2023年九年级数学中考专题训练：圆的计算和证明（含答案解析）

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1、中考专题训练圆的计算和证明1如图，在中，以AB为直径作，交BC于点D，交AC于点E，过点B作的切线交OD的延长线于点F(1)求证：；(2)若，求AE的长2如图，AB是的直径，点C在上，的平分线与AC相交于点D，与过点A的切线相交于点E(1)猜想的形状，并证明你的猜想；(2)若，求BD的长3如图所示，RtABC中ACB90，斜边AB与O相切于D，直线AC过点O并于O相交于E、F两点，BC与DF交于点G，DHAC于H(1)求证：B2F；(2)若HE4，cosB，求DF的长4如图，的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交，于，两点(1)求证：；(2)若，求图中两处（点左侧与点右侧）阴影部分的面积之

2、和5已知，分别与相切于点，为上一点，连接，(1)如图，若，求的大小；(2)如图，为的直径交于点，若四边形是平行四边形，求的大小6如图，是的直径，点C在的延长线上，交的延长线于点E(1)求证：与相切：(2)若，求的长，7如图，四边形ABCD为平行四边形，边AD是的直径，交AB于F点，DE为的切线交BC于E，且，BD和交于G点(1)求证：四边形ABCD为菱形(2)若半径，求BF长8如图，为的外接圆，为直径，的角平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点(1)求证：；(2)若，求的半径9如图，AB是的直径，CA与相切于点A，且连接OC，过点A作于点E，交于点D，连接DB(1)求证：；(2)连接交于点

3、若，求的长10在中，以AC为直径的与AB相交点D、E是BC的中点(1)判断ED与的位置关系，并说明理由；(2)若的半径为3，求的长11如图，在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点(1)求证；(2)若，求的半径12如图，O是ABC的外接圆，O在AC上，过点C作O的切线，与AB延长线交于点D，过点O作OEBC，交O于点E，连接CE交AB于点F(1)求证：CE平分ACB；(2)连接OD，若CF=CD=6，求OD的长13如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径O的交BC于点D，过点D作O的切线DE，交BA延长线于点E，延长CA交O于点F，交DE于点G，连接DF(1)求证：点E为线段CF垂

4、直平分线上一点；(2)若sinE=，BE=8，求AF的长14如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，点D是的中点，连接OD，交AC于点E，作BFCD，交DO的延长线于点F(1)求证：四边形BCDF是平行四边形(2)若AC=8，连接BD，tanDBF= ，求直径AB的长及四边形ABCD的周长15如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作O，交AC于点F，交BC于点D，过点D作O的切线DE，交AC于点E(1)求证：DEAC；(2)若O的直径为5，求EF的长16如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长

5、线于点P，作AFPC于点F，连接CB(1)求证：CBECPB；(2)当且时，求扇形COB的面积17如图，为的直径，的角平分线交于点，交于点，的角平分线交于点(1)求证：为等腰直角三角形；(2)求证：18如图，AB是圆的直径，C，D是圆上的点（在AB同侧），过点D的圆的切线交直线AB于点(1)若，求AC的长；(2)若四边形ACDE是平行四边形，证明：BD平分19如图，与相切于点，为的弦，与相交于点(1)求证：；(2)若，求线段的长20如图，为的内接三角形，垂足为，直径平分，交于点，连接(1)求证：；(2)若，求的长；(3)若点为的中点，连接，若点在上，求的值参考答案1(1)见解析(2)【分析】(

6、1)首先根据等边对等角可证得，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论； (2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得，即可证得，再根据相似三角形的性质即可求得（1）证明： （2）解：如图：连接BE是的直径，AB=4，是的切线 又 又 ，解得【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得是解决本题的关键2(1)等腰三角形，证明见解析；(2).【分析】（1）利用角平分线和C=BAE=90，得出E=4，从而得到AD=AE可得三角形的形状；（2）先证明BCDBAE，利用相似比得到得出即，若设CD=3x，则BC=4x，BD=5x，

7、再利用勾股定理得到（4x）2+（6+3x）2=82，然后解方程求出x后计算5x即可(1)猜想：EAD是等腰三角形,证明：BE平分ABC，1=2，AB为直径，C=90，2+3=90，AE为切线,AEAB，E+1=90，E=3，而4=3，E=4，AE=AD，EAD是等腰三角形；(2)2=1，RtBCDRtBAE，CD：AE=BC：AB，即，设CD=3x，BC=4x，则BD=5x，在RtABC中，AC=AD+CD=3x+6，（4x）2+（6+3x）2=82，解得x1=，x2=-1（舍去），BD=5x=【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算

8、3(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OD，由题意可得：，再根据ACB90，可得，由圆周角定理可得，即可求解；（2）由（1）可得，则，设，求得半径，由勾股定理求得，再由勾股定理即可求得（1）解：连接OD，如下图：AB与O相切于D，即，又ACB90，由圆周角定理可得：，；（2）解：DHAC，由（1）得，设，则，则，解得，则，由勾股定理可得：，由勾股定理可得：【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质定理，圆周角定理，三角形内角和的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解4(1)见解析(2)【分析】（1）连接，则，故，又，且，可得，故；（2）过点作于，结合三角函数

9、的知识求得与的长，从而利用求得阴影部分的面积之和（1）证明：连接，是的切线，又，（2）解：过点作于，【点评】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，扇形面积的计算方法，以及三角函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法5(1)55(2)30【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质可得OAP=OBP=90，再根据四边形内角和等于360度求出，再由圆周角定理即可求出结果；（2）连接AB，EC，由切线长定理以及平行四边形的性质可证明四边形是菱形，进而证明是等边三角形，进一步可得结论（1）如图，连接OA、OB，PA，PB是O的切线，OAP=OBP=90，APB=70，AOB=360-90-

10、90-70=110ACB=AOB=55；（2）如图，连接AB，EC， ，分别与相切于点， 四边形是平行四边形，四边形是菱形， 是的切线，且是的直径，四边形是平行四边形，/即是的直径，即即是等边三角形，【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键6(1)见解析(2)6【分析】(1) 连接，然后根据圆的性质和已知可以得到，即可证得与相切；（2）由已知可以得到，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出AD的值（1）证明：连接，为的直径，即，又；，即是切线.（2），【点评】本题考查圆的综合应用

11、，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键7(1)证明过程见解析(2)2【分析】（1）连接DF，通过证明RtDFBRtDEB（HL）得到DF=DE，证明ADFCDE（ASA）得到AF=CE，即可证明四边形ABCD是菱形；（2）连接AG，根据等腰三角形三线合一的性质得到DG=GB，设BF=x，则AF=5-x，利用勾股定理可得，列出方程求解即可得到BF的长（1）证明：连接DF，如图所示DE是切线，AD是直径ADE=90，DFA=90四边形ABCD是平行四边形DEB=90，CDF=90DFB=DEB=90又BF=BE，DB=DBRtDFBRtDEB（HL）DF=DE四边形ABCD是

12、平行四边形A=C又AFD=DECADFCDE（AAS）AF=CEAB=CB四边形ABCD是菱形（2）解：连接AG，如图所示AD是直径AGD=90，即AGBD四边形ABCD是菱形AB=ADDG=GB=DB=2设BF=x，则AF=5-x，解得x=2BF的长为2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握这些知识点是解答本题的关键8(1)见解析(2)2【分析】（1）根据切线性质得，再根据圆及角平分线的性质，证得，最后根据平行线的性质，证得结论（2）连接交AC于点F，证明四边形是矩形，再设的半径r，在中运用勾股定理，

13、建立关于r的方程，求解即可(1)证明：如图，连接， 与相切于点， ，平分，(2)解：如图，连接交AC于点F，是的直径，四边形是矩形，设的半径为，则，解得，的半径为【点评】本题考查了与圆有关的综合问题，灵活运用切线性质，勾股定理进行推理求值是解题的关键9(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据切线的性质可得，根据圆周角定理的推论可得，即得出结合题意即可利用“AAS”证明；（2）连接AF由垂径定理可得再根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可求出再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出(1)证明：CA与相切于点A，AB为直径，又，；(2)如图，连接AF，在中，AB为直径，AB

14、=AC，【点评】本题为圆的综合题考查切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理掌握与圆相关的知识点是解题关键10(1)相切；理由见解析(2)【分析】（1）连接OD，CD，再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明ODDE即可；（2）根据证明三角形DEC是等边三角形，即可得到的圆心角是120，再根据弧长公式计算即可(1)ED与O相切 理由：连接OD，CDAC是直径， ADC=90，在RtBDC中，E为BC的中点，DE=EC，3=2， 又OD=OC，1=4，1+2=90，ODE=3+4=90，ED与O相切；(2)A+1=90，1+2=90，A

15、=2， DEC=A，2=3=DEC=60，A=60，DOC=2A=120 ，弧DC的长=【点评】本题考查圆的性质及弧长公式，熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长公式是解题的关键11(1)见解析；(2)5【分析】（1）连接OD、BD，根据切线的性质得到ODDE，推出ODBC，证得ODB=CBD，由此推出OBD=CBD，根据为的直径，得到ADB=CDB=90，证得ABDCBD（ASA），即可得到AB=BC；（2）根据AB=BC，BDAC，求出AD=CD=，勾股定理求出CE=9，证得CDECBD，求出CB，即可得到的半径(1)证明：连接OD、BD，是的切线，ODDE，ODBC，ODB=CBD

16、，OD=OB，ODB=OBD，OBD=CBD，为的直径，ADB=CDB=90，BD=BD，ABDCBD（ASA），AB=BC；(2)AB=BC，BDAC，AD=CD=，DE=3，C=C，CED=CDB=90，CDECBD，AB=CB=10，的半径为5【点评】此题考查了切线的性质定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键12(1)见解析(2)【分析】（1）根据OC=OE，可得OCE=E，再由OEBC，可得E=BCE，从而得到OCE=BCE，即可求证；（2）根据CD=CF，可得BCD=BCE=OCE，再由CD是O的切线，可得BCD

17、=30，再证得A=BCD=30，根据直角三角形的性质，即可求解【解析】（1）证明：OC=OE，OCE=E，OEBC，E=BCE，OCE=BCE，CE平分ACB；（2）解：如图，CD=CF，BCD=BCE，CE平分ACB，BCD=BCE=OCE，CD是O的切线，ACD=90，即BCD+ACB=90，BCD=30，AC是O的直径，ABC=90，A+ACB=90，A=BCD=30，CD=6，AD=2CD=12，【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键13(1)见解析(2)AF=【分析】（1）根据圆

18、周角定理可得ADBC，再由等腰三角形的性质可得BD=CD，进而得出OD是三角形的中位线，由切线的性质可得ODFC，证出三角形DFC是等腰三角形即可；（2）在RtODE中，根据锐角三角函数可求出半径OD，进而得出直径AB，在RtABF中，由锐角三角函数可求出AF(1)证明：如图，连接OC，AD，AB=AC，ABC=ACB，又ABC=F，F=ACB，DF=DC，AB是O的直径，ADB=90，即ADBC，AB=AC，BD=CD，又OA=OB，OD是ABC的中位线，ODAC，DE是O的切线，ODDE，FCDE，DF=DC，DE是FC的垂直平分线，即点E为线段CF垂直平分线上一点；(2)解：连接BF，在

19、RtODE中，设OD=x，则OE=BE-OB=8-x，sinE=，=，解得x=3，经检验x=3是原方程的根，AB=2OD=6，AB是O的直径，AFB=90，DGBF，E=ABF，在RtABF中，AB=6，sinABF=sinE=，AF=ABsinABF=6=【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提14(1)见解析(2)AB=10，周长16+【分析】（1）根据AB是O的直径，得C=90，根据点D是的中点，得CADF，即有AEO=90，则有，即可得证；（2）先利用平

20、行及圆周角定理证得DBF=BAC，则根据正切值和勾股定理即可求出CB、AB，在RtAEO中，利用勾股定理得OE=3，在RtAED中，利用勾股定理，得AD=2，则四边形的周长可得（1）证明：AB是O的直径，C=90，点D是的中点，DO垂直平分AC，且AD=DC，CADF，AE=EC，AEO=90，四边形BCDE是平行四边形；（2），DBF=CDB，又根据圆周角定理有CDB=BAC，DBF=BAC，即tanBAC=，AC=8，CB=6，则在RtACB中，利用勾股定理可得AB=10，即AO=5=OD，AE=EC=AC，AE=EC=4，在RtAEO中，利用勾股定理得OE=3，DE=OD-OE=5-3=

21、2，在RtAED中，利用勾股定理，得AD=2，则有CD=2，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=10+6+2+2=16+【点评】本题考查了平行四边的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、同弧所对的弦相等、勾股定理以及解直角三角形的知识，利用正切值以及同弧所对的圆周角相等是解答本题的关键15(1)见解析(2)1【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则B=ODB=C，则ODAC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）如图所示，连接BF，AD，先解直角三角形ACD求出AD的长，从而求出CD的长，然后分别解直角三角形BCF，直角三角形DCE，求出BF，DE，进而求出CF，CE，即可得

22、到EF（1）解：连接OD，如图：AB=AC，B=C，OB=OD，B=ODB，B=ODB=C，ODAC，DE是切线，ODDE，ACDE；（2）解：如图所示，连接BF，AD，AB是圆O的直径，AFB=ADB=90，BFC=90，DEAC，DEC=90AB=AC，BC=2CD，ABD=C，EF=CF-CE=1【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质与判定，解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度16(1)见解析(2)【分析】（1）先证明CEB=CBP90，再由D+P=90，CABCBE90，CAB=D，推出CBE=P，即可证明结论；（2

23、）设CF=3k，CP=4k，先证明FAC=CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2CECP；从而求出sinCBE=，则CBE=60，即可证明OBC是等边三角形，得到COB=60，据此求解即可（1）解：CEOB，CD为圆O的直径，CEB=DBC90，CEB=CBP90，PF是切线，DCP=90，D+P=90，AB是直径，ACB=90CABCBE90，CAB=D，CBE=P，CBECPB；（2）解：，设CF=3k，CP=4k，PF是切线，OCPF，AFPF，AFOCFAC=ACO，OA=OC，OAC=ACO，FAC=CAB，CE=CF=3k，CBECPB，BC2CECP；BC=

24、sinCBE=，CBE=60，OB=OC，OBC是等边三角形，COB=60，扇形COB的面积【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键17(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据为的直径，可得，由的角平分线交于点，可得，进而结论得证；（2）由的角平分线交于点，得到，结合（1）可得，再由，得到，从而说明，最后再证明，利用相似三角形的性质即可得证(1)证明：为的直径，的角平分线交于点，为等腰直角三角形；(2)证明：的角平分线交于点，由（1）可知：，在和中，【点

25、评】本题考查的是圆和三角形的综合题，考查了直径所对的圆周角为90，角平分线，圆周角，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键18(1)(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据勾股定理进行计算即可；（2）连结BD，连结OD与AC交于点根据切线的性质及平行四边形的性质可证明四边形OBCD是菱形，即可得到结论(1)AB是圆的直径，（舍负值）(2)连结BD，连结OD与AC交于点与圆相切于点，四边形ACDE是平行四边形， ，四边形OBCD是菱形，平分【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、平行四边形的性质及菱形的判定和性质，

26、熟练掌握知识点是解题的根据19(1)见解析(2)【分析】（1）根据等角的余角相等，进而证得，最后结论得证；（2）作于，在中，求出，即可解决问题（1）证明：，是的切线，（2）解：作于,在中，在中，【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，学会添加适当的辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键20(1)见解析(2)(3)【分析】（1）由题意得，且，即，根据得，即可得；（2）根据，得，即，根据，得，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理， 即，即可得；（3）根据点为中点，点在上得是的中位线，即，根据得，和是所对的圆周角得，即，即有，设，有，即可得(1)解：直径平分，且，(2)解：，设，则，在中，根据勾股定理，即，解得：，舍去负值，得到(3)解：如图所示，点为中点，点在上，是的中位线，是等腰直角三角形，和是所对的圆周角，即有，设，有，解得，【点评】本题考查了圆与三角形，解题的关键是掌握垂径定理，相似三角形的判断与性质，中位线，勾股定理