2022年中考数学专题训练：证明圆的切线（含答案解析）

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1、中考专题训练证明圆的切线1如图，为的直径，是的切线，连接，过点A作交于点D，连接，并延长与的延长线相交于点C(1)直线与相切吗？并说明理由；(2)若，求的长2如图，是的直径，是的弦，连接、，其中，平分，过点B作交的延长线于E(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积3已知：如图是的直径，与分别相切于点、点，平分(1)求证：是的切线；(2)若的直径为10，设，求关于的函数解析式4如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求半径的长5如图，在中，是的直径，是的切线，切点是，连接，过点作，与交于点，连接(1)求证：是的切

2、线；(2)若的半径为3，求的长度6如图，中，点O在线段上，与相切于点E(1)求证：与相切；(2)已知，当与也相切时，求的半径7如图，是的直径，点为上一点，平分，交于点，交于点，延长到点，使得(1)求证：与相切；(2)若的半径5，求的长8如图，是的直径，为上一点，平分交于点过点作交的延长线于点(1)求证：是的切线(2)若，求半径9如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，连接并延长与的延长线交于点，连接(1)求证：为的切线；(2)若半径为3，求线段的长10如图，是O的直径，射线交O于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点(1)证明：是O的切线；(2)若，求O的半径11

3、如图，AB为O的直径，C为O上一点，BE与过点C的直线互相垂直，垂足为E，BC平分ABE，延长BA交直线CE于点D，连接AC(1)求证：DE为O的切线；(2)若BC，sinEDB，求O的半径12如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D(1)求证：AC为的切线；(2)若，求线段AD的长13如图，在ABC中，AB=AC，以AC边为直径作O交BC于点D，过点D作交AB于点E，交AC的延长线于点F(1)求证：DE是O的切线；(2)若EB=1，且，求DF的长14如图，在ABCO中，以点O为圆心，OC长为半径作O，O分别交BCOA于点E、F，CO的延长线

4、交O于点D，连接AD、AE，已知AE是O的切线(1)求证：AD是O的切线(2)若ABBE6，求的长（保留）15如图，与等边的边，分别交于点D，E，是直径，过点D作于点F(1)求证：是的切线；(2)连接，当是的切线时，求半径r与等边边长a的比值16如图，AB是O的直径，点F，C是O上两点，且，连接AC，AF，过点C作CDAF交AF延长线于点D，垂足为D(1)求证：CD是O的切线；(2)若CD，求O的半径17如图，AB为的直径，C、D为上的两点，过点C做直线，交AD的延长线于点E，连接BC(1)求证：EF是的切线；(2)若，求劣弧的长l18如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，F为AB延长线

5、上一点，连接CF，DF（1）若OE3，BE2，求CD的长；（2）若CF与O相切，求证DF与O相切19已知：如图，在中，D是BC的中点以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E（1）求证：AD是的切线；（2）若PC是的切线，求PC的长20如图，四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，过点C作CEAD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，CDCB，连接AC（1）求证：EF为O的切线；（2）过点C作CHAB，垂足为H，若DE1，CH3，求AC长参考答案1(1)相切，见解析(2)6【分析】（1）连接，证明，得证即可（2）连接，设，根据勾股定理，得，再利用平行线分线段成比例定理，计算

6、【解析】（1）直线与相切，理由如下：连接，是的切线，所以直线与相切（2）连接，设，根据勾股定理，得，解得，解得【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理是解题的关键2(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线平分角定义，得到，根据同圆的半径相等，得到，推出，得到，根据，得到，推出是的切线（2）过点O作于H，连接，得到，根据，推出四边形是矩形，得到，根据， ，得到,结合，得到， 得到，推出，推出，推出，得到，得到，推出，推出【解析】（1）证明：平分，是的切线（2）过点O作于H，

7、连接，则，,，四边形是矩形，且，,，,，【点评】本题主要考查了角平分线，垂径定理，矩形，圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形，梯形，扇形等，解决问题的关键是熟练掌握角平分线定义，垂直弦的直径平分弦，矩形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补，梯形面积公式，扇形面积公式3(1)见解析(2)【分析】（1）过O作于点E，则依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，故此为的半径，则是的切线；（2）如图2所示：过O作于点E，过点D作于点F，则，由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到，从而可得到y与x的函数关系式【解析】（1）证明：

8、过O作于点E，则与相切于点A，平分，是的半径，是的半径是的切线（2）解：如图2所示：过O作于点E，过点D作于点F，则，由切线长定理可得：，在中，整理得：，；【点评】本题主要考查的是切线的性质和判定，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键4(1)直线与相切，证明见解析(2)6【分析】（1）连接，证，得到，再由，证得，结合已知点D在上，最后证得直线与相切；（2）连接，设半径为x，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求得半径【解析】（1）解：直线与相切，证明如下：如图，连接，点D在上，平分，又，点D在上，是的切线，即直线

9、与相切（2）解：如图，连接，设半径为x，则，在中，即，解得，即半径为6【点评】本题考查了切线的判定及性质，掌握切线的判定方法，勾股定理是解题的关键5(1)见解析(2)【分析】（1）根据是的切线，得出，证明，得出，即可得证；（2）根据是的直径，得，进而得出，根据垂径定理可得，勾股定理得出，等面积法求得的长，继而求得的长，在中，勾股定理即可求解【解析】（1）证明：如图，连接，是的切线，在与中，是的切线；（2）解：如图，连接交于点，是的直径，在中，在中，【点评】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键6(1)见解析(2)【分析】（1）过点O作于

10、点F，连接，根据等腰三角形的性质可得平分，再由切线的性质可得，然后根据角平分线的性质定理，可得，即可求证；（2）根据切线长定理可得，再由勾股定理可得，从而得到，在中，由勾股定理，即可求解【解析】（1）证明：如图，过点O作于点F，连接，平分，与相切于点E，即为的半径，与相切；（2）解：如图，根据题意得：与相切于点D，与相切于点E， ， ，设的半径为r，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的半径为【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键7(1)见解析(2)【分析】(1) 连接，可证得

11、，根据圆周角定理可得，再根据平分，可得，再根据等腰三角形的性质即可证得，据此即可证得；(2)首先根据勾股定理可求得的长，再由，可得，即可求得，最后由，即可求得【解析】（1）证明：如图：连接，是的直径，平分，与相切；（2）解：，是的直径，得，得，解得或(舍去)，【点评】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定定理及性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键8(1)见解析；(2)5【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；（2）过点作于，证明四边形为矩形，设的半径为，由勾股定理列出方程求解【解析】（1）证明

12、：连接，平分，为半径，是的切线；（2）解：过点作于，四边形为矩形，设的半径为，则，解得半径为5【点评】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键9(1)见解析(2)【分析】（1）根据切线的判定方法，证出即可；（2）先在中利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理建立关于的方程，然后求解即可【解析】（1）解：连接，是的切线，即，是弦，在和中，（），即，为的切线；（2）解：在中，在中，即，【点评】本题考查切线的判定和性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定方法并作出合理的辅助线是解题的关键10(1)见解析(2)8【分析】（1）连接OE，证明OEBF，得到OEFG，即可得证（2）

13、连接OE，AE，证明GAEGEB，求得GB、AB的长，半径即可得解【解析】（1）如图，连接OE， 因为平分，所以OBE=FBE；因为OE=OB，所以OBE=OEB；所以FBE=OEB，所以OEBF，因为，所以OEFG，所以是O的切线（2）如图，连接OE，AE，因为AB是直径，GF是圆的切线，所以OEG=AEB=90，所以GEA=OEB；因为OE=OB，所以OBE=OEB；所以GEA=GBE，因为G=G，所以GAEGEB，所以，因为，所以，解得GB=18，所以AB=GB-AG=18-2=16，所以圆的半径为8【点评】本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相

14、似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键11(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质以及平行线的判断可得OCBE，再垂直的性质得出OCDE，由切线的判断方法可得结论；（2）设半径为x，由锐角三角函数可得OD=3x，由勾股定理可得DC=2x，由平行线分线段成比例定理可求出，BE，在RtBCE中有勾股定理列方程求解即可（1）连接OC，BC平分ABE，ABCCBEOCOB，OCBABC，OCBCBE， BEDE， OCDE点C在O上， DE为O的切线（2）设半径为x，即OA=OC=OB=x，OD=3x，OCBE，在RtBCE中，由勾股定

15、理得，CE2+BE2=BC2，即 （负值合），O的半径为【点评】本题考查切线的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质以及勾股定理，掌握切线的判断方法以及平行线分线段成比例定理是解决问题的前提12(1)见解析；(2)【分析】（1）连接OB，证明CAOBAO（SSS），由全等三角形的性质得出OCAOBA由切线的性质得出ABO90，则OCA90，可得出结论；（2）由勾股定理求出BD的长，设ACx，则ACABx，得出方程，解方程可得x，进一步得出答案（1）证明：如图，连接OB， ， OBC是等腰三角形，OA是CB的垂直平分线，在CAO和BAO中 （SSS），AB为的切线，OBAB,，OC是的半

16、径，AC为的切线；（2）解：，设，则，（负根已舍去），【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明CAOBAO是解题的关键13(1)见解析(2)【分析】（1）连接OD，直接利用切线判定定理证明即可；（2）根据sinCFD=，则设OD=3x，OF=5x，可得EB=1，解出x，用勾股定理即可（1）(1)连接OD，AB=AC，B=ACD，OD=OC，ODC=OCD，B=ODC，OD/AB，DEAB，ODEF，EF是O的切线；（2） ，设OD=3x，OF=5x，则AB=AC=6x，AF=8x， ，【点评】本题是圆的综合问题，涉及到切线的判定和

17、性质，三角函数，勾股定理等知识点，本题第二问关键在于能够用表示OD的字母表示出EB14(1)见解析；(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质求出AODAOE，然后利用SAS证明AODAOE，求出AEOADO90即可；（2）利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质求出AOE2OAE，可得OAE30，AOE60，进而得到COF120，然后利用弧长公式计算即可(1)证明：连接OE，在ABCO中，AO/BC，AODOCE，AOEOEC，OEOC，OECOCE，AODAOE，在AOD和AOE中，AODAOE（SAS），AEOADO，AE是O的切线，AEO90，AEOADO90，即ODAD

18、，AD是O的切线；(2)解：ABBE6，BAEBEA，在ABCO中，AO/BC，BAOBCO，ABOC6，OAEBEA，BAEOAE，BAO2OAE，BCO2OAE，由（1）可知AOEOECOCE，AOE2OAE，AEO90，AOEOAE90，OAE30，AOE60，AOEOECOCE60，EOC60，COFEOCAOE120，【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及弧长公式的应用等，能够灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键15(1)见解析(2)r=a【分析】（1）连接OD，根据已知条件可推出DOA是等边三角形，利用ODA=C即

19、可证明ODBC，进而即可知DFC=ODF=90，即可求证；（2）用含有a和r的式子分别表示出BE和BF的长，根据BF=2BE列出等式即可找到r与a的数量关系（1）证明：连接OD，如图所示：DAO=60，OD=OA，DOA是等边三角形，ODA=C=60，ODBC，又DFC=90，ODF=90，ODDF，即DF是O的切线；（2）设半径为r，等边ABC的边长为a，由（1）可知：AD=r，则CD=a-r，BE=a-2r在RtCFD中，C=60，CD=a-r，CF=(ar)，BF=a- (ar)，又EF是O的切线，FEB是直角三角形，且B=60，EFB=30，BF=2BE，a-（a-r）=2（a-2r）

20、，解得：a=3r，即r=a，O的半径r与等边ABC的边长a之间的数量关系为：r=a【点评】本题考查圆切线的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握圆切线的判定与性质以及等边三角形性质，以及利用已知条件分别表示出BE和BF的长，根据BF=2BE列出等式是解决本题的关键16(1)见解析(2)4【分析】（1）连接OC，由根据圆周角定理得FAC=BAC，而OAC=OCA，则FAC=OCA，可判断OC/AF，由于CDAF，所以OCCD，然后根据切线的判定定理得到CD是O的切线；（2）连接BC，由AB为直径得ACB=90，由得BOC=60，则BAC=30，所以DAC=30，在RtADC中，利用含30度的直

21、角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在RtACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得O的半径（1）连接OC，如图，FAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，FAC=OCA，OC/AF，CDAF，OCCD，CD是O的切线；（2）连接BC，如图，AB为直径，ACB=90，BOC=180=60，BAC=30，DAC=30，在RtADC中，CD=，AC=2CD=，在RtACB中，BC2+AC2=AB2，即（）2+（AB）2=AB2，AB=8，O的半径为4【点评】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，熟练掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键17

22、(1)见解析(2)【分析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质得到OAC=OCA，求得DAC=OCA，推出，再由得到，据此证得结论；(2)连接OD，DC，由(1)知DAC=OAC，根据圆周角定理可得，根据三角函数的定义得到ECD=30，再证得是等边三角形，最后根据弧长公式即可求得（1）证明：连接OC，又，又是的半径，是的切线；（2）解：连接OD，DC，在中，又是的切线，OCD=60，COD是等边三角形，是等边三角形，【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确的作出辅助线是解题的关键18（1）8；（2）见解析【分析】（1

23、）连接OC，利用勾股定理求解CE4，再利用垂径定理可得答案；（2）证明 再证明 可得 从而可得结论.【解析】（1）解：连接OC，CDAB，CEDE，OCOBOEBE325， 在RtOCE中，OEC90，由勾股定理得：CE2OC2OE2，CE25232，CE4， CD2CE8. （2）解：连接OD，CF与O相切，OCF90，CEDE，CDAB，CFDF， 又OFOF，OCOD，OCFODF，ODFOCF90，即ODDF 又D在O上， DF与O相切【点评】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的应用，切线的性质与判定，证明OCFODF得到ODFOCF90是解本题的关键.19（1）见解析；（2）【分析】

24、（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明BDA=90即可；（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出PC的长【解析】（1）证明：AB AC，D是BC的中点，ADBD又BD是O直径，AD是O的切线（2）解：连接OP. 点D是边BC的中点，BC 8，AB=AC，BD DC4， ODOP 2OC 6. PC是O的切线，O为圆心， 在RtOPC中，由勾股定理，得OC2 OP2 + PC2PC2 OC2OP2 6222【点评】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键20（1）见解

25、析；（2）【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求得，得到，即可求解；（2）通过证明，得到，勾股定理求得，再根据即可求解【解析】（1）证明：连接OC，CDCB，DACBAC，COB2CAB，DABCOB，OCAE，CEAD，OCEF，EF为O的切线；（2）解：由（1）知DACBAC，CEAD，CHAB，CECH，CDCB，BHDE1，AB为O的直径，ACB90CHB，CBH+BCH90，ACH+BCH90，CBHACH，ABCCBH，即，【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的判定和性质定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解