中考数学第第二轮复习:函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形(提高卷)含答案
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1、第5讲:函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形题型一:存在问题中的三角形中考说明:函数图象上因动点产生的特殊三角形(包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形). 解决此类问题可分三步:找点求点定点.找点可利用尺规作图;求点需利用等量关系或联立解析式;定点指依题意确定符合要求的点坐标.典题精练【例1】 如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点、(点在点的左侧),抛物线的对称轴与轴交于点,问在对称轴上是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 由等腰三角形两腰相等,线段可分别充当“腰”与“底”的角色,分别以、为圆心,以的长为半径画圆与对称
2、轴的交点,以及线段的垂直平分线与对称轴的交点为点. 【解析】 存在符合条件的点由,当时,当时,当时,连接,过作对称轴的垂线,由勾股定理可得综上所述,符合条件的点的坐标为,.【例2】 如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点、(点在点的左侧),在抛物线上是否存在一点,使得为直角三角形?若存在,请用尺规作出所有符合条件的点,并求出以为直角边时点的坐标;若不存在,请说明理由【分析】 由直角三角形一个角为直角,可充当直角边和斜边的角色,当为直角边,分别过、两点作线段的垂线,与抛物线的交点即为点;当为斜边,以为直径所画的圆与抛物线的交点即为点.【解析】 存在符合条件的点,所有符合条件的点如图所示:由,可知,坐
3、标为由,易得,的解析式为,联立可得解得或(舍)可得坐标为综上所述,以为直角边时点的坐标为,.【例3】 如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点、(点在点的左侧),设为轴正半轴上的一个动点,请在抛物线上求一点,使得为等腰直角三角形.【分析】 线段可以充当“斜边”和“直角边”的角色当为直角边时,又存在两种情况:或因此,共有种情况【解析】 当为直角边时,或若,则与或重合,若,则,分别作与的角平分线交抛物线于两点,即为,直线与直线解析式分别为、,分别与抛物线解析式联立,可得坐标为,坐标为当为斜边时,点坐标同上综上所述,所求的点坐标为,.题型二:存在问题中的四边形中考说明:函数图象上因动点产生的特殊四边形(包
4、括平行四边形、梯形)问题.解决此类问题可分三步:找点求点定点.找点可利用尺规作图;求点需利用等量关系或联立解析式;定点指依题意确定符合要求的点坐标.典题精练【例4】 已知抛物线: 求抛物线的顶点坐标. 将抛物线向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线,求抛物线 的解析式. 如下图,抛物线的顶点为P,轴上有一动点M,在、这两条抛物线上是 否存在点N,使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形,若存 在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意 , 顶点坐标是(2,2)(2)根据题意可知y2解析式中的二次项系数为 且y2的顶点坐标是(4,3)y2,即:y2(
5、3)符合条件的N点存在如图:若四边形OPMN为符合条件的平行四边形,则,且,作轴于点A,轴于点B,则有(AAS)点P的坐标为(4,3)10分点N在抛物线、上,且P点为、的最高点符合条件的N点只能在轴下方点N在抛物线上,则有:解得:或 点N在抛物线上,则有:解得:或符合条件的N点有四个:【例5】 如图,抛物线与轴交于点,与轴交于点、(点在点的左侧),抛物线的对称轴与轴交于点,设为抛物线上一个动点,则以点、为顶点的四边形能否是梯形?若能,请求出所有符合条件的点的坐标;若不能,请说明理由.【分析】 由梯形为一组对边平行,另一组对边不平行.可分别过、作对边的平行线与抛物线相交,当过、两点作平行线时,所
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