2022年九年级中考数学专题训练：证明圆的切线（含答案解析）

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1、中考专题训练证明圆的切线1如图，AB为的直径，点C在上，点D在AB的延长线上，过点O作于点E，交CD于点F，且(1)求证：CD是的切线；(2)已知，求的值2如图，在RtOAB中，AOB90，OAOB4，以点O为圆心、2为半径画圆，过点A作O的切线，切点为P，连接OP，将OP绕点O按逆时针方向旋转到OH时，连接AH，BH，设旋转角为（0360）(1)当90时，求证：BH是O的切线；(2)当AHB面积最小时，请直接写出此时点H到AB的距离3如图，是的直径，点C在的延长线上，交的延长线于点E(1)求证：与相切：(2)若，求的长，4如图，以ABC的边BC为直径作O，点A在O上，点D在线段BC的延长线上

2、，ADAB，D30(1)求证：直线AD是O的切线；(2)若直径BC4，求图中阴影部分的面积5如图，为的直径，为上一点，连接，为延长线一点，连接，且(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，的面积为，求的长6如图，内接于，的直径AD与弦BC相交于点E，BECE，过点D作交AC的延长线于点F(1)求证：DF是的切线；(2)若，AB6，求DF的长7如图，在等腰ABC中，AB=AC，底边BC的高AD与腰AC上的高BE相交于点F，且AE=BE，O是AEF的外接圆，连接DE(1)求证：DE是O的切线；(2)求证：DFBC=EFBF8如图，在RtABC中，ACB=90，延长CA到点D，以AD为直径作O，交BA

3、的延长线于点E，延长BC到点F，使BF=EF(1)求证：EF是O的切线；(2)若AC=2，CD=7，cosDAE=，求EF的长9图，以的边AB为直径的交BC于点D，延长CA交于点F，连接DF，取CF的中点G，连接DG并延长交BA的延长线于点E(1)求证：DE是的切线；(2)若，求AF的长10如图，BE为O的直径，点A和点D是O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC=EDA(1)求证：AC是O的切线；(2)若ADBC于点F，DE=4，OF=2，求图中阴影部分的面积11如图，RtABC中ABC=90，与ABC的边AB、AC边分别相交于点E和点D （圆心O在AB上

4、），连接OD和BD，已知CBD=2A(1)求证：BD为的切线；(2)若已知OD=1，求CD的长12如图，AB为O的切线，B为切点，过点B作BCOA，垂足为点E，交O于点C，延长CO与AB的延长线交于点D(1)求证：AC为O的切线；(2)若OC2，OD5，求线段AD和AC的长13如图，ABC中，ABC=90，以AB为直径作O交AC于点D，取BC中点E，连接DE并延长，与AB的延长线交于点F，连接BD(1)求证：DF是O的切线；(2)如果，求14如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且CAE2C，AC与BD交于点H，与OE交于点F(1)求证：AE是O的切线；(2)若

5、O的半径10，求线段DH的长15如图，BC为的直径，A为上一点，P为CB延长线上一点，且(1)求证：PA是的切线；(2)若，求的半径16如图，在中，AD是的角平分线，圆心在AB上，且过点D的交AB于点E(1)求证：直线BC是的切线；(2)若，求的半径17如图，为的内接三角形，为的直径，点D为上一点，且，过点D作交的延长线于点E(1)求证：为的切线；(2)若，求的半径18图，在中，ABAC，O是的外接圆，点D在O上且BCDACB，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF(1)求证：AF是O的切线；(2)若点G是的内心，求BG的长19如图，直线与相离，过点作于点，交于点，延长交于

6、点点、在直线上，连接并延长交于点，连接，(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径和弦的长20在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与BC交于点D过D点作DEAC，交AC于点E，交AB的延长线于点F，(1)求证：EF是O的切线；(2)若FD=4，AC=6，求BF的长参考答案：1(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC.，由圆周角定理得，由等腰三角形性质得，最后推出，可得结果；（2）由等腰三角形性质得，由中位线性质得，再证明，可得，求出OC，最后求出的值（1）如答图，连接OC.AB为的直径，又OC为半径，CD是的切线（2），又，OE为的中位线，.，又，设，在中，【点评】此题考查了切线的判定与性质

7、、相似三角形的判定与性质、勾股定理中位线定理、解直角三角形以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用2(1)见解析；(2)【分析】（1）根据题意易证AOPBOH，所以OPA=OHB，又OPA=90，进而证明结论；（2）当H与AB的距离最小时，AHB面积最小，进而可以求得答案（1）证明：90，AOB90，AOPBOH，在AOP和BOH中，AOPBOH（SAS），OPAOHB，AP是O的切线，OPA90，OHB90，即OHBH于点H，BH是O的切线；（2）解：设h表示点H到直线AB的距离，作ONAB于点N，H在圆O上，在RtONB中，OBN45，OB4，O

8、N4cos45，h的最小值为ONr，当AHB面积最小时，点H到AB的距离为【点评】此题主要考查了圆的综合以及等腰直角三角形的性质、旋转的性质、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题3(1)见解析(2)6【分析】(1) 连接，然后根据圆的性质和已知可以得到，即可证得与相切；（2）由已知可以得到，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出AD的值（1）证明：连接，为的直径，即，又；，即是切线.（2），【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键4(1)见解析(2)【分析】（1）连接OA，由题意得COA60，再利

9、用三角形的内角和定理可求出OAD90，即可得出结论；（2）由S阴影SOADS扇形COA即可求解（1）证明：连接OA，则COA2B，ADAB，BD30，COA60，OAD180603090，OAAD，即CD是O的切线；（2）BC4，OAOC2，在RtOAD中，OA2，D30，OD2OA4，AD2，SOADOAAD222，COA60，S扇形COA，S阴影SOADS扇形COA2【点评】本题考查了切线的判定、三角形内角和定理和扇形面积的计算，熟练掌握知识点是解题的关键5(1)见解析(2)【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角及等腰三角形的性质即可得出结论；（2）过点C作于M，由勾股定理求出OM的长，

10、根据等面积法求出CM的长，再证明，由相似三角形的性质即可求解（1）连接OC，为的直径，是的切线；（2）过点C作于M，的半径为，的面积为，即，解得【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质、勾股定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键6(1)见解析；(2)【分析】（1）根据垂径定理的推论，证得，再根据证得，最后结合切线的定义证得结论；（2）通过解直角三角形求得AE，AD的长，从而求得DF的长(1)证明：AD为的直径，BECE，且OD是的半径，DF是的切线；(2)（2）解：连接CD，AB6，CEBE2，ACAB6，（注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答）.【

11、点评】本题考查了切线的证明与圆相关的线段长度计算充分运用圆的性质，综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键7(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接OE，由等腰三角形的性质得到D是BC的中点，FBD+BFD=90，推出FED+OEF=FBD=OFE=90，即可证明DE是O的切线；（2）先证明EAFEBC，得出AF=BC，再证明AEFDBF，进而得出DFAF=EFBF，即可证明DFBC=EFBF(1)证明：连接OE，OE=OF，OFE=OEF，又AB=AC，AD是边BC的高，D是BC的中点，FBD+BFD=90，又BE是AC边的高，BEC=90，DE=BD=BC，FBD=FED，又BFD

12、=OFE，FED+OEF=FBD=OFE=90，DE是O的切线；(2)证明：BEAC，AEF=BEC=90，EAF=EBC，AE=BE，EAFEBC（ASA），AF=BC，AEF=BDF=90，EAF=DBF，AEFDBF，DFAF=EFBF，DFBC=EFBF【点评】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键8(1)证明见解析(2)EF=【分析】（1）连接OE，证明OEEF即可；（2）连接DE，根据已知条件求出O的直径AD=5，在RtADE中，求出D

13、E=3，在RtABC中，求出cosBAC=，根据BAC=DAE，求出BE=，根据相似三角形的判定证得FBEODE，根据相似三角形的性质即可求出EF(1)证明：如图，连接OE， OA=OE，OEA=OAE在RtABC中，ACB=90，BAC+B=90BF=EF，B=BEFOAE=BAC，OEA=BAC，OEF=OEA+BEF=BAC+B=90，OEEF OE是O的半径，EF是O的切线；(2)解：如图，连接DE，CD=7，AC=2AD=CD-AC=5，AD是O的直径，AED=90在RtADE中，AE=ADcosDAE=5=4，DE= BAC=DAE，cosBAC=cosDAE=，在RtABC中，A

14、B=BE=AB+AE= OD=OE，ODE=OED EF是O的切线，FEO=90，OED+OEA=90，FEB+OEA=90，FEB=OED，B=FEB=OED=ODE，FBEODE， ，EF=BF=【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，把化为直角三角形，灵活应用三角函数的定义解决问题9(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，最后可证得结果；（2）在RtODE中，根据锐角三角函数可求出半径OD，进而得出直径AB，在RtABF中，由锐角三角函数

15、可求出AF（1）明：连接OD弧弧AD ，点G为CF的中点点D在上DE是的切线；（2）：连接BF，在中，设，则 解得，AB为的直径，又在中，【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提10(1)见解析(2)【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理证得BAE=90，再证明BAO=B=EDA=EAC，进而证得CAO=90，利用切线的判定即可证得结论；（2）根据垂径定理可证得AE=DE=4，设半径为r，则EF=r-2，根据勾股定理求得r=4，进而证得OAE为等边三角形，则AO

16、E=60，利用扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可（1）解：连接OA，BE为O的直径，BAE=90，则BAO+OAE=90，OA=OB，B=BAO，EAC=EDA，B=EDA，B =EAC，即BAO=EAC，CAO=EAC+OAE=BAO+OAE=90，OA为半径，AC是O的切线；（2）解：ADBC，则AE=DE=4，设圆的半径为r，则OA=OE=r， 在RtOFA和RtAFE中，AE=4，OF=2，EF=OE-OF=r-2，由勾股定理得：AF2=r2-22=42-(r-2)2，解得：r=4或r=-2（舍去），OA=OE=AE=4，OAE是等边三角形，AOE=60，又CAO=90，C=30，

17、OC=2OA=8，AC=，阴影的面积为=【点评】本题考查圆周角定理、同弧所对的圆周角和弦相等、等腰三角形的性质、切线的判定、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键11(1)证明过程见解析(2)CD=【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到A=ODA，根据三角形外角的性质得到DOB=2A，推出CBD=DOB，根据ABC=90即可证得ODB=90，则可得BD为O的切线；（2）根据弧长公式求出DOE=60，根据含30角的直角三角形三边关系，得到BD=，推出C=CBD，即可求出CD的长（1）证明：OA=OD，A=ODA，DOB=2A，CB

18、D=2A，CBD=DOB，ABC=90，ABD+CBD=90，DOB+BDO=90，ODB=180-（DOB+BDO）=90，OD为半径，BD与O相切；（2）解：=，DOE=60，DOE=60，OD=1，BDO=90，BD=，CBD=60，OA=OD，OAD=ODA=30，又A+C=90，C=60，C=CBD，CD=DB，CD=.【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、弧长公式、含30角的直角三角形的三边关系等知识点；弧长公式：要牢记，切线的判定分知道切点和不知道切点，知道切点：连半径，证垂直；不知道切点：作垂直，证半径牢记知识点是解答本题的关键12(1)证明见解析(

19、2)；【分析】（1）连接OB，证明CAOBAO（SSS），由全等三角形的性质得出OCAOBA由切线的性质得出ABO90，则OCA90，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设ACx，则ACABx，得出方程，解方程可得出答案（1）证明：连接OB，则OCOB，如图所示：OABC，ECBE，OA是CB的垂直平分线，ACAB，在CAO和BAO中，CAOBAO（SSS），OCAOBAAB为O的切线，B为切点，ABO90，OCA90，即ACOC，AC是O的切线（2）解：OC2，OD5，OB2，CDOC+OD7，OBD90，BD，设ACx，则ACABx，CD2+AC2AD2，解得，ADAB+BDAC+B

20、D【点评】本题主要考查了切线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键13(1)见解析(2)【分析】（1）如图连接OD，根据圆周角定理及直角三角形的性质推出EBD=EDB，BDO=DBO，进而得到ODDF，据此即可得解；（2）利用面积比求得AD：CD=4：1，设CD=a，则AC=5a，证明CBDCAB，根据相似三角形的性质求得CB=a，由勾股定理求得ABa，再根据正切函数的定义即可求解（1）证明：如图连接OD，AB是O的直径，ADB=90，BDC=180-ADB=90，在RtBCD中，E是BC的中点，BE=CE=DE，EBD=EDB，ABC

21、=90，EBD+DBO=90，OB=OD，BDO=DBO，BDO+EDB=DBO+EBD=90，即EDO=90，ODDF，OD为O的半径，DF是O的切线；（2）解：在RtBCD中，E是BC的中点，SBED=SECD=SBCD，设SBAD=y，SBED=SECD=SBCD=x，即SBAD：SBCD=4：1，AD：CD=4：1，设CD=a，则AC=5a，ABC=ADB=90，A+ABD=CBD+ABD=90，A=CBD，CBDCAB， ， 即CB2=CDCA=5a2，CB=a，由勾股定理得：AB=a，【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质

22、定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键14(1)见解析(2)9【分析】（1）由垂径定理的推论可得OEAC，由圆周角定理可得CAE=AOE=2ACD，可证AE是O的切线；（2）证明，根据，可得，设，则，在中，进而求得，在中，根据勾股定理建立方程，解方程求解，求得，即可求解(1)连接OC，D是的中点，OEAC，即AFE=90，E+EAF=90AOE=2ACD，CAE=2ACD，CAE=AOEE+AOE=90，EAO=90AE是O的切线(2)，设，则，在中，O的半径10，在中，即，解得或（舍去），【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，勾股定理等知识，表示出

23、CF的长是本题的关键15(1)见解析(2)1.5【分析】（1）连接 OA，利用等腰三角形的性质及已知可得OAP=90，从而问题解决；（2）证明PABPCA即可(1)连接OA，如图，BC是圆的直径，BAC=BAO+OAC=90，OA=OC，OAC=ACB，OAP=BAP+BAO=OAC+BAO=90，OA是圆的半径，PA是圆的切线(2)，BPA=APC，PABPCA，PA=2，PC=4，PB=1，BC=PB-PC=4-1=3，即圆的半径为1.5【点评】本题是圆的综合，考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直径或半圆所对的圆周角是直角；连接半径是证明切线的关键，证明相似三角形

24、是求得圆的半径的关键16(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD/AC，推出ODBC，根据切线的判定推出即可；（2）的半径为r，则AO=OE=OD=r，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论（1）证明：如图，连接OD，AD为的平分线，直线BC是的切线（2）解：，设的半径为x，【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键.17(1)见解析(2)13【分析】对于（1），连接，先求出，再根据，求出，根据圆周角定理及已知条件得，即可得出，进而得出，即可得出结论；对于（2），作，先判断四边形为矩形，

25、再表示OA，OF，根据勾股定理列出方程，求出答案即可【解析】（1）证明：连接，如图为的直径，点C在上，即，为的切线（2）过点A作于点F，如图，四边形为矩形，DF=AE=8，AF=DE=12设的半径为R，则OA=R，OF=R-8在中，即，解得，即的半径为13【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理等，构造直角三角形是解题的关键18(1)证明见解析(2)5【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，由是的中点，由垂径定理可得，则，即可得证；（2）连接，记，证明，从而由相似三角形的性质及已知，可求得AB=5；由点是的内心，即可证明，得出（1）解：（1）证明：连

26、接，又，即，四边形是平行四边形，是的中点， ，是的切线（2）连接，记，即，点是的内心，【点评】本题考查了垂径定理，切线的性质与判定，内心的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键19(1)见解析(2)，【分析】（1）如图，连接，由等边对等角可得，由，可得，由，可得，然后根据，可得，即，继而证明结论；（2）由，可得，然后在和中，根据勾股定理可求得；如图，连接，易证，然后根据相似三角形的性质可得，在中，利用勾股定理可求得，继而可求得的长（1）证明：如图，连接，即，是的切线.（2）解：，在中，有，在中，有，解得：，如图，连接，是的直径，在中，.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、切

27、线的判定、勾股定理、直径所对的圆周角是90、相似三角形的判定与性质等，熟记相关定理是解题的关键.20(1)见解析(2)BF的长为2【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得BD=CD，根据三角形的中位线可得ODAC，所以得ODEF，从而得结论；（2）证明FDBFAD，列比例式可得结论（1）证明：连接OD，AD，AB是O的直径，ADBC，AB=AC，BD=CD，OA=OB，ODAC，EFAC，ODEF，EF是O的切线；（2）解：ODEF，ADBC，FDB=90-ODB=ODA，OA=OD，FAD=ODA，FAD=FDB，FDBFAD，即FD2=FABF，AB=AC=6，FD=4，42=(BF+6)BF，解得：BF=-8(舍去)或BF=2，BF的长为2【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角形的性质和判定，圆的切线的判定，三角形中位线定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键