（4，3）或（-2，5）；当点A为直角顶点时，同理可证，OF=AI=3，点E坐标为（3，0），（-3，2）；【点评】本题考查了二次函数的图象及性质，直角三角形的存在性等，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，图象的交点坐标的求法等10（1）；（2）时，；存在，点的坐

24、标为或【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求出结果；（2）首先求出点C的坐标，然后求出BC的解析式，求出GCO=45，然后用t表示HM和NC，表示出NMC的面积即可求出结果；分两种情况讨论：第一种点P在直线BC下方，第二种点P在直线BC上方，然后求出BC中点坐标，进而求出BC的垂直平分线解析式，垂直平分线解析式与抛物线的交点即为点P【解析】解：（1）抛物线经过，两点，解得抛物线的表达式为：；（2）过点M作MHOA于点H，BC与y轴交于点G， 抛物线的表达式为：,令，则 C(-1,0)，OC=1，设直线BC的解析式为y=kx+n，将点B(-4，-3)，C(-1，0)代入得

25、解得，的解析式为： G(0，1)，OG=OC=1，HCM=GCO=45，CM=2t，HM=CMsin45=t，NC=AC-AN=4-t，SNMC=NCHM=(4-t)t=,a=0，当时，MNC的面积的最大值为2，如图，设直线与交于点，当点在直线下方时，点在的中垂线上，线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为，设中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：直线中垂线的表达式为：，同理直线的表达式为：，联立并解得：，即点，同理可得直线的表达式为：，联立并解得：或（舍去），故点；当点在直线上方时，则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，即直线的表达式为：，联立并解得：或（舍去），故点；综上所述，

26、点的坐标为或【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，解二元一次方程组，解直角三角形等知识分类讨论是解题的关键11（1）点C的横坐标为5；（2）E(0，5)；D(-，+10)（3）存在；a1=-【分析】（1）由题意可知，得出A，B的坐标，根据抛物线经过点A，抛物线经过点（0，0）得到A点与原点关于对称轴对称，进而求得点C的横坐标（2）D点即在AB上，又在抛物线上，求出D，C坐标，设直线CD的解析式：y=kx+m，求出直线CD的解析式为：y=(-1-5a)x+5，进而得到E，D的坐标(3)过点D作x轴得平行线交OC于H点，直线OC的解析式为：y=-5ax，设H点的坐标为：（n，+

27、10）求出n的值，得到H的坐标，用含有a的式子表示HD，SOCD，SACD根据题意：SACD=4SOCD，得到方程(-25a-5)( +10)=，得到0 ，得到此一元二次方程有两个不相等的实数根，所以存在恰当的a值，使得和的面积之间满足其中一个是另一个的4倍，解出a1，a2即可【解析】（1）由题意可知，A(10，0)，B(0，10)抛物线经过点A，y=ax(x-10)，又抛物线经过点（0，0）A点与原点关于对称轴对称，C为抛物线的顶点，点C的横坐标为5（2）D点即在AB上，又在抛物线上，-x+10=ax(x-10)x=-，x=10(舍) D(-，+10)，C(5，-25a)设直线CD的解析式：

28、y=kx+m， 由-得k=-1-5a，将k代入得，m=5，直线CD的解析式为：y=(-1-5a)x+5，E(0，5)，D(-，+10)(3)过点D作x轴得平行线交OC于H点，直线OC的解析式为：y=-5ax，设H点的坐标为：（n，+10）+10=-5an，n=，H（，+10）HD=()-(-)= SOCD=，SACD= SDCF+ SFCA- SFAD=CFDM+ FCFA-FMFA =(-25a)( +5)+ (-25a) - 5(+10)=(-25a)( +10) - 5(+10)= (-25a-5)( +10)D在抛物线的OC段上，SACD=4SOCD，(-25a-5)( +10)=，a

29、0，解得：a1=-，a2=（此时C,D点重合，舍去），当a1=-，使得和的面积之间满足其中一个是另一个的4倍，【点评】本题主要考查了二次函数的综合题型，包括了二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，一次函数的解析式，一次函数图像和性质，三角形的面积，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，学会联立两直线解析式求交点的坐标，一次函数的图像与性质，难度较大12（1）1，-3；（2）5；（3）M点的坐标为（，）或（，）或（1，-4）或（2，-3）【分析】（1）把点B的坐标代入解析式ya-2xc求得c，再把点C的坐标代入解析式ya2x-3中，解得a值；（2）如图1中，作PHBC于H，根据OB=OC，得P

30、CH=45，后在RtPCH中，证明PH=，故PD+PC=，由垂线段最短可知，当D、P、H共线时，垂线段DH就是PD+PC的最小值，求得这个最小值即可；（3）分点M在BC的上方和下方，两种情形讨论求解【解析】（1）把点B（0，-3）代入解析式ya-2xc，得c=-3，二次函数的解析式为ya2x-3，把点C（3，0）代入解析式ya2x-3中，得9a-6-3=0，解得a=1，故答案为：1，-3；（2）如图1中，作PHBC于H，B（0，-3），C（3，0），OB=OC，OCB=45，PCH=45，PHC=45，PH=HC，在RtPCH中，根据勾股定理得，PH=，PD+PC=，由垂线段最短可知，当D、P

31、、H共线时，垂线段DH就是PD+PC的最小值，作BC，垂足为，B（0，-3），D（0，2），BD=5，OBC=45，DB=45，D=B，D=，PD+PC=5；（3）如图2中，取点E(1,0)，作EGBC于G，由（2）知OC=3，ECG=45，EG=，=3，过点E作BC的平行线交抛物线于，则，直线BC的解析式为y=x3，向上平移2个单位得到直线，直线的解析式为y=x1，根据题意，得解得或，当时，y= ；当时，y= ；此时（，）或（，）；根据对称性可知，直线关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点、也满足条件，直线BC的解析式为y=x3，与y轴交于（0，-3），直线的解析式为y=x1，与y轴交于（0，-1），两直线在y轴交点间距离为2，将直线y=x3向下平移2个单位，即得到直线的解析式为y=x5，根据题意，得解得x=1或x=2，当时，y= -4；当x=2时，y= -3；此时（1，-4）或（2，-3）；故点M的坐标为（，）或（，）或（1，-4）或（2，-3）【点评】本题考查了二次函数的待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、一次函数的应用、平移的性质，