2023年中考数学专题训练：圆的计算和证明（含答案解析）

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1、中考专题训练圆的计算和证明1如图，AB是O的弦，点C在过点B的切线上，且OCOA，OC交AB于点D(1)判断CBD的形状，并说明理由；(2)若CD3OD，AD8，求O的半径2如图，Rt中，点O为AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径，作交AB于点E，边BC与相切于点D过点C作/交AD延长线于点F(1)求证：；(2)若，求的半径3如图，是的直径，弦于点点是的中点，连接并延长交于点，连接，(1)求证：；(2)若，求的面积4如图，O是的外接圆，AB是的直径，过点A作的切线，交BC的延长线与点D，点E是劣弧BC上的一点，连接AE，CE(1)求证：；(2)若，求的半径5如图，以的边为直径作，交边于点D，

2、为的切线，弦于点F，连结(1)求证：(2)若点F为中点，且，求线段的长6如图，AB为的直径，点C在上，过点C作切线CD交BA的延长线于点D，过点O作交切线DC于点E，交BC于点F(1)求证：；(2)若，求EF的长7如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CEOB，交O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AFPC于点F，连接CB(1)求证：CBECPB；(2)当且时，求扇形COB的面积8如图，内接于O，点E为上一点，点F为的中点，连结BF并延长与AE交于点G，连结AF，CF(1)求证：(2)当BG经过圆心O时，求FG的长9如图，已知AB为O

3、的直径，E是AB延长线上一点，点C是O上的一点，连接EC、BC、AC，且EC是O的切线，C为切点(1)求证：BCEA；(2)过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD3，DE4，求O的半径10如图，点是以为圆心，为直径的半圆上一动点（不与，重合），连接并延长至点，使，过点作的垂线，分别交，于点，连接记，随点的移动而变化(1)当时，求证：；(2)连接，当时，求的长11如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点(1)求证：；(2)若，求的半径12如图，的直径，点是上的动点，是经过点的弦，过点作的切线交的延长线于点，且/(1)若，连，分别求，的长；(2)当点位于的什么位置时，以为顶点的四边形是菱

4、形？请说明理由13如图，是的直径，过点作的垂线，连接，交于点，的切线交于(1)求证：点为的中点；(2)若的直径为3，求的长14如图，的对角线相交于点，经过、两点，与的延长线相交于点，点为上一点，且连接、相交于点，若，(1)求对角线的长；(2)求证：为矩形15读下面材料，并完成相应的任务切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项下面是不完整的证明过程，请补充完整已知：P为外一点，PA与交于A，B两点，PM与相切于点M求证：证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BCPM为的切线，_，CM为的直径，_，_，_，学习任务：如图，若线段AB

5、与相交于C，D两点，且，射线AB，BF为的两条切线，切点分别为E，F，连接CF(1)求证：；(2)若，求的面积16如图，在中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E(1)求证：；(2)连接CD，若，求的度数17已知点C是ABD的边AB上一点，且，AC为的直径，BD切于点D，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M(1)求证：；(2)若的半径为1，求线段EM的长18如图，在中，AB与相切于点C，延长BO交于点P、Q连接CP，CQ(1)若，求的大小(2)若，的半径为求边AB的长度19如图，是O的直径，点E是射线上一点且，过点E作交射线于点F(1)求证：；(2)求证：；(3)当与O相切时，若O的

6、半径为2，求弧的长20如图，PA和PB是的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且(1)求证：(2)若，当是多少度时，？请说明理由(3)若，当_时，四边形DEPF为菱形参考答案1(1)CBD是等腰三角形，理由见解析(2)【分析】（1）由点C在过点B的切线上，且OCOA，根据等角的余角相等，易证得CBD=CDB，即可证得CBD是等腰三角形；（2）设OD=x，则BC=DC=3x，由勾股定理求出，在Rt中，由勾股定理得，求出x的值即可得解【解析】（1）CBD是等腰三角形，OCOA，AOC=90，A+ADO=90，BC切O于点B，OBC=90，OBA+CBD=90，OA=

7、OB，A=OBA，ADO=CBD，ADO=CDB，CDB=CBD，CD=CB；CBD是等腰三角形；（2）CD3OD，AD8，设，则，BC=3x，在Rt中， ， 在Rt中， ， 解得，或（不符合题意，舍去），【点评】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理，正确识图是解答本题的关键2(1)见解析；(2)O的半径为6【分析】（1）连结OD，BC与O相切于点D，由，得到ODAC，由，进一步得，由得，则，得到结论；（2）设O的半径为r，则由可以得到，由ODAC得到，得到，进一步即可得解（1）证明：连结OD，BC与O相切于点D，ODBC，ODAC，又，又，ACF是等腰三角形，（2）解

8、：设O的半径为r，则，由（1）知：ODAC，BODBAC，BB，即O的半径为6【点评】此题考查了切线的性质定理，相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是求的半径的关键3(1)见解析(2)【分析】（1）证明即可；（2）先求出，再利用相似求出，最后根据计算即可(1)是的直径，弦，（公共角），；(2)点是的中点，于点，【点评】本题主要考查垂径定理、相似三角形的判定和性质，由垂径定理得到G是CD的中点是解题的关键本题所考查知识点较多，综合性较强，解题时注意知识的灵活运用4(1)见解析(2)【分析】（1）AD与O相切于点E，AB是的直径，则ABCBAC90，又，结论得证；（2）在，求

9、得BD，由勾股定理得到AB，即得的半径(1)证明：AD与O相切于点E，ABAD，BAD90，AB是的直径，(2)解：在，由勾股定理得，的半径为【点评】此题考查了切线的性质定理、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握定理的应用是解题的关键5(1)见解析；(2)【分析】（1）根据切线的性质以及，可得，可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而即可得证；（2）连接OE，垂径定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入数值即可求解（1）证明 AB是O的直径，BC为O的切线，ABBC，DEAB，DE/BC，弧AE所对圆周角是和，；（2）连接OE，点F为OB中点，ABBC

10、，=，EF=FD=， AF=3，即，得，【点评】本题考查了切线的性质、等弧所对的圆周角相等、垂径定理、相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键6(1)见解析(2)【分析】（1）证明：连接OC，利用圆周角定理及切线的性质定理求出，由圆的半径相等求出，利用平行线的性质求出，即可得到结论； （2）由求出，AC=6，证明求出OE，根据三角形中位线的性质求出OF，即可得到EF（1）证明：连接OC，如图所示：AB为O的直径，DE是O的切线，OB，OC是O的半径，；（2）解：在中，即，O为AB中点，【点评】此题考查了圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角函数，熟练掌握

11、各知识点并应用解决问题是解题的关键7(1)见解析(2)【分析】（1）先证明CEB=CBP90，再由D+P=90，CABCBE90，CAB=D，推出CBE=P，即可证明结论；（2）设CF=3k，CP=4k，先证明FAC=CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2CECP；从而求出sinCBE=，则CBE=60，即可证明OBC是等边三角形，得到COB=60，据此求解即可（1）解：CEOB，CD为圆O的直径，CEB=DBC90，CEB=CBP90，PF是切线，DCP=90，D+P=90，AB是直径，ACB=90CABCBE90，CAB=D，CBE=P，CBECPB；（2）解：，设C

12、F=3k，CP=4k，PF是切线，OCPF，AFPF，AFOCFAC=ACO，OA=OC，OAC=ACO，FAC=CAB，CE=CF=3k，CBECPB，BC2CECP；BC=sinCBE=，CBE=60，OB=OC，OBC是等边三角形，COB=60，扇形COB的面积【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键8(1)见解析；(2)【分析】(1)根据等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，补角的性质证明即可；(2) 利用勾股定理，三角形中位线定理，三角形全等性质计算即可

13、（1）证明：，；（2）连结AO并延长AO交于点H，连结OC，设，则，在中，解得，OH是的中位线，点F为的中点，【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键9(1)见解析(2)O的半径为【分析】（1）连结OC，根据圆周角定理由AB是O的直径得1+2=90，根据切线的性质即可得到BCE+2=90，所以BCE=1，而1=A，即A=BCE（2）设O的半径为r，在RtADE中利用勾股定理计算出AE=5，则OE=5-r，OC=r，证明EOCEAD，利用相似比得到 ，即，然后解方程即可得到圆的半径（1）如

14、图，连接OC，AB是O的直径，ACB90，即1290又EC是O的切线OCEC即BCE290BCE1OCOA1AABCE（2）OCEC又ADECOCAD，EOCEAD 设O的半径为r在RtADE中AD3，ED4则AE=5OE5r；OCr 即O的半径为【点评】本题考察了圆的切线性质及相似三角形的判定与性质，利用圆的切线性质是解决本题的关键点10(1)见解析(2)3【分析】（1）证BHFDHA，根据线段比例关系即可证；（2）过点作于点，可得，设，由正弦定义，则，即，由勾股定理，得，解得的长为3（1）是直径，（2）解：如图，过点作于点由（2）知，平分设，则，在中，由勾股定理，得在中，即在中，即由，得，

15、代入中，得，解得或（舍去）故的长为3【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，运用相似三角形的判定和性质解题是关键11(1)证明见解析(2)5【分析】（1）连接，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可证得结论；（2）连接，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径，从而求得半径（1）证明：连接，为的切线，又，（2）解：连接，是直角三角形，是的直径，即，的半径是5【点评】本题考查了切线的性质和圆的基本性质、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形.通过作辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键12(1)；(2)当点位于的中点位置时，以为顶点的四边形为菱形

16、，理由见解析【分析】（1）利用勾股定理得出BC的长，再证明得出AE的长，由勾股定理得CE的长，再由垂径定理即可得出答案；（2）利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形求出即可(1)解：的直径，的直径，过点的的切线交的延长线于点，且. ， ， (2)解：当点位于的中点位置时，以为顶点的四边形为菱形如图，理由：由（1）得，当时，四边形为平行四边形，又，以点为顶点的四边形为菱形.【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以、菱形的的判定、勾股定理等知识此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用13(1)见解析(2)【分析】（1）连接，分别证明和，从而可得结论；（2）根据

17、勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可得结论（1）连接，DE是圆的切线，AB是的直径， 又 ， ，又，点为的中点；（2），在中， ，【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键14(1)(2)见解析【分析】（1）利用弧相等，由圆周角定理推论推出，由相似三角形的性质可求的长度，再利用平行四边形的性质可求出的长度；（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得证(1)解：是直径，又，四边形是平行四边形，(2)由（1）可知：，是直角三角形，四边形是平行四边形，为矩形【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质、矩

18、形的判定、勾股定理理解和掌握圆周角定理的推论及相似三角形判定及性质并能进行灵活应用是解决本题的关键15(1)CMP；CBM；BMP；PMA；见解析(2)27【分析】阅读材料：连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC，证PMA即可得出结论；（1）由阅读材料得，再由AC=BD，证AD=BC，即可得出结论；（2）由阅读材料得，从而求出，再过点F作于点G，解求出，最后利用计算即可求解（1）阅读材料证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BCPM为的切线，CMP，CM为的直径，CBM，BMP，PMA，故答案为：CMP，CBM，BMP，PMA（1）证明：AE，BF为的两条切线，即，

19、（2）解：，设，则，由由阅读材料得，即，解得，如图1，过点F作于点G，在中，即，【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，本题属阅读材料题，通过阅读，探究出一个结论，再运用结论解决其他问题，属中考试常用考类型16(1)见解析(2)130【分析】（1）根据B，C是的三等分点，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；（2）根据圆周角定理得出CAD=BDA=BDC=25，根据三角形内角和定理求出AED，再求出答案即可【解析】（1）证明：B，C是的三等分点，AC=BD；（2）连接AD，BDC=25，CAD=BDA=BDC=25，AED+CAD+BDA=180，AED=18

20、0-CAD-BDA=180-25-25=130，BEC=AED=130，故答案为：130【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键17(1)见解析(2)【分析】（1）连接CD，根据题意可得出BC=OA，CD=OD，AOD=BCD，利用SAS证明AODBCD即可得出结论；（2）由AODBCD知AD=BD，运用勾股定理可得出，连接DM，证明得，即，设EM=x，代入相关数据得方程，求出x的值即可(1)连接CD，如图，BD是切线，DE是圆的直径， 是直角三角形.， 点C为OB的中点，CD为OB边上的中线， ， ， 在和中， ，(2)AC是圆的直

21、径， 是直角三角形， ， 由勾股定理得， 由（1）知，在中， 连接DM，DE是圆的直径， ， ，又， ，即，设EM=x，则，解得，【点评】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确证明是解答本题的关键18(1)30(2)【分析】（1）根据切线的性质求出，再根据圆周角定理求的大小即可；（2）证明结合即可求出BQ的长度，再由相似得到的比例即可求出BC的长度，最后根据AB=2BC求值即可（1）如图，连接COAB与相切于点C， ，（2）PQ是的直径， ，解得，【点评】本题综合考查切线的性质、圆周角定理、正切、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质

22、，考查的知识点比较多，但是都比较简单，正确的作出辅助线是解题的关键19(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由垂径定理及三角形中位线定理即可求解；（2）先证明，再根据平行线的性质得出，即可证明；（3）连接，先证明为等边三角形，再利用弧长公式计算即可(1)证明：，点D是的中点，点O是的中点，(2)证明，是O的直径，(3)解：连接，与O相切时，在中，为等边三角形，【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、平行线的性质、切线的性质、全等额三角形的判定、等边三角形的判定与性质及弧长公式，熟练掌握知识点是解题的关键20(1)见解析(2)70，理由见解析(3)60【分析】（1）连接AO、BO、O

23、P，根据切线的性质及全等三角形的判定证明APOBPO，即可求解；（2）由（1）得到AP=BP，根据三角形内角和定理得到PABPBA70，证明AFDBDE，根据全等三角形的性质得到AFDBDE，根据三角形的内角和，得到答案；（3）根据菱形的性质与直角三角形的性质证明BD=BE=DE，得到BDE是等边三角形，根据三角形内角和即可求解（1）连接AO、BO、OP，PA和PB是的两条切线，A，B为切点，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AO=BO，OP=OP，APOBPO（HL），AP=BP；（2）当是70度时，证明如下：由（1）可得PAPB，PABPBA（18040）70，在AFD和BDE中

24、，AFDBDE（SAS）AFDBDE，EDF180BDEADF180AFDADFFAD70，故是70度时，（3）如图，当四边形DEPF为菱形时，APD=BPD，EP=DE=DF=PF，AP=BP，DP=DP，APDBPD（SAS），AD=BD，DPAB，BDP是直角三角形，DE=EP，DPE=PDE，DPB+DBP=PDE+BDE=90，DBP=BDE，DE=BE，BD=BE=DE，BDE是等边三角形，DBE=60=PAD，APB=180-DBE-PAD =60，故答案为：60【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键