山东省泰安市肥城市2021-2022学年九年级上期末数学试卷（五四学制）含答案解析

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1、 山东省泰安市肥城市九年级山东省泰安市肥城市九年级上上期末数学试卷（五四学制）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的) 1方程 x24x 的根是（ ） Ax4 Bx0 Cx10，x24 Dx10，x22 2关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） Dy 随 x 的增大而增大 3如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDE

2、F：SABF4：25，则DE：EC（ ） A2：5 B3：5 C2：3 D3：2 4已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am且 m0 Bm Cm Dm 5如图，AB 为O 的直径，BED20，则ACD 的度数为（ ） A70 B75 C80 D85 6受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的 400 万元，连续两个月降至 360 万元，设平均降低率为 x，则可列方程（ ） A400（1+x）2360 B400（1x2）360 C400（12x）360 D400（1x）2360 7如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交

3、点，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点以 C 为圆心，2为半径作圆弧，再分别以 E、F 为圆心，1 为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 8一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到达海岛 B 处灯塔 C 在海岛 A 的北偏西 42方向上，在海岛 B 的北偏西 84方向上则海岛 B 到灯塔 C 的距离是（ ） A15 海里 B20 海里 C30 海里 D60 海里 9 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如下， 则一次函数 yax2b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 10如图，在一次

4、数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 AB 的高度，他从古塔底部点 B处前行 30 m 到达斜坡 CE 的底部点 C 处，然后沿斜坡 CE 前行 20 m 到达最佳测量点 D 处，在点 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30，已知斜坡的斜面坡度 i1：，且点 A，B，C，D，E 在同一平面内，小明同学测得古塔 AB 的高度是（ ） A B C D40 m 11如图，在ABC 中，ABC90，C30，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作弧交 AB 于点 D，连接 BD，再分别以点 B，D 为圆心，大于BD 的长为半径作弧，两弧交于点 P，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点

5、 E，连接 DE，则下列结论中不正确的是（ ） ABEDE BDE 垂直平分线段 AC C DBD2BCBE 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；ab+c0；2a+b0；b24ac0，其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置） 13计算：tan60sin60cos245 14如图，AB 是O 的弦，AB6，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 15 已知

6、m， n （mn） 是一元二次方程 x2+x20230 的两个实数根， 则代数式 m2+2m+n 的值为 16如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 17如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A、B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 1，则 k1k2 18如图，在 RtABC 中，C90，AC2，BC4点 M1，N1，P1分别在 AC，BC，AB 上，且四边形 M1CN1P1是正方形，点 M2，N2，P2分别

7、在 P1N1，BN1，BP1上，且四边形 M2N1N2P2是正方形，点Mn，Nn，Pn分别在Pn1Nn1，BNn1，BPn1上，且四边形MnNn1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度是 三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤） 19解下列方程： （1）2x23x+10（配方法）； （2）4（x+2）2（3x1）2（自己喜欢的方法） 20 如图， 某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD， 小明在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60 沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i1：，AB

8、10 米，AE15 米 （1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； （2）求广告牌 CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：1.414，1.732） 21某商店销售一种销售成本为 40 元/千克的水产品，若按 50 元/千克销售，一个月售出 500kg，销售价每涨价 1 元，月销售量就减少 10kg （1）当销售单价定为 55 元时，计算月销售量和销售利润 （2） 商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下， 使月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？ （3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润 22ABC 和DEF 是两个全等的等腰

9、直角三角形，BACEDF90，EDF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q （1）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ； （2）在（1）的条件下，BP2，CQ9，则 BC 的长为多少？ 23如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点，连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 24如图所示，直线 yk1x+b 与双曲线

10、y交于 A、B 两点，已知点 B 的纵坐标为3，直线 AB 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D（0，2），OA，tanAOC （1）求直线 AB 的解析式； （2）若点 P 是第二象限内反比例函数图象上的一点，OCP 的面积是ODB 的面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3）直接写出不等式 k1x+b的解集 25已知：抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，连 PC、PB、PO，PO 交直线 BC 于点 E，设k，求当 k 取最大值时点 P 的坐标，并求此时

11、k 的值 （3）如图 2，点 Q 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D求BDQ 的周长及tanBDQ 的值 26如图，在正方形 ABCD 中，AB2，E 为边 AB 上一点，F 为边 BC 上一点连接 DE 和 AF 交于点 G，连接 BG若 AEBF，则 BG 的最小值为多少？ 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的) 1方程 x24x 的根是（ ） Ax4 Bx0 Cx10，x24 Dx10，x22 【分析】原式利用因式分解法求出解即可

12、 解：方程整理得：x（x4）0， 可得 x0 或 x40， 解得：x10，x24， 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 2关于反比例函数 y，下列说法不正确的是（ ） A函数图象分别位于第二、四象限 B函数图象关于原点成中心对称 C函数图象经过点（6，2） Dy 随 x 的增大而增大 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对 C 进行判断；根据反比例函数的性质对 A、B、D 进行判断 解：反比例函数 y，k120， A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确； B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确； C、x6 时，y2

13、，故本选项说法正确； D、当 k0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，故本选项说法不正确； 故选：D 【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 y（k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 3如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，SDEF：SABF4：25，则DE：EC（ ） A2：5 B3：5 C2：3 D3：2 【分析】先根据平行四边形的性质及

14、相似三角形的判定定理得出DEFBAF，再根据 SDEF：SABF4：25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB 的值，由 ABCD 即可得出结论 解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， EABDEF，AFBDFE， DEFBAF， SDEF：SABF4：25， DE：AB2：5， ABCD， DE：EC2：3 故选：C 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形对应的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键 4已知关于 x 的一元二次方程 x2（2m1）x+m20 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am且

15、m0 Bm Cm Dm 【分析】由方程有实数根即b24ac0，从而得出关于 m 的不等式，解之可得 解：根据题意得，b24ac（2m1）24m24m+10， 解得：m， 故选：B 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键 5如图，AB 为O 的直径，BED20，则ACD 的度数为（ ） A70 B75 C80 D85 【分析】连接 BC，根据直径所对的圆周角是直角可知ACB90，再由DCB20，可得结论 解：连接 BC AB 是O 的直径， ACB90， DCBDEB20， ACD90DCB70， 故选：A 【点评】本题考查的是圆周角定理，解题的关键

16、是学会添加常用辅助线，构造特殊角解决问题 6受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的 400 万元，连续两个月降至 360 万元，设平均降低率为 x，则可列方程（ ） A400（1+x）2360 B400（1x2）360 C400（12x）360 D400（1x）2360 【分析】利用经过连续两个月降低后的生产总值元月初的生产总值（1平均降低率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 解：依题意得：400（1x）2360 故选：D 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 7如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交

17、点，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点以 C 为圆心，2为半径作圆弧，再分别以 E、F 为圆心，1 为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以 2 为半径的四分之一个圆的面积减去以 1 为半径的半圆的面积，再减去 2 个以边长为 1 的正方形的面积，加上以 1 半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决 解：由题意可得，阴影部分的面积是：222（1112）2， 解法二：连接 BD，由题意，S阴影S扇形CBDSBCD22222， 故选：B 【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，

18、利用数形结合的思想解答 8一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到达海岛 B 处灯塔 C 在海岛 A 的北偏西 42方向上，在海岛 B 的北偏西 84方向上则海岛 B 到灯塔 C 的距离是（ ） A15 海里 B20 海里 C30 海里 D60 海里 【分析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出CCAB42，根据等角对等边得出 BC AB，求出 AB 即可 解：如图 根据题意得：CBD84，CAB42， CCBDCAB42CAB， BCAB， AB15230（海里）， BC30（海里）， 即海岛 B 到灯塔 C 的距离是 30 海里 故选：C 【点评】本题考

19、查了解直角三角形的应用方向角问题，等腰三角形的判定和三角形的外角性质，关键是求出CCAB，题目比较典型，难度不大 9 已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如下， 则一次函数 yax2b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A B C D 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知 a0，再由函数图象经过 y 轴正半轴可知 c0，利用排除法即可得出正确答案 解：二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下可知 a0，对称轴位于 y 轴左侧，a、b 同号，即 b0图象经过 y 轴正半可知 c0，根据对称轴和一个交点坐标用 a 表示出 b，c，b2a，c3a， 确定一次函数和

20、反比例函数有 2 个交点， 由 a0，b0 可知，直线 yax2b 经过一、二、四象限， 由 c0 可知，反比例函数 y的图象经过第一、三象限， 故选：C 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键 10如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 AB 的高度，他从古塔底部点 B处前行 30 m 到达斜坡 CE 的底部点 C 处，然后沿斜坡 CE 前行 20 m 到达最佳测量点 D 处，在点 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30，已知斜坡的斜面坡度 i1：，且点 A，B，C，D，E 在同一平面内，小明同学测得古塔

21、AB 的高度是（ ） A B C D40 m 【分析】过点 D 作 DFAB 于点 F，DGBC，交 BC 的延长线于点 G，根据 CD20m 以及斜坡的斜面坡度i1：，可得DGBF10m，CGm，DFBGCG+BC （30+） m，在RtADF中，tan30，求出 AF 的值，再根据 ABAF+BF 可得出答案 解：过点 D 作 DFAB 于点 F，DGBC，交 BC 的延长线于点 G， 由题意得，BC30m，CD20m，ADF30，DGBF，DFBG， 斜坡的斜面坡度 i1：， ， 设 DGxm，则 CGxm，CD2xm， 2x20， 解得 x10， DGBF10m，CGm，DFBGCG+

22、BC（30+）m， 在 RtADF 中，tan30， 解得 AF10+， ABAF+BF（20+）m 故选：A 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键 11如图，在ABC 中，ABC90，C30，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作弧交 AB 于点 D，连接 BD，再分别以点 B，D 为圆心，大于BD 的长为半径作弧，两弧交于点 P，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，连接 DE，则下列结论中不正确的是（ ） ABEDE BDE 垂直平分线段 AC C DBD2BCBE 【分析】由题意不难得到 BEDE，则有B

23、AEDAE30，可判断AEC 是等腰三角形，则不难判断 A、B 正确；易证ABCEDC，则有，再根据，DC，从而得到，利用相似三角形的性质可判断 C 错误；易证得ABD 是等边三角形，则有DBEBDE30，可得BEDBDC，根据相似三角形的性质可得到 D 正确 解：由题意可得ABC90，C30，ABAD，AP 为 BD 的垂直平分线， BEDE， BAEDAE30， AEC 是等腰三角形， ABAD，AC2AB， 点 D 为 AC 的中点， DE 垂直平分线段 AC， 故选项 A，B 正确，不符合题意； 在ABC 和EDC 中， CC，ABCEDC90， ABCEDC， ， ，DC， ， ，

24、， 故选项 C 错误，符合题意； 在ABD 中， ABAD，BAD60， ABD 是等边三角形， ABDADB60， DBEBDE30， 在BED 和BDC 中，DBCEBD30，BDEC30， BEDBDC， ， BD2BCBE， 故选项 D 正确，不符合题意 故选：C 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握线段垂直平分线的性质，含 30角的直角三角形的性质、相似三角形的判定条件与性质是解题的关键 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；ab+c0；2a+b0；b24ac0，其中正确结论的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个

25、D4 个 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与 y 轴的交点即可判断；当 x1 时，y0，即可判断；当 x2 时，y0，即可判断；根据抛物线与 x 轴有 2 个交点，即可判断 解：抛物线开口向下， a0， 2a+b0， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴， c0， abc0，正确； 观察函数图象，可知： 当 x1 时，y0， ab+c0，错误 抛物线的对称轴为 x1， 1， 2a+b0，正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，正确 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二 次项系数 a 决定抛物线的

26、开口方向和大小： 当 a0 时， 抛物线向上开口； 当 a0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y轴交点抛物线与 y 轴交于（0，c） 二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置） 13计算：tan60sin60cos245 1 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可 解：tan60sin60cos245（）21， 故答案为：1 【点评】本题考查

27、了特殊角的三角函数值，正确进行二次根式的运算是解答本题的关键 14如图，AB 是O 的弦，AB6，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 3 【分析】根据中位线定理得到 MN 的长最大时，BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值 解：如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点， MNBC， 当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大， 连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC， BC是O 的直径， BAC90 ACB45，AB6， ACB45， BC6， MN最大

28、3 故答案为：3 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候 MN 的值最大 15 已知 m， n （mn） 是一元二次方程 x2+x20230 的两个实数根， 则代数式 m2+2m+n 的值为 2022 【分析】根据一元二次方程根的定义得到 m2+m2023，则 m2+2m+n2023+m+n，再利用根与系数的关系得到 m+n1，然后利用整体代入的方法计算 解：m 是一元二次方程 x2+x20230 的实数根， m2+m20230， m2+m2023， m2+2m+nm2+m+m+n2023+m+n， m，n 是一元二次方程 x2+x2

29、0230 的两个实数根， m+n1， m2+2m+n202312022 故答案为：2022 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2也考查了一元二次方程的解 16如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 【分析】 由折叠的性质可得 ADAF5， DEEF， 由勾股定理可求 BF 的长， 由勾股定理可求 DE 的长，即可求解 解：将矩形 ABCD 沿 AE 折叠， ADAF5，DEEF， BF

30、4， CF1， EF2CE2+CF2， DE2（3DE）2+1， DE， EF， cosEFC， 故答案为： 【点评】 本题考查了翻折变换， 矩形的性质， 锐角三角函数， 灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 17如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A、B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 1，则 k1k2 2 【分析】利用反比例函数比例系数 k 的几何意义即可 解：设点 A 坐标为（a，b） 则 abk1 SAOP 同理 SBOP SAOBSAOPSBOP k1k22 故答案为：2 【点评】本题考查了反比例函数比例系数 k 的几何

31、意义，解答时注意设出相关点坐标，利用面积构造方程求出未知量 18如图，在 RtABC 中，C90，AC2，BC4点 M1，N1，P1分别在 AC，BC，AB 上，且四边形 M1CN1P1是正方形，点 M2，N2，P2分别在 P1N1，BN1，BP1上，且四边形 M2N1N2P2是正方形，点Mn，Nn，Pn分别在Pn1Nn1，BNn1，BPn1上，且四边形MnNn1NnPn是正方形，则线段MnPn的长度 是 【分析】根据相似三角形的性质求出 M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律即可求出 MnPn的长度 解：M1P1BC， AM1P1ACB， ， 设 M1P1x，则， 解得：x， BN1BC

32、x42M1P1， 同理，M2P2， M3P3222（）2， ， MnPn的长度是2n1（）n1 故答案为： 【点评】此题属规律性题目，考查了相似三角形的性质及正方形的性质，解答此题的关键是求出 M1P1，M2P2，M3P3的值，找出规律，根据此规律求解 三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤） 19解下列方程： （1）2x23x+10（配方法）； （2）4（x+2）2（3x1）2（自己喜欢的方法） 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答 解：（1）2x23x+10， x

33、2x+0， x2x， x2x+（）2+（）2， （x）2， x， x或 x， x11，x2； （2）4（x+2）2（3x1）2， 4（x+2）2（3x1）20， 2（x+2）+（3x1）2（x+2）（3x1）0， （5x+3）（5x）0， 5x+30 或 5x0， x1，x25 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 20 如图， 某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD， 小明在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60 沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i1：，AB10 米，AE

34、15 米 （1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH； （2）求广告牌 CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：1.414，1.732） 【分析】（1）在 RtABH 中，通过解直角三角形求出 BH； （2）过 B 作 DE 的垂线，设垂足为 G在ADE 解直角三角形求出 DE 的长，进而可求出 EH 即 BG 的长，在 RtCBG 中，CBG45，则 CGBG，由此可求出 CG 的长然后根据 CDCG+GEDE 即可求出宣传牌的高度 解：（1）RtABH 中，itanBAH， BAH30， BHAB5； （2）过 B 作 BGDE 于 G， 由（1）得：BH5，

35、AH5， BGAH+AE5+15， RtBGC 中，CBG45， CGBG5+15 RtADE 中，DAE60，AE15， DEAE15 CDCG+GEDE5+15+51520102.7m 答：宣传牌 CD 高约 2.7 米 【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键 21某商店销售一种销售成本为 40 元/千克的水产品，若按 50 元/千克销售，一个月售出 500kg，销售价每涨价 1 元，月销售量就减少 10kg （1）当销售单价定为 55 元时，计算月销售量和销售利润 （2） 商店想在月销售成本不超过 1000

36、0 元的情况下， 使月销售利润达到 8000 元， 销售单价应定为多少？ （3）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润 【分析】（1）根据月销售利润每千克的利润数量就可以表示出月销售利润 y（单位：元）与售价 x（单位：元/千克）之间的函数解析式，把 x55 代入（1）的解析式就可以求出销售利润，由售价与销售量的关系就可以求出结论； （2）当 y8000 时，代入（1）的解析式求出结论即可， （3）将（1）的解析式化为顶点式就可以求出结论 解：（1）由题意，得 y（x40）50010（x50）， y10 x2+1400 x40000 当 x55 时，月销售量为：500（5550）104

37、50 千克； 销售利润为：y10552+140055400006750 答：销售单价定为 55 元时，月销售量为 450 千克，销售利润为：6750 元； （2）由题意，得 800010 x2+1400 x40000， 解得：x160，x280 当 x60 时，销售成本为：40（10006010）16000 元10000 元，舍去， 当 x80 时，销售成本为：40（10008010）8000 元10000 元 答：销售单价应定为 80 元； （3）y10 x2+1400 x40000 y10（x70）2+9000 a100，y 有最大值 当 x70 时y最大9000 元 【点评】 本题考查了

38、利润率问题的数量关系的运用， 二次函数的解析式的运用， 二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键 22ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BACEDF90，EDF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合，将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q （1）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ； （2）在（1）的条件下，BP2，CQ9，则 BC 的长为多少？ 【分析】（1）由ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，易得BCDEF45，然后利用三角形的外角的性质，即可

39、得BEPEQC，则可证得：BPECEQ； （2）根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长，从而求得 BC 的长 【解答】（1）证明：ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形， BCDEF45， BEQEQC+C， 即BEP+DEFEQC+C， BEP+45EQC+45， BEPEQC， BC45， BPECEQ （2）解：BPECEQ， ， BP2，CQ9，BECE， BE2BPCP18， ， 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质是解题的关键 23如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E

40、为弧的中点，连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 【分析】（1） 连接 AE，求出EAD+AFE90，推出BCEBFC，EADACE，求出BCE+ACE90，根据切线的判定推出即可 （2）根据 AC4，cosB求出 BC3，AB5，BF3，AF2，根据EADACE，EE 证AEFCEA，推出 EC2EA，设 EAx，EC2x，由勾股定理得出 x2+4x216，求出即可 【解答】（1）答：BC 与O 相切 证明：连接 AE， AC 是O 的直径 E90， EAD+AFE90， BFBC， BCEBFC，

41、 E 为弧 AD 中点， EADACE， BCE+ACE90， ACBC， AC 为直径， BC 是O 的切线 （2）解：O 的半为 2， AC4， cosB， BC3，AB5， BF3，AF532， EADACE，EE， AEFCEA， ， EC2EA， 设 EAx，EC2x， 由勾股定理得：x2+4x216， x（负数舍去）， 即 CE 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力 24如图所示，直线 yk1x+b 与双曲线 y交于 A、B 两点，已知点 B 的纵坐标为3，直线 AB 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点

42、D（0，2），OA，tanAOC （1）求直线 AB 的解析式； （2）若点 P 是第二象限内反比例函数图象上的一点，OCP 的面积是ODB 的面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3）直接写出不等式 k1x+b的解集 【分析】（1）过点 A 作 AEx 轴于 E，根据锐角三角函数和勾股定理求出点 A（2，1），进而求出双曲线的解析式，进而求出点 B 的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）连接 OB，PO，PC，先求出 OD，进而求出 SODB，进而得出 SOCP，再求出 OC，设 点 P 的纵坐标为 n，再用 SOCP，求出点 P 的纵坐标，即可得出结论； （3）直接利用图象即可得

43、出结论 解：（1）如图 1， 过点 A 作 AEx 轴于 E， AEO90， 在 RtAOE 中，tanAOC， 设 AEm，则 OE2m， 根据勾股定理得，AE2+OE2OA2， m2+（2m）2（）2， m1 或 m1（舍）， OE2，AE1， A（2，1）， 点 A 在双曲线 y上， k2212， 双曲线的解析式为 y， 点 B 在双曲线上，且纵坐标为3， 3， x， B（，3）， 将点 A（2，1），B（，3）代入直线 yk1x+b 中得， ， 直线 AB 的解析式为 yx2； （2）如图 2，连接 OB，PO，PC； D（0，2）， OD2， 由（1）知，B（，3）， SODBODx

44、B2， OCP 的面积是ODB 的面积的 2 倍， SOCP2SODB2， 由（1）知，直线 AB 的解析式为 yx2， 令 y0，则x20， x， OC， 设点 P 的纵坐标为 n， SOCPOCyPn， n2， 由（1）知，双曲线的解析式为 y， 点 P 在双曲线上， 2， x1， P（1，2）； （3）由（1）知，A（2，1），B（，3）， 由图象知，不等式 k1x+b的解集为2x0 或 x 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点 A 的坐标是解本题的关键 25已知：抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0），

45、B（3，0），C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，连 PC、PB、PO，PO 交直线 BC 于点 E，设k，求当 k 取最大值时点 P 的坐标，并求此时 k 的值 （3）如图 2，点 Q 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D求BDQ 的周长及tanBDQ 的值 【分析】（1）将 A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入 yax2+bx+c，即可求解； （2）过点 P 作 PGy 轴交 BC 于点 G，设 P（t，t2+2t+3），则 G（t，t+3），由 PGOC，可得k，则 k（t）2+，

46、当 t时，k 有最大值，此时 P（，）； （3）求出 Q（1，0），D（0，2），由两点间距离公式求出 BQ2，DQ，BD，则BDQ的周长2+； 过点 D 作 DHBD 交于点 H， 在直角三角形中分别求出 QH， BH，DH，则 tanBDQ 解：（1）将 A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入 yax2+bx+c， ， 解得， yx2+2x+3； （2）过点 P 作 PGy 轴交 BC 于点 G， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b， ， 解得， yx+3， 设 P（t，t2+2t+3），则 G（t，t+3）， PGOC， k， PGt2+2t+3+t3t2+3t3k， k（t）2

47、+， 当 t时，k 有最大值， 此时 P（，）； （3）yx2+2x+3（x1）2+4， 抛物线的对称轴为直线 x1， Q（1，0）， C（0，2）， D（0，2）， BQ2，DQ，BD， BDQ 的周长2+； 过点 D 作 DHBD 交于点 H， 在 RtBOD 中，sinOBD，tanOBD， 在 RtBQH 中， QH， BH， DH， tanBDQ 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，两点间距离公式是解题的关键 26如图，在正方形 ABCD 中，AB2，E 为边 AB 上一点，F 为边 BC 上一点连接 DE 和 AF 交于点 G，连接

48、 BG若 AEBF，则 BG 的最小值为多少？ 【分析】如图，取 AD 的中点 O，连接 BO，GO，首先利用全等三角形的性质证明AGD90，求出G01，BO，根据 BGOBOG，当 O，G，B 三点共线时 BG 取得最小值，可得结论 解：四边形 ABCD 是正方形， ABCDAE90，ADAB， AEBF， DEAAFB（SAS）， ADEBAF， DAF+BAFDAB90， ADE+DAF90 DGA90 点 G 在以 AD 为直径的圆上移动， 连接 OB，OG，如图， ， 在 RtAOB 中，OAB90， ， BGOBOG， 当 O，G，B 三点共线时 BG 取得最小值 BC 的最小值为： 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，找到点 G 的运动轨迹是解题关键