2022年九年级中考数学专题训练：二次函数与不等式（含答案解析）

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1、中考专题训练二次函数与不等式1二次函数的部分图象如图， 其中图象与轴交于点， 与 轴交于点， 且经过点(1)求此二次函数的解析式(2)图象过三点， 比较的大小（用 连接）(3)直接写出不等式的解集；2在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若，比较与的大小，并说明理由；(3)若对于，都有，直接写出m的取值范围3如图，抛物线和反比例函数的图象都经过(1)求抛物线顶点B的坐标和反比例函数的表达式，并在同一坐标系中画出函数的图象；(2)点在反比例函数的图像上，求的面积；(3)根据函数图象，直接写出不等式的解集4已知抛物线 的图象如图所示，它与x轴的一

2、个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；(2)根据图象回答：当x取何值时，？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标5已知二次函数(1)写出该二次函数的顶点坐标；(2)求出该二次函数图象与x轴的交点坐标，并画出函数图象；(3)求出当x取何值时，？6已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集；(3)若点C是点B关于x轴的对称点，连接，求的面积7如图，抛物线经过点和点，与x轴另外一个交点为B(1)求此抛物线的解析式；(2)若顶点为D，求

3、点D的坐标；(3)当时，求x的取值范围8已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线上的一点，且与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过两点，求直线的函数解析式；(3)根据图像直接写出不等式组的解集9如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点C，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D，(1)求二次函数的解析式；(2)若直线与轴的交点为点，连接，求的面积；(3)直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围10已知抛物线的图像如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为(1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；(2)

4、根据图像回答：当x取何值时，?(3)在该抛物线的对称轴上有一动点P，连接和试问：是否存在的最小值？如有，求出点P的坐标11在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果 ，那么称点Q为点P的“关联点”：点 的“关联点”是点，点的“关联点”是点(1)下面哪个点的“关联点”在函数的图像上 ABCD(2)如果点M在二次函数的图像上，其“关联点”是点，求点M的坐标(3)如果点P在函数 的图像上，其“关联点”Q的纵坐标y的取值范围是，直接写出实数a的取值范围12小明用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：x012y500(1)由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的_；(2)

5、在图中画出这个二次函数的图象；(3)当时，y的取值范围是_（直接写出答案）13如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），第一象限内的点C在该抛物线上(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)若的面积为12，求点C坐标；(3)在第（2）问的条件下，直线经过点A、C，当时，直接写出x的取值范围14若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）(1)判断：函数 _ “明德函数”（填“是”或“不是”）；函数的图像上的明德点是 _；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围

6、；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值15已知抛物线（）过，三点(1)求抛物线与轴的交点；(2)求，的值（用含有的代数式表示）；(3)若，求的取值范围16在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，(1)求抛物线的对称轴；（用含的式子表示）(2)记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，求的取值范围17已知抛物线图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：0123500(1)求

7、此抛物线的解析式；(2)画出函数图像，结合图像直接写出当时，的范围；(3)若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出的取值范围18已知二次函数(1)求此函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)画出此函数的图像（不需要列表）；(3)若点和都在此函数的图像上，且，结合函数图像，直接写出m的取值范围19已知二次函数（如图） (1)用配方法将化成的形式；(2)设抛物线与x轴的一个交点为A（非原点），顶点为B，则A点坐标为 ，B点坐标为 ；(3)若直线经过A，B两点，请直接写出当时，自变量x的取值的范围是 20在平面直角坐标系中，已知抛物线(1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；(2)已知点 当

8、抛物线过点时，求的值； 点的坐标为若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围参考答案：1(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可；（2）根据解析式求得的值，比较即可；（3）根据图象开口方向和与x轴的交点即可作答【解析】（1）将、分别代入中得：，解得，二次函数的解析式为；（2）将分别代入中得，；（3）令二次函数得，解得，二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为，的解集为或【点评】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2(1)抛物线顶点坐标为(2)，理由见解析(3)【分析】（1）将二次函数

9、解析式化为顶点式可求解（2）分别将，代入解析式求解（3）求出点关于对称轴的对称点为，根据抛物线的开口向上以及求解【解析】（1）解：抛物线顶点坐标为（2）将代入得将代入得（3）抛物线对称轴为直线，点关于对称轴对称点为，抛物线开口向上，解得【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系3(1)；图象见解析(2)(3)或【分析】（1）把分别代入和中，解方程即可得到结论；（2）把点在反比例函数的图像上，得到点，根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据函数的图象即可得到结论【解析】（1）解：把代入得，解得，抛物线顶点B的坐标为；把代入得，反比例函数的表达式为；

10、在同一坐标系中画出函数的图象如图所示；（2）解：点在反比例函数的图像上，点，的面积；（3）解：由函数图象知，不等式的解集为或【点评】本题考查了待定系数法求二次函数和反比例函数的解析式，三角形面积的计算，反比例函数的图形，不等式的解集，正确地求出函数的解析式是解题的关键4(1)，点B的坐标为(2)(3)【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）观察图象得：当时，即可；（3）作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点，求出直线的解析式，即可求解【解析】（1）解 把点，代入抛物线 可得方程组 ，解得：，所以函数表达式为 ，当时，解得；另一个交点B的坐标为；（2）解观察图象得：当时，；

11、（3）解 如图，作抛物线的对称轴与直线交于点P，则交点就是所求的点设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，直线的函数式为，抛物线对称轴为直线，当时，即点【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键5(1)顶点坐标为；(2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为，图象见解析(3)当或时，【分析】（1）根据抛物线的顶点式，求出顶点坐标；（2）令，求得该二次函数图象与x轴的交点坐标，描点、连线即可画出图象；（3）根据图象求得时，x的取值范围【解析】（1）解：二次函数，对称轴直线x=

12、1，顶点坐标为；（2）解：令，得，该二次函数图象与y轴的交点坐标为，由对称性质知，还经过点，令，得，该二次函数图象与x轴的交点坐标为，描点、连线，函数图象如图所示， ；（3）由图象知，当或时，【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，求出抛物线的顶点坐标，对称轴，与x、y轴的交点坐标，是解题的关键6(1)，图见解析(2)(3)6【分析】（1）根据二次函数的图象过点，可得到，再利用待定系数法解答，即可求解；（2）直接观察图象，即可求解；（3）根据题意可得点，从而得到中边上的高为3，再根据三角形的面积公式计算，即可求解【解析】（1）解：二次函数的图象过点，；，一次函数的图象过A点和B点，解

13、得：，一次函数的表达式为，描点作图如下：（2）解：由（1）中的图象得，不等式的解集为：；（3）解：点C是点B关于x轴的对称点，点，中边上的高为3，【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系等，数形结合是解题的关键7(1)(2)(3)或【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据（1）所求，把抛物线解析式化成顶点式即可得到答案；（3）利用图象法求解即可；【解析】（1）解：抛物线经过点和点，抛物线解析式为；（2）解：抛物线解析式为，抛物线顶点D的坐标为；（3）解：令，则，解得，点B的坐标为，由函数图象可知，当时，或【点评】

14、本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，图象法求不等式的解集，正确求出二次函数解析式是解题的关键8(1)；(2)；(3)【分析】（1）直接代入求得函数解析式即可；（2）根据对称性质求得点坐标，再用待定系数法求得的解析式便可；（3）根据函数图像得出直线不在抛物线下方，且抛物线在轴上方的的取值范围便可【解析】（1）解：抛物线经过，三点，解得，抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为：，点是抛物线上的一点，且与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过两点，解得，直线的函数解析式为；（3）根据函数图像可知，当直线不在抛物线下方，且抛物线在轴上方时，故不等式组的解集为：【点评】本题考查二次函数图

15、像与一次函数图像的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式组，解决问题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图像与性质9(1)；(2)4；(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出点C坐标，利用抛物线的对称性确定D点坐标，然后求出直线的解析式，得到点E坐标，根据计算即可；（3）写出一次函数图象在抛物线上方时所对应的自变量的取值范围即可【解析】（1）解：把点，代入得：，解得：，二次函数的解析式为；（2）解：当时，的对称轴为直线，设直线的解析式为，代入，得：，解得：，直线的解析式为，把代入得，即的面积为4；（3）解：一次函数图象与二次函数图象交于点，由函数图象得：一次函数值大

16、于二次函数值的的取值范围为或【点评】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，根据函数图象确定不等式的解集等知识，熟练掌握待定系数法以及数形结合思想的应用是解题的关键10(1)；(2)；(3)存在，【分析】（1）用待定系数法求抛物线的解析式，然后令，求解一元二次方程的解即可求出另一个交点B的坐标；（2）利用数形结合的方法求解即可；（3）根据抛物线的对称轴的性质，以及两点之间线段最短即可确定点P的位置，然后用待定系数法求出直线的表达式，即可求得点P的坐标【解析】（1）解：根据题意，可知，两点均在抛物线的图像上，令得，或，抛物线的解析式为；与x轴的另一个交点B

17、的坐标为；（2）解：，根据图像可知：当时，；（3）解：抛物线的对称轴为直线，两点关于抛物线的对称轴对称，当共线时，最小，连接交对称轴于点P，则点P即为所求点，使最小，设直线的表达式为：，在直线上，直线的表达式为：，当时，存在的最小值，此时点P的坐标【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像与性质，利用轴对称求最短路径等知识，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质和两点之间线段最短是解答此题的关键11(1)C(2)点M的坐标为(3)【分析】（1）分别求出各的“关联点”然后再判断其是否在函数的图像上即可；（2）分和两种情况，分别求出点M的

18、坐标，然后代入方程求解即可；（3）如图为“关联点”函数图像：从函数图像看，“关联点”Q的纵坐标的取值范围是，而的函数图像只需要找到最大值（直线）与最小值（直线）直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束都符合要求，只要求出关键点的坐标即可【解析】（1）解：由题意新定义知：点 “关联点”是，点)的“关联点”是，点的“关联点”是，点的“关联点”是，在函数的图像上点 “关联点”在函数的图像上故选C（2）解：当时，点，则，解得：，（舍）；当时，点，则，解得： （舍）所以点M的坐标为（3）解：如下图所示为“关联点”函数图像：从函数图像看，“关联点”Q的纵坐标y的取值范围是而，函数图像只需要找到最大值（直

19、线）与最小值（直线）直线从大于等于0开始运动，直到与有交点结束，都符合要求， ，解得：(舍去负值) 观察图像可知满足条件的a的取值范围为：【点评】本题属于二次函数综合体，主要考查了“关联点”的定义、二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题意并灵活运用相关知识成为解答本题的关键12(1)2(2)见解析(3)【分析】（1）认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；（2）利用描点、连线，画出函数图象即可；（3）根据图象即可求得【解析】（1）解：从表格可以看出，当或时，可以判断，是抛物线上的

20、两个对称点，就是顶点，设抛物线顶点式，把代入解析式，解得，所以，抛物线解析式为，当时，当时，所以这个错算的值所对应的，故答案为：2；（2）解：画出这个二次函数的图象如图：（3）解：由图象可知：当时，随着增大而减小，当时，随着增大而增大，当时，取到最小值，当时，当时，故答案为：【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与轴轴）的交点，确定二次函数的解析式是解题的关键13(1)，(2)(3)【分析】（1）令，然后解方程即可求得；（2）根据的面积求得C的纵坐标，代入解析式即可求得C的坐标；（3）根据图象即可求得【解析】（1）解：令，则，解得，；（2）解：，解得，解得（不符题

21、意，舍去），；（3）解：由图象可知，当时，x的取值范围是，【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键14(1)不是；（2，4）(2)或，且(3)或【分析】（1）根据定义，即可得到结果；（2）根据抛物线上有两个“明德点”，可知，得到，求解一元二次不等式方程即可；（3）若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知 ，得到方程，再进行分类讨论即可求出值【解析】（1）时无解，不是“明德函数”；根据定义，解得：，（舍去），明德点是（2，4）；（2）抛物线是“明德函数”，整理得：，抛物线上有两个“明德点”，即，解得：或，的取值范围为或且；（3）函数的图像

22、上存在唯一的一个“明德点”，且，即，是关于的二次函数，对称轴为，若，则当，时，有最小值，即，解得：或（舍去）；若 ，则当时，有最小值，即，方程没有实数根；若，则当时，有最小值，解得，综上可知：或【点评】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键15(1)(2)，(3)或【分析】（1）当时，得，即可得出交点；（2）将，、代入中计算即可；（3）分类讨论，时满足的条件，进而求解【解析】（1）解：当时，得，与轴的交点为；（2）解：将代入得：，将代入得，将代入得，；（3）解：由（2），当时，抛物线开口向下，若，则，解得，当时，

23、抛物线开口向上，若，则，解得，综上所述，或【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质16(1)(2)或(3)或【分析】（1）将一般式转化为顶点式即可得解；（2）将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可；（3）分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可【解析】（1）解：，对称轴为：；（2）解：由可知：抛物线的顶点坐标为：，当时：，当时：，过点垂直于轴的直线：，如图：由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点，的取值范围为：或；（3）解：，当时，当在点的左侧，即：，时：

24、在对称轴的左侧，随的增大而减小，点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，解得：或（舍掉）；当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；当对称轴的右侧，即时，当时，此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；当对称轴的右侧，即时，当时， 此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，解得：（舍），或；综上： 或【点评】本题考查二次函数的综合应用熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键17(1)(2)(3)，或【分析】（）选表中三个数对，代入，解方程组，得到，将a、b、c的数值代回即得；（2）以表中每一对数值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点画图，得到二

25、次函数的图象，由图象看出， 自变量当时，函数值；（3）从图象看出点和对称，根据点和都在此函数的图象上，且，得到，或【解析】（1）将，代入，得到，解得，；（2）以表中每一对数值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，然后用顺滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数的图象，由图象看出，对称轴是直线，在范围内，当时，当时，当时，；（3）点，对称，点和都在此函数的图象上，且，或【点评】本题主要考查了二次函数极其图象，二次函数与不等式等，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式，画函数图象，图象法解不等式18(1)对称轴为直线，顶点坐标为；(2)见解析；(3)或【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解

26、即可；（2）先列表，然后描点、连线即可；（3）由函数图像过点和，根据函数图像求解即可【解析】（1）解：抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；（2）解：列表得：300函数图像如下图所示：（3）解：函数图像过点和，由函数图像可知，当时，或【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键19(1)；(2)，；(3)【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）令，解方程得A点坐标；根据顶点式可写出点B坐标；（3）根据两个函数的图像，利用数形结合的方法，求出自变量x的取值的范围【解析】（1）解：=，故为所求；（2）解：令，或

27、，点A非原点，；由（1）问，可知顶点；故答案为：，；（3）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点C，则，如图，由图像可知，当时，直线在抛物线的图像的上方，自变量的取值的范围是：；故答案为：【点评】此题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的顶点式、二次函数的图像与x轴的交点、二次函数与一次函数比较函数值的大小是解此题的关键20(1)(2)，或【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）将点代入解析式，解一元二次方程，即可得的值；根据的结论，结合图形即可求解（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为（2） 点在抛物线上， 解得， 解：抛物线的对称轴为，点的坐标为，根据可得，点在抛物线上，当时，点在对称轴的右侧，此时抛物线与线段恰有一个公共点，如图，当时，点在对称轴的左侧，此时抛物线与线段恰有一个公共点，如图，综上所述， 或【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键