2023年福建省中考数学一轮复习专题训练22:图形的相似(含答案解析)
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1、 专题专题 22 22 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1如图,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,点 M 是 CD 边的中点,点 E,F 分别是边 AB,BC 上的点,且AFME,G 为垂足.若 EB=2,BF=1,则四边形 BFGE 的面积为( ) A6152 B8552 C6126 D8513 2如图,菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1 和 y= 2 的图象上,若BCD=60 ,则 12 的值是( ) A- 13 B- 23 C- 33 D- 3 3(2022 九下 泉州开学考)若 且相似比为 1: 4, 则 与 的面积比为 ( ) A1:4 B4:1 C1:
2、16 D16:1 4 (2022 九下 厦门开学考)下列说法正确的是( ) A有一个角等于 100 的两个等腰三角形相似 B两个矩形一定相似 C有一个角等于 45 的两个等腰三角形相似 D相似三角形一定不是全等三角形 5 (2022 九下 厦门月考)如图,在ABC 中,DEAB,且32,则的值为( ) A35 B23 C45 D32 6 (2022 九下 尤溪开学考)如图,在直角坐标系中,OAB 的顶点为 O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与OAB 的位似比为 13 的位似图形OCD,则点 C 坐标( ) A(- 43 ,-1) B(-1,- 43 )
3、 C(-1,-1) D(-2,-1) 7 (2022 九下 尤溪开学考)若 3x=4y,则下列结论一定成立的是( ) A4 = 3 B = 34 C4 = 3 D3 = 4 8 (2022 九下 南平期中)如图,在 RtABC 中,ACB90 ,CB7,AC9,以 C 为圆心、3 为半径作C,P 为C 上一动点,连接 AP、BP,则13AP+BP 的最小值为( ) A32. B43 C35 D52 9 (2022 九下 厦门月考)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 P,且 AC 过原点 O,ABx 轴,点 C 的坐标为(6,3) ,反比例函数 =的图象经过 A,P 两点,则 k
4、 的值是( ) A4 B3 C2 D1 10 (2022 九下 厦门月考)如图,梯形 ABCD 中,ADBC,BACD90 ,AB2,DC3,则ABC 与DCA 的面积比为( ) A23 B25 C49 D23 二、填空题二、填空题 11 (2022 九下 尤溪开学考)两个相似多边形的周长比是 2:3,其中较小多边形的面积为 12 2 ,则较大多边形的面积为 2 . 12 (2022 九下 泉州开学考)如图,在四边形 中, 于点 , = ,且 =34 ,当 = 4 , = 2 时,线段 的长度为 . 13 (2022 九下 尤溪开学考)如图,正方形 ABCD 中,点 F 是 BC 边上一点,连
5、接 AF,以 AF 为对角线作正方形 AEFG,边 FG 与 AC 相交于点 H,连接 DG,以下四个结论: EAB=BFE=DAG; ACFADG; AHAC = 2 A 2 ; DGAC . 其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 14 (2022 福州模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AB = 5,A = B = 90 ,O 为 AB 中点,过点 O 作OMCD 于点 M.E 是 AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合) ,连接 CE,DE,若CED = 90 且 = 43 .现给出以下结论: (1)ADE 与BEC 一定相似; (2)以点 O 为圆心,OA 长为半径作O,则O
6、与 CD 可能相离;(3)OM 的最大值是 52 ; (4)当 OM 最大时,CD = 12524 .其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 15 (2022 九下 福州期中)如图,在 RtABC 中,ACB= 90 ,CDAB 于点 D, AD=95, BD= 165,则 sinB= . 16 (2022 九上 福州开学考)如图,ABC、ADE 都是等腰直角三角形,BACDAE90 ,AB4,F 是 DE 的中点,若点 E 是直线 BC 上的动点,连接 BF,则 BF 的最小值是 17 (2022 九上 永春期中)若5=2,则= 18(2022 九上 永春期中)如图, 点 A 在线段上,
7、 在的同侧作等腰 和等腰 , 与、分别交于点,对于下列结论: ; = ; = 40;22= 其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号) 19 (2021 九上 泉州期末)如图,在平面直角坐标系中, 与 11 是以点 C 为位似中心的位似图形,则其相似比为 . 20 (2021 九上 福州月考)莆田湄洲岛,是亿万妈祖信徒敬仰的圣地,这里的妈祖庙更是名扬四海.在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像,面向台湾海峡,为海峡两岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕像的高,她先测得雕像的影长为 4.1 ,并在同一时刻测得一根长为 1.4 的竹竿的影长是 0.4 .请你帮她算一下,石雕妈祖像高是 m. 三
8、、综合题三、综合题 21 (2022 九下 泉州开学考)如图 1,在 中 = , = 24 , tan =512 . (1)求 的长; (2)如图 2,点 P 沿线段 从 B 点向 C 点以每秒 2 的速度运动,同时点 Q 沿线段 向 A点以每秒 1 的速度运动,且当 P 点停止运动时,另一点 Q 也随之停止运动,若 P 点运动时间为 t 秒. 若 = 时,求证: ;并求此时 t 的值. 点 P 沿线段 从 B 点向 C 点运动过程中, 是否存在 t 的值, 使 的面积最大; 若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理由. 22 (2022 福建)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 =
9、 2+ 经过 A(4,0) ,B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线 AB 的上方. (1)求抛物线的解析式; (2)若OAB 面积是PAB 面积的 2 倍,求点 P 的坐标; (3) 如图, OP交AB于点C, 交AB于点D.记CDP, CPB, CBO的面积分别为1, 2, 3.判断12+23是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由. 23 (2022 九下 厦门月考)如图,在正方形 ABCD 中,AB=4,点 G 在边 BC 上,连接 AG,作 DEAG于点 E,BFAG 于点 F,连接 BE、DF,设EDF=,EBF=,= . (1)求证:AE=BF; (2)求:
10、tan 与 tan 的数量关系; (3) 若点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止, 求点 E, F 所经过的路径与边 AB 围成的图形的面积. 24 (2022 福州模拟)如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 有交点,且ABC + ADC = 90 .点E 与点 C 在 BD 同侧,连接 BE,CE,DE,若ABDCBE. (1)求证:DCCE; (2)若 =58, = 20,=516 ,求 BDE 的面积 25 (2022 九下 福州期中)如图,四边形 ABCD 是矩形,对角线相交于点 O,点 E 为线段 AO 上一点(不含端点) ,点 F 是点 E 关于 AD 的对称
11、点,连接 CF 与 BD 相交于点 G. (1)证明:AF/BD; (2)若 = 1, = 2.求 BD 的长. 26 (2022 福州模拟)已知抛物线 y = mx2 -(1- 4 m)x + c 过点(1,a),(- 1,a),(0,- 1). (1)求抛物线的解析式; (2)已知过原点的直线与该抛物线交于 A,B 两点(点 A 在点 B 右侧) ,该抛物线的顶点为 C,连接 AC,BC,点 D 在点 A,C 之间的抛物线上运动(不与点 A,C 重合). 当点 A 的横坐标是 4 时,若ABC 的面积与ABD 的面积相等,求点 D 的坐标; 若直线 OD 与抛物线的另一交点为 E,点 F
12、在射线 ED 上,且点 F 的纵坐标为- 2,求证: = . 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解:设 = ,则 = 2 , = = . 作 于 , 则 = 90 = . 所以 . 所以 = , 即 2=21 , 解得 =52 . 于是 =52 , = 5 . 所以 = 2+ 2= 52+ 12= 26 , =12 =12 5 1 =52 . 又 , 所以 = ()2= (5226)2=926 . 因此 =926=92652=4552 . 所以 四边形= =524552=8552 . 故答案为:B. 【分析】设 BC=a,则 AB=2a,DM=MC=a,作 MHAB 于
13、点 H,根据同角的余角相等可得EMH=FAB,证明EMHFAB,根据相似三角形的性质可得 a 的值,利用勾股定理可得 AF,根据三角形的面积公式可得 SABF,根据相似三角形的性质可得 SAEG,然后根据 S四边形BFGE=SABF-SAGE进行计算. 2 【答案】A 【解析】【解答】解:如图,连接 AC、BD,作 BMx 轴于 M,CNx 轴于 N, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD, 菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1和 y= 2 的图象上, A 与 C、B 与 D 关于原点对称, AC、BD 经过点 O, BOC=90 , BCO= 12BCD=30 , tan30
14、= = 33, BOM+NOC=90 ,NOC+NCO=90 , BOM=NCO, OMB=CNO= 90 , OMBCNO, =22, 12|1|12|2|=13, k10,k20, 即 12= 13 故答案为:A. 【分析】连接 AC、BD,作 BMx 轴于 M,CNx 轴于 N,根据菱形的性质和反比例函数图象的对称性得出BOC=90 , BCO= 12BCD=30 ,然后根据正切三角函数定义求得 tan30 = = 33,再 证明OMBCNO,根据相似三角形的性质得出 =22,结合反比例函数系数 k 的几何意义即可求得结果. 3 【答案】C 【解析】【解答】解:ABCDEF,且相似比为
15、1:4, ABC 与DEF 的面积比为 1:16, 故答案为:C. 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方,据此解答即可. 4 【答案】A 【解析】【解答】解:A 中等于 100 的角只能是等腰三角形的顶角,所以这两个等腰三角形相似,故正确,符合要求; B 中两个矩形虽然角度相同,但对应的边长比不相等时,两个矩形不相似,故错误,不符合要求; C 中等于 45 的角可以是等腰三角形的顶角或底角,当为顶角时,三角分别为 45,67.5,67.5;当为底角时,三角分别为 45,45,90,故这两个等腰三角形不相似,故错误,不符合要求; D 中当两个相似三角形的相似比为 1 时,两个三角形全等,故
16、错误,不符合要求. 故答案为:A. 【分析】对应角相等,对应边成比例的两个多边形相似,全等是相似比为 1 时的特殊情况,故全等的图形一定相似,但相似的图形不一定全等,进而结合等腰三角形的性质及矩形的性质即可一一判断得出答案. 5 【答案】A 【解析】【解答】解:DE/AB, =32 的值为35. 故答案为:A. 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=,据此解答. 6 【答案】A 【解析】【解答】解:OAB 和OCD 以原点 O 为位似中心,位似比为 13 ,且点 C 在第三象限, A 点坐标为(4,3) , 又 A 点的对应点为 C 点, 点 C 的坐标为(-4 13,-3 13) ,即
17、(- 43 ,-1) . 故答案为:A. 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系,把 A 点的横纵坐标都乘以 13,结合 C点所在的象限,即可求解 7 【答案】C 【解析】【解答】解:A、4 = 3 ,xy=12,错误; B、 = 34 ,4x=3y,错误; C、4 = 3 ,3x=4y,正确; D、3 = 4 ,4x=3y,错误. 故答案为:C. 【分析】由比例的性质可知,内项之积等于外项之积,依此分别判断,即可作答. 8 【答案】D 【解析】【解答】解:如图,连接 CP,作 PE 交 AC 于点 E,使 = = = = 9, = 3 =13 13 + = + ,当 B、P、E
18、 三点共线,即 P 运动 P时有最小值 EB = = 1 = 2+ 2= 52 13 + 的最小值为52 故答案为:D. 【分析】连接 CP,作 PE 交 AC 于点 E,使CPE=PAC,证明PCEAPC,根据相似三角形的性质可得 EC=1,EP=13AP,则13AP+BP=EP+BP,当 B、P、E 三点共线,即 P 运动 P时有最小值 EB,然后利用勾股定理进行计算. 9 【答案】C 【解析】【解答】解:在菱形 ABCD 中,对角线 BD 与 AC 互相垂直且平分, = , AC 经过原点 O,且反比例函数 =的图象恰好经过 A,P 两点, 由反比例函数 =图象的对称性知: = =12
19、=12, =13. 过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 E 和 F, PECF , : = : = : = 1:3, 点 C 的坐标为(6,3) , = 6, = 3, = 2, = 1, 点 P 的坐标为(2,1), = 2 1 = 2. 故答案为:C. 【分析】由菱形的性质可得 PA=PC,由反比例函数 =图象的对称性知 = =12 =12,从而得出 PO=13OC,过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 E 和 F,可证OPEOCF,根据相似三角形对应边成比例及点 C 的坐标,可求出 OF、CF、OE、PE 的长,从而即可得出点 P 坐标,再将点 P 坐标代入 =中,即可
20、求出 k 值. 10 【答案】C 【解析】【解答】解:ADBC ACB=DAC 又B=ACD=90 ABCDCA SABC:SDCA=AB2:CD2=22:32=4:9 故答案为:C. 【分析】由平行线的性质可得ACB=DAC,结合B=ACD=90 ,可证ABCDCA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得 SABC:SDCA=AB2:CD2,据此即得结论. 11 【答案】27 【解析】【解答】解:设较大多边形的面积为 x, 两个多边形相似,周长比为 2:3, 面积比=4:9, 12:x=4:9, 解得 x=27. 故答案为:27. 【分析】设较大多边形的面积为 x,根据相似多边形的周长
21、比等于相似比,而面积比等于相似比的平方,建立关于 x 的方程求解即可. 12 【答案】1092 【解析】【解答】 解: 如图, 在 上截取 = = 2 , 过 作 / 交 于点 ,把 绕 逆时针旋转得 ,连接 , 则 , = , = , = = 90 , 又 于点 , = , =34 , tan =34 , : = 3:4:5 , 又/ , , 又 , , = , = , 又 + = + , = , , =54 , 又 , = , = =35 2 =65 , = , = , / , + = 180 , = 180 = 90 , 在 中,由勾股定理得, = 2+ 2= 42+ (65)2=251
22、09 , =54 =5425109 =1092 . 故答案为: 1092 . 【分析】 在 上截取 = = 2 , 过 作 / 交 于点 , 把 绕 逆时针旋转得 , 连接 , 易求 : = 3:4:5 , 然后证明 ,可得 = ,再证 可得 =54 ,由 可得 =,从而求出 MN= 65, 证得 / , 可求出 = 180 = 90 , 在 中,由勾股定理求出 CE,利用 =54即可求解. 13 【答案】 【解析】【解答】解:如图,取 AB 和 EF 的交点为 O, 四边形 4EFG 和四边形 ABCD 均为正方形, EAG=BAD= 90 , 又EAB= 90 -BAG, GAD = 90
23、 -BAG, EAB=GAD, AOE=BOF,AEO=FBO=90 , EAB=BFE, EAB=BFE=DAG,故正确; 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形, AD=DC,AG= FG, AC= 2AD,AF= 2AG, = 2, = 2, =, 又DAG+GAC=FAC+GAC=45 , DAG=CAF, ACFADG,故正确; 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形,AF、AC 为对角线, AFH= CACF=45 , 又FAH=CAF, HAFFAC, =, 即 AF2 =AC AH, 又AF= 2AE, AH AC=2AE2 ,故错误; 由知ACFADG,
24、四边形 ABCD 为正方形, AC 为对角线, ADG=ACF =45 , DG 在正方形另外一条对角线上, DGAC,故正确, 综上,正确的个数为 . 故答案为: . 【分析】正方形的性质得到EAG=BAD=90 ,根据余角的性质得出EAB =GAD;根据正方形的对角线等于边长的 2倍, 得到两组对边对应成比例, 再求出DAG=CAF, 则可判定 ACFADG;先证明HAFFAC,利用相似三角形的性质列比例式得到 AF2 =AC AH,结合 AF= 2AE,推出 AH AC=2AE2 ,即可作出判断;由知ACFADG,得出ADG=ACF=45 ,得出 DG 在正方形 ABCD 对角线 BD
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