2022年广东省广州市九年级上数学期末复习专题

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1、九上期末复习专题九上期末复习专题 专题 21.1 一元二次方程 1 定义： 等号两边都是整式， 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的方程， 叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 【例题 1】对于一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)说法错误的是（ ） A.其中 ax2 是二次项， B.a 是二次项系数； C.b 是一

2、次项，bx 是一次项系数； D.c 是常数项。 【例题 2】若 m 是方程 2x23x1=0 的一个根，则 6m29m+2016 的值为 【例题 3】已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+（k22）x+2k+4=0 的一个根，则 k 的值为 【例题 4】某种植基地 2018 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2020 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A80（1+x）2=100 B100（1x）2=80 C80（1+2x）=100 D80（1+x2）=100 专题 21.2 解一元二次方程 1.一元二次方程的解法

3、有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p 或(mx+n)2=p。 （2）配方法。套用公式 a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： 化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为 1； 移项把常数项移到等号的右边； 配方两边同时加上 b2，把左边配成 x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； 开方，即降次； 解一次方程。 （3）公式法。当 b2-4ac0 时，方程 ax2+bx+c=0 的实数根可写为：aacbbx242的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=

4、0 的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根。 aacbbx2421，aacbbx2422 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根。 abxx221 b2-4ac0 时，方程无实数根。 定义：b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 2.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，那么a

5、bxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 【例题 1】下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） Ax24x40 Bx236x+360 C4x2+4x+10 Dx22x10 【例题 2】关于 x 的方程2x2+4x+10 的两个根分别是 x1、x2，则 x12+x22是（ ） A2 B2 C3 D5 【例题 3】方程 x240 的解是 【例题 4】一元二次方程 y2y=0 配方后可化为（ ） A（y+）2=1 B（y）2=1 C（y+）2= D（y）2=

6、【例题 5】解方程：x22x1=0 【例题 6】解方程：2（x3）=3x（x3） 专题 21.3 实际问题与一元二次方程 解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤： 第 1 步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。 第 2 步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。 第 3 步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。 第 4 步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。 第 5 步：检验。检验所求得的根是否满足题意。 第 6 步：答。 【例题1】 一等腰三角形的底边长是6， 腰长是一元二次方程x28x+150的一根， 则三角形的周长是 （ ） A16 B12 C14 D12 或 16 【

7、例题 2】若 x24x+30，则分式的值是 【例题 3】 2018 年， 某贫困户的家庭年人均纯收入为 2500 元， 通过政府产业扶持， 发展了养殖业后， 到 2020年，家庭年人均纯收入达到了 3600 元 （1）求该贫困户 2018 年到 2020 年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2021 年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到 4200 元？ 专题 22.1 二次函数的图像和性质 1.定义 一般地， 如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a， 那么y叫做x的二次函数。 其中 x 是自变量， a、 b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数

8、项。 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同。 平行于y轴（或重合）的直线记作hx .特别地，y轴记作直线0 x。 3.几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 x（y轴） （0,0） kaxy2 0 x（y轴） (0, k) 2hxay hx (h,0) khxay2 hx (h,k) cbxaxy2 abx2 (abacab4422，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法：abacabx

9、acbxaxy442222， 顶点是），（abacab4422， 对称轴是直线abx2。 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx 。 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点12( , ) (, )、x yxy（及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122xxx 5.抛物线cbxaxy2中， a、b、c 的作用 a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样。 b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，

10、对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。 c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置。 当0 x时，cy ，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）： 0c，抛物线经过原点; 0c,与y轴交于正半轴； 0c,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab 6.用待定系数法求二次函数的解析式 一般情况下设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c， 结合题中条件解出 a、 b、 c 就可以求出二次函数的解析式。但遇到特殊情况可用下列办法解决： (1)当已知抛物线的顶点

11、在原点时，我们可设抛物线的解析式为 y=ax2； (2)当已知抛物线的顶点在 y 轴上或以 y 轴为对称轴，但顶点不一定经过原点时，可设抛物线的解析式为y=ax2+c； (3)当已知抛物线的顶点在 x 轴上，可设抛物线的表达式为 y=a(x-h)2，其中(h，0)为抛物线与 x 轴的交点坐标； (4)当抛物线的顶点坐标已知，则可设抛物线的表达式为 y=a(x-h)2+k，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. 7.二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

12、2. 平移规律:在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 【例题 1】 二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 下列结论： a0； ax2+bx+c0 的两个根是 x12，x24；9a+c0；b：c1：4，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【例题 2】已知二次函数的图象经过点 P（2，2），顶点为 O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为 向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0 两个公共点 两个不相等的实数根 b2

13、-4ac=0 一个公共点 两个相等的实数根 b2-4ac0 没有公共点 没有实数根 2.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。 交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay。 3.直线与抛物线的交点 y轴与抛物线cbxaxy2的交点为(0, c)。 抛物线与x轴的交点。 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别

14、式判定： a 有两个交点(0)抛物线与x轴相交； b 有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切； c 没有交点(0)抛物线与x轴相离。 平行于x轴的直线与抛物线的交点同一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根。 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定： a 方程组有两组不同的解时l与G有两个交点； b 方程组只有一组解时l与G只有一个交点； c 方程组无解时l与G没有交点。 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物

15、线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，则12ABxx 【例题 1】二次函数 y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数 y=x 的图象如图所示，则方程 ax2+（b）x+c=0（a0）的两根之和（ ） A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定 【例题 2】在平面直角坐标系内，已知点 A（1，0），点 B（1，1）都在直线 yx+上，若抛物线 yax2x+1（a0）与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba C1a或 a2 D2a 【例题 3】已知抛物 yax2+bx+c（b0）与 x 轴只有一个公共点 （1）若抛物线与 x 轴的公共点坐标为（2，0

16、），求 a、c 满足的关系式； （2）设 A 为抛物线上的一定点，直线 l：ykx+1k 与抛物线交于点 B、C，直线 BD 垂直于直线 y1，垂足为点 D当 k0 时，直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且ABC 为等腰直角三角形 求点 A 的坐标和抛物线的解析式； 证明：对于每个给定的实数 k，都有 A、D、C 三点共线 专题 22.3 实际问题与二次函数 1.二次函数cbacbxaxy,(2是常数，)0a的最值 当0a 时， 函数cbacbxaxy,(2是常数，)0a在abx2处取得最小值， 无最大值； 当0a 时， 函数cbacbxaxy,(2是常数，)0a在abx2处取得最大值

17、， 无最小值 2.求最值的问题的方法归纳起来有以下几点 （1）运用配方法求最值； （2）构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； （3）建立函数模型求最值； （4）利用基本不等式或不等分析法求最值 【例题 1】把一个小球以 20 米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h（米）与时间 t（秒），满足关系 h20t5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（ ） A1 秒 B2 秒 C4 秒 D20 秒 【例题 2】某工厂用 50 天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件 80 元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第 x 天的生产成本

18、y（元/件）与 x（天）之间的关系如图所示，第 x 天该产品的生产量 z（件）与 x（天）满足关系式 z2x+120 （1）第 40 天，该厂生产该产品的利润是 元； （2）设第 x 天该厂生产该产品的利润为 w 元 求 w 与 x 之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？ 在生产该产品的过程中，当天利润不低于 2400 元的共有多少天？ 【例题 3】小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左

19、右花圃各放一个 1 米宽的门（木质）花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？ 专题 23.1 图形的旋转 1.旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 2.旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； x旋转前后的图形全等。 【例题 1】如图，在ABC 中，AB2，BC3.6，B60，将ABC 绕点 A 顺时针旋转度得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为（ ） A

20、1.6 B1.8 C2 D2.6 【例题 2】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分BAE 交 BC 于点 F，将ADE 绕点 A顺时针旋转 90得ABG，则 CF 的长为 【例题 3】 在 RtABC 中， ABC90， ACB30， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E （1）当点 E 恰好在 AC 上时，如图 1，求ADE 的大小； （2）若60时，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形 【例题 4】如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心，顶点 A，

21、B 的坐标分别为（1，1），（1，1），把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45得正方形 ABCD，则正方形 ABCD 与正方形 ABCD重叠部分所形成的正八边形的边长为 专题 23.2 中心对称 1.中心对称定义： 把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 2.中心对称的性质： 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形是全等图形。 3.中心对称图形定义： 如果一个图形绕一个点旋转 180后能

22、与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 4.关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y)关于原点 O 的对称点为 P(-x，-y)。 【例题 1】下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A正三角形 B正五边形 C等腰直角三角形 D矩形 【例题 2】下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【例题 3】下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A圆 B等边三角形 C直角三角形 D正五边形 专题 23.3 课题学习 图案设计 1.掌握如何运用平移、旋转、轴对称分析图案的形成过程，利用这些图形变换组合进行图案设计

23、。 2.灵活运用几种图形变换分析图案，关键是找基本图形和确定图像变换的类型，并能自主设计。 3.生活中很多美丽的图案和几何图形都有密切联系，复杂美丽的图案都是由简单图形按一定规律排列组合而成; 即使最简单的几何图案经过你的精心设计也会给人以赏心悦目的感觉。 【例题 1】如图，下列 44 网格图都是由 16 个相同小正方形组成，每个网格图中有 4 个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影 （1）在图 1 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个中心对称图形； （2）在图 2 中选取 2 个空白小正方形涂上阴影，使 6 个阴影小正方形组成一个轴对称图形

24、，但不是中心对称图形 【例题 2】如图所示，在 76 的正方形网格中，选取 14 个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： （1）图中所画的三角形与ABC 组成的图形是轴对称图形。 （2）图中所画的三角形与ABC 组成的图形是中心对称图形。 （3）图中所画的三角形与ABC 的面积相等，但不全等。 CBA 专题 24.1 圆的有关性质 考点一：圆的相关概念 1.圆的定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2.圆的几何

25、表示：以点 O 为圆心的圆记作“O”，读作“圆 O” 考点二：与圆有关的几个概念的定义 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的 AB） 2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的 CD）。直径等于半径的 2 倍。 3.弧、优弧、劣弧： （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 （2）弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”。 （3）大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 考点三：垂径定理及其推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径平

26、分这条弦，并且平分弦所对的弧。 2.推论： 推论 1： CBACBACBA 图 图 图 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 考点四：圆的对称性 1.圆的轴对称性。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2.圆的中心对称性。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3

27、.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六：圆周角定理及其推论 1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的

28、一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点七：圆内接多边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做多边形的外接圆。 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 【例题 1】如图，某下水道的横截面是圆形的，水面 CD 的宽度为 2m，F 是线段 CD 的中点，EF 经过圆心 O交O 与点 E，EF3m，则O 直径的长是（ ） Am Bm Cm Dm 【例题 2】如图，PA、PB 是O 切线，A、B 为切点，点 C 在O 上，且ACB55，则APB 等于（ ） A55 B70 C110 D125 【例题 3】如图，AB 是O 的直径，C、D 是

29、O 上的两点，AOC120，则CDB 【例题 4】如图，ABC 是O 的内接三角形，把沿 BC 折叠后，与弦 AB 交于点 P，恰好 OPAB若 OP1，AB4，则 BC：AC 等于（ ） A B C D 专题 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 考点一：点和圆的位置关系 设O 的半径是 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则有： dr点 P 在O 外。 考点二：过三点的圆 1.过三点的圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.三角形的外接圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3.三角形的外心。 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 它叫做这个三角形的外心。

30、 4.圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）。圆内接四边形对角互补。 考点三：反证法 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点四：直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d,那么： 直线 l 与O 相交dr。 考点五：

31、切线的判定和性质 1.切线的判定定理。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.切线的性质定理。圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点六：切线长定理 1.切线长。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2.切线长定理。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 考点七：三角形的内切圆 1.三角形的内切圆。与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2.三角形的内心。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点八：圆和圆的位置关系 1.圆和圆的位置关系 （1）如果两个圆没有

32、公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 （2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 （3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2.圆心距。两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 3.圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，那么 两圆外离dR+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rdr） 两圆内含dr） 4.两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 考点九：补充三个定理：如图甲乙丙所示。 甲 乙 丙

33、（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图甲，即：PAPB = PCPD （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条 线段长的积相等。如图乙，即：PAPB = PCPD （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项。如图丙，即：PC 2= PAPB 【例题 1】已知两点 M（x1，y1），N（x2，y2），则线段 MN 的中点 K（x，y）的坐标公式为： x，y 如图，已知点 O 为坐标原点，点 A（3，0），O 经过点 A，点 B 为弦 PA 的中点若点 P（a，b），则有a，b

34、满足等式：a2+b29 设 B（m，n），则 m，n 满足的等式是（ ） Am2+n29 B（）2+（）29 C（2m+3）2+（2n）23 D（2m+3）2+4n29 【例题 2】如图，在ABC 中，O 是 AB 边上的点，以 O 为圆心，OB 为半径的O 与 AC 相切于点 D，BD 平分ABC，ADOD，AB12，CD 的长是（ ） POCABDPOCBADPOCABA2 B2 C3 D4 【例题 3】如图，BD 是O 的直径，弦 BC 与 OA 相交于点 E，AF 与O 相切于点 A，交 DB 的延长线于点 F，F30，BAC120，BC8 （1）求ADB 的度数； （2）求 AC 的

35、长度 【例题 4】已知 AB 是O 的直径，AT 是O 的切线，ABT=50，BT 交O 于点 C，E 是 AB 上一点，延长CE 交O 于点 D （1）如图，求T 和CDB 的大小； （2）如图，当 BE=BC 时，求CDO 的大小 【例题 5】如图，AN 是M 的直径，NBx 轴，AB 交M 于点 C （1）若点 A（0，6），N（0，2），ABN=30，求点 B 的坐标； （2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是M 的切线 专题 24.3 正多边形和圆 考点一：正多边形和圆 1.正多边形的定义。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形和圆的关系。只要把一个

36、圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 考点二：与正多边形有关的概念 1.正多边形的中心。正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2.正多边形的半径。正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 3.正多边形的边心距。正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 4.中心角。正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 考点三：正多边形的对称性 1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n边形的中心。 2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多

37、边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 【例题 1】如图所示，正六边形 ABCDEF 内接于O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和的长分别为（ ） 例一图 例二图 A2， B2， C ， D 2， 【例题 2】如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，A100，则DCE 的度数为 ； 【例题 3】如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，BE 是O 的直径，连接 BF，延长 BA，过 F 作 FGBA，垂足为 G（1）求证：FG 是O 的切线； （2）已知 FG2，求图中阴影部分的面积 专题 24.4 弧长和扇形

38、面积 1.弧长公式：LnR/180 2.扇形面积公式： lRRnS213602扇 其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。 3.圆的周长公式：l2R 4.圆的面积公式：SR2 5.圆锥的侧面积：rlrlS221 其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面圆半径。 【例题 1】如图，用一张半径为 10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为 8cm，那么这张扇形纸板的弧长是 cm 【例题 2】 用一个圆心角为 120， 半径为 6 的扇形做一个圆锥的侧面， 则这个圆锥的底面圆的面积为 【例题 3】如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于

39、点 B，ADBC，垂足为 D，OA 是O 的半径，且 OA=3 （1）求证：AB 平分OAD； （2）若点 E 是优弧上一点，且AEB=60，求扇形 OAB 的面积（计算结果保留） 【例题 4】在等腰ABC 中，AC=BC，以 BC 为直径的O 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F （1）求证：DF 是O 的切线； （2）分别延长 CB，FD，相交于点 G，A=60，O 的半径为 6，求阴影部分的面积 专题 25.1 随机事件与概率 知识点 1：确定事件和随机事件 （1）必然事件和不可能事件统称确定性事件。 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然

40、事件。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件。 （2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。 随机事件发生的可能性： 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 知识点 2：概率 (1)概率的性质：P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；0P(不确定事

41、件)1。 (2)一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包括其中的 m种结果，那么事件 A 发生的概率nmAP)(。 （3）事件和概率的表示方法： 一般地，事件用英文大写字母 A，B，C，表示事件 A 的概率 p，可记为 P（A）=P 知识点 3：确定事件和随机事件的概率之间的关系 （1）确定事件概率 当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1 当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 （2）确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1 概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 【例题 1】下列成语中，表示必

42、然事件的是（ ） A旭日东升 B守株待兔 C水中捞月 D刻舟求剑 【例题 2】如图所示，在 33 的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰 1 个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（ ） A B C D 【例题3】 编号为2， 3， 4， 5， 6的乒乓球放在不透明的袋内， 从中任抽一个球， 抽中编号是偶数的概率是 专题 25.2 用列举法求概率 知识点 1：列表法求概率 （1）列表法。用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 （2）列表法的应用场合。当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的

43、结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 知识点 2：树状图法求概率 （1）树状图法。就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 （2）运用树状图法求概率的条件。当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【例题 1】在一个不透明袋子中装有除颜色外无其他差别的红球 2 个，绿球 3 个，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球中“有一个红球，一个绿球”的概率是 【例题 2】为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设某校计划

44、从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率 【例题 3】九年级（1）班全班 50 名同学组成五个不同的兴趣爱好小组，每人都参加且只能参加一个小组，统计（不完全）人数如下表： 编号 一 二 三 四 五 人数 a 15 20 10 b 已知前面两个小组的人数之比是 1：5 解答下列问题： （1）a+b （2）补全条形统计

45、图： （3）若从第一组和第五组中任选两名同学，求这两名同学是同一组的概率 （用树状图或列表把所有 可能都列出来） 专题 25.3 用频率估计概率 利用频率估计概率 1.利用频率估计概率。在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3.随机数。在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。 【例题 1】某校对学生“一周课外阅读时间”的情况进行随机抽样调查，调查结果如统计图所示，若

46、该校有2000 名学生，则根据调查结果可估算该校学生一周阅读时间不足 3 小时的人数是（ ） A280 人 B400 人 C660 人 D680 人 【例题 2】某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有 1500 名，估计爱好运动的学生有 人； （4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 【例题 3】“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50 名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于 50 分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图 请根据图中信息完成下列各题 （1）将频数分布直方图补充完整人数； （2）若测试成绩不低于 80 分为优秀，则本次测试的优秀率是多少； （3）现将从包括小明和小强在内的 4 名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率