第3章《勾股定理》解答题专题练习(含答案解析)2022-2023学年江苏省南京市八年级数学上册
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1、 第第 3 章勾股定理解答题专练章勾股定理解答题专练 一解答题(共一解答题(共 19 小题)小题) 1如图,在 77 网格中,每个小正方形的边长都为 1 (1)ABC 的面积为 ; (2)判断ABC 的形状,并说明理由 (3)AB 边上的高是 2一架梯子长 25m,底部长 7m,斜靠在墙,若梯子下滑了 4m,问梯子底部滑动了多少米? 3如图,四边形 ABCD 中,AB4,BC3,CD13,AD12,B90求四边形 ABCD 的面积 4 (2021 秋栖霞区校级月考)如图,四边形 ABCD 中,ADC90,CD9,AD12,BC8,AB17 (1)求证:ACB90; (2)求四边形 ABCD 的
2、面积 5(2021 秋栖霞区校级月考) 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形, 两直角边的长分别为 a 和 b,斜边长为 c请你开动脑筋,用它们拼出正方形图案,要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠 (1)请你画出拼成的这个图形的示意图; (2)利用(1)中画出的图形证明勾股定理 6如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB3,BC4,CD12,AD13,B90求四边形 ABCD 的面积 7 (2022 秋玄武区期中)如图,在ABC 中,ABAC10cm,BC16cm,点 M 为 BC 的中点,MNAC于点 N,求(1)MN 的长度; (2)直接写出 CN 的长度 8 (2022 秋南京期中)
3、如图,在四边形 ABCD 中,AB20,AD15,CD7,BC24,A90求证:C90 9 (2022 秋玄武区期中)如图,某人从 A 地到 B 地共有三条路可选,第一条路是从 A 到 B,AB 为 10 米,第二条路是从 A 经过 C 到达 B 地,AC 为 8 米,BC 为 6 米,第三条路是从 A 经过 D 地到 B 地共行走 26米,若 C、B、D 刚好在一条直线上 (1)求证:C90; (2)求 AD 和 BD 的长 10 (2022 秋秦淮区期中)如图,池塘边有两点 A,B,点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上一点,测得BC25m,AC7m求 A,B 两点间的距离 11(
4、2021 秋玄武区期中) 如图, 一棵高 5.4m 的大树被台风刮断, 测得树梢着地点到树根的距离 BC3.6m,求大树折断处离地面的高度 AB 12 (2021 秋建邺区期末)如图,每个小正方形的边长都为 1,A、B、C、D 均在网格格点上 (1)求四边形 ABCD 的面积; (2)BCD 是直角吗?为什么? 13 (2021 秋鼓楼区校级期末)如图,在ABC 中,BAC90,AB15,AC20,ADBC,垂足为D (1)ABC 的面积是 (2)求 BC、AD 的长 14 (2021 秋鼓楼区校级期末)如图,在ABC 中,BAC90,AB15,AC20,ADBC,垂足为D求 AD,BD 的长
5、 15 (2021 春鼓楼区期末) 【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为 a,b 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成如图所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积 (1)方法一可表示为 ; 方法二可表示为 ; (2) 根据方法一和方法二, 你能得出 a, b, c 之间的数量关系是 (等式的两边需写成最简形式) ; (3)由上可知,一直角三角形的两条直角边长为 6 和 8,则其斜边长为 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式如图 2 是边长为 a+b 的正方体,被如图所示的分割线分成 8 块 (4)用不同方
6、法计算这个正方体体积,就可以得到一个等式,这个等式可以为 (等号两边需化为最简形式) (5)已知 2mn4,mn2,利用上面的规律求 8m3n3的值 16 (2020 秋秦淮区期末)如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为 1,小正方形的顶点称为格点已知 A、B、C 都是格点 (1)小明发现ABC 是直角,请补全他的思路; (2)请用一种不同于小明的方法说明ABC 是直角 17 (2020 秋玄武区期末)如图是一个滑梯示意图,左边是楼梯,右边是滑道,已知滑道 AC 与 AE 的长度一样,滑梯的高度 BC4m,BE1m求滑道 AC 的长度 18 (2021 秋鼓楼区月考)如图,已知线段 a 和EA
7、F,点 B 在射线 AE 上画出ABC,使点 C 在射线AF 上,且 BCa (1)依题意将图补充完整; (2)如果A45,AB= 42,BC5,求ABC 的面积 19 (2020 秋玄武区校级期中)阅读理解: 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1,利用此图,可以验证勾股定理吗? 【探索新知】 从面积的角度思考,不难发现: 大正方形的面积小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式: (a+b)2c2+412ab,化简证得勾股定理:a2+b2c2 【初步运用】 (1)如图 1,若 b2a,则小正方形面积:大正方形面积 ; (2) 现将图 1 中上方的两直角
8、三角形向内折叠, 如图 2, 若 a4, b6, 此时空白部分的面积为 ; (3)如图 3,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成风车状,已知外围轮廓(实线)的周长为 24,OC3,求该风车状图案的面积 (4)如图 4,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT的面积分别为 S1,S2,S3,若 S1+S2+S340,则 S2 【迁移运用】 如果用三张含 60的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢? 带着这个疑问, 小丽拼出图 5 的等边三角形, 你能否仿照勾股定理的验证, 发现含 60的三角形三边 a、b、c 之间的关系,写出此等量关系式及其推
9、导过程 知识补充: 如图 6,含 60的直角三角形,对边 y:斜边 x定值 k 参考答案解析参考答案解析 一解答题(共一解答题(共 19 小题)小题) 1如图,在 77 网格中,每个小正方形的边长都为 1 (1)ABC 的面积为 5 ; (2)判断ABC 的形状,并说明理由 (3)AB 边上的高是 2 【解答】解: (1)SABC441242123412125, 故答案为:5; (2)ABC 是直角三角形,理由如下: AC222+125,BC222+4220,AB242+3225, AC2+BC2AB2, ABC 是直角三角形,ACB90; (3)设 AB 边上的高是 h, SABC=12AB
10、h=125h5, h2, 故答案为:2 2一架梯子长 25m,底部长 7m,斜靠在墙,若梯子下滑了 4m,问梯子底部滑动了多少米? 【解答】解:由题意知 ABCD25 米,BO7 米,AC4 米, 在 RtABO 中, AO= 2 2= 252 72=24(米) , 在 RtCDO 中,COAOAC20 米, DO= 2 2= 252 202=15(米) , BD1578 米 答:梯子底部滑动了 8 米 3如图,四边形 ABCD 中,AB4,BC3,CD13,AD12,B90求四边形 ABCD 的面积 【解答】解:连接 AC, 在ABC 中,B90,AB4,BC3, AC= 2+ 2= 42+
11、 32=5, SABC=12ABBC=12436, 在ACD 中,AD12,AC5,CD13, AD2+AC2CD2, ACD 是直角三角形, SACD=12ACAD=1251230 四边形 ABCD 的面积SABC+SACD6+3036 4 (2021 秋栖霞区校级月考)如图,四边形 ABCD 中,ADC90,CD9,AD12,BC8,AB17 (1)求证:ACB90; (2)求四边形 ABCD 的面积 【解答】 (1)证明:连接 AC,如图所示: ADC90,CD9,AD12, AC= 2+ 2= 122+ 92=15, AC2+BC2152+82289,AB2172289, AC2+BC
12、2AB2, ACB 是直角三角形, ACB90; (2)解:四边形 ABCD 的面积ACD 的面积+ACB 的面积=12912+1215854+60114 故四边形 ABCD 的面积为 114 5(2021 秋栖霞区校级月考) 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形, 两直角边的长分别为 a 和 b,斜边长为 c请你开动脑筋,用它们拼出正方形图案,要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠 (1)请你画出拼成的这个图形的示意图; (2)利用(1)中画出的图形证明勾股定理 【解答】解: (1) (答案不唯一)如图; (2)证明:大正方形的面积可表示为(a+b)2, 大正方形的面积也可表示为:c2+4
13、12ab, (a+b)2c2+412ab, 即 a2+b2+2abc2+2ab, a2+b2c2, 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 6如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB3,BC4,CD12,AD13,B90求四边形 ABCD 的面积 【解答】解:连接 AC, 在ABC 中, B90,AB3,BC4, AC= 2+ 2=5, SABC=12ABBC=12346, 在ACD 中, AD13,AC5,CD12, CD2+AC2AD2, ACD 是直角三角形, SACD=12ACCD=1251230 四边形 ABCD 的面积SABC+SACD6+3036 7 (2022 秋玄武区期中
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