八年级数学春季班讲义04：整式方程和分式方程（教师版）

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1、整式方程和分式方程知识结构模块一：整式方程知识精讲1、 如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x的一元n次二项方程的一般形式为:为奇数时，方程有且只有一个实数根；为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那么方程没有实数根2一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程关于的双二次方程的一般形式为（，）3了解关于的双二次方程（，），可以用新未知数代替方程中的，同时用代替，将这个方程转化为关于的一元二次方程这种解方程的方法是换元法4整式方程和分式方程统称为有理方程例题解析【例1】 下列关于的方程中，为一元整式方程

2、的是（）ABCD【难度】【答案】【解析】含有一个未知数，且各项均为整式的方程，称为一元整式方程【总结】考察一元整式方程的概念【例2】 判断下列关于x的方程，哪些是一元整式方程，并指出这些整式方程分别是一元几次方程? ； ； 【难度】【答案】 、都是整式方程；是一元二次方程；是一元三次方程；是一元五次方 程【解析】“元”表示未知数的个数，“次”表示未知数的最高次数，各项都是整式的方程是整式方程；【总结】考察一元整式方程的概念【例3】 （1）若关于的方程的解为2，则_；（2）若方程的一个根是，则_【难度】【答案】（1）（2）【解析】（1）把代入，得：； （2）把代入，得：【总结】考察对方程的解的概

3、念的理解及应用【例4】 若关于的二项方程没有实数根，则的取值范围是（） A； B； C；D；【难度】【答案】【解析】因为，所以，若方程没有实数根，则【总结】考察二项偶次方程有解的情况【例5】 关于的方程实数根的情况是（） A1个B2个 C1个或2个D不确定【难度】【答案】【解析】当时，方程化为，只有一个解；当时，方程为一元二次 方程，即且时，方程有两个实数根，即时，方程没有实数根；综上所述，方程实数根的情况不能确定【总结】考察对含字母系数的一元整式方程根的分类讨论【例6】 如果为常数，关于的方程，无论为何值，方程的解总是，则m=_，n=_【难度】【答案】【解析】将方程整理得：，把代入得：， 整

4、理得：，若为任意实数，则【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用【例7】 解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】解：（1）由，得：，即， 解得原方程的解为：； （2）由，得：，即， 解得原方程的解为：； （3）由， 得：， 即，分解因式，得：，解得原方程的解为：； （4）因为，所以分以下情况讨论： 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：， 当时，应为偶数，舍去， 故原方程的解为：【总结】本题主要考察一元高次方程的解法，第（4）问注意要从多个角度进行分类讨论【例8】 解下列方程：（1）； （2）【难度】【答案】（1

5、）当时，当时，为一切实数，当时，方程无解；（2）当时，为一切实数，当时，方程无解， 当时，【解析】解：（1）由，得：，故当时，即，；当时，（1）：，为一切实数；（2）：，方程无解； 综上所述：当时，；当时，为一切实数；当，方程无解； （2）由，得：， 即，当时，为一切实数； 当时，方程无解；当时，【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意进行分类讨论【例9】 解下列方程：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）； （3）【解析】解：（1）由， 得：，即，故原方程的解为：； （2）由，得：， 或， 当，；当，方程无解 所以原方程的解为：； （3）由， 得：， 即， 所以， 即， 解

6、得原方程的解为：【总结】考察整式方程的解法，注意因式分解的准确运用【例10】 关于的方程，分别求m、n为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解【难度】【答案】（1），为任意实数，有唯一解； （2），有无数多解； （3），方程无解【解析】解：，整理得：，（1）当时，即，为任意实数，即有唯一解；（2）当，时，即，为一切实数，即有无数多解；（3）当，时，即，方程无解【总结】考察整式方程含字母系数的方程求解的分类讨论【例11】 解下列方程：（1）（）；（2）（）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以， 即，则， 因为，所以， 所以原方程的解为：；（2） 因为（），

7、所以，则或，或，原方程的解为：【总结】考察含字母系数的方程的分类讨论，注意考虑未知数系数是否为零【例12】 已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值【难度】【答案】的值为【解析】（1）将原方程变形为，显然，即，是正整数，即，方程至少有一个整数根，当可取时，故对应的的值为， 是正整数，的值为【总结】考察在一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数求解，题目比较典型，难度较大模块二：分式方程知识精讲分母中含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形变形时可能会扩大(或缩小

8、)未知数的取值范围，故必须验根例题解析【例13】 已知方程：，其中分式方程有_【难度】【答案】、【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程【总结】考察分式方程的概念【例14】 解下列分式方程： （1）； （2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得：，即，解得：，经检验：是原方程的解，所以原方程的解为； （2）由，得：，即，解得：， 经检验：是原方程的增根，所以原方程的解为：【总结】本题主要考察分式方程的解法，注意解完后要检验【例15】 解下列分式方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）由，得，即，解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解为；（2）

9、由 ，得，即，解得：，经检验：是原方程的增根，所以原方程的解为：【总结】考察分式方程解法，注意要检验根【例16】 解下列分式方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）无解【解析】（1）由，得：，即， 解得：，经检验：是原方程的解，所以原方程的解为； （2）由，得：， 即，解得：， 经检验：为原方程的增根，所以原方程无解【总结】考察分式方程的解法，注意要检验【例17】 解下列分式方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2），【解析】（1）由，得，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解为：； （2）设，则可化为整式方程：， 即， 解得：， 当时，即，解得：， 当时

10、，即，解得：， 经检验：，是原方程的解， 所以原方程的解为：，【总结】考察利用换元法解分式方程，注意解完后进行验根【例18】 解下列分式方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）设，则，解得：， 经检验：是原方程组的解， 原方程的解为；（2） 设，则， 解得：， 经检验：是原方程组的解， 所以原方程的解为：【总结】考察利用换元法解分式方程组，注意进行检验【例19】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）无解【解析】（1）原方程可化为：， 去分母，得：， 即，解得：， 经检验：是方程的增根，原方程的解为；（2）原方程可化为：，去分母，得：，解得：，经检验：

11、是方程的增根，原方程无解【总结】考察分式方程的解法，注意先分解因式再计算，解完后注意验根【例20】 若方程有增根，求的值【难度】【答案】或【解析】，去分母得， 方程有增根，（1）把增根代入整式方程得：，； （2）把增根代入整式方程，得：， 综上所述，或【总结】考察已知增根，如何求解分式方程中的字母先将分式方程化成整式方程，再代入增根求得字母的值【例21】 解方程：【难度】【答案】【解析】当时，去分母，得：， ，舍去，经检验是原方程的解； 当时，去分母，得，方程无解 综上所述，原方程的解为【总结】考察含绝对值的分式方程的解法，注意进行分类讨论【例22】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1

12、）；（2）【解析】（1）由，得，即，所以， 去括号，得：，即，解得：，经检验：是原方程的解， 原方程的解为； （2）由，得， 即， 即，解得：，经检验：是原方程的解， 原方程的解为【总结】考察分式方程的解法，本题综合性较强，注意对方法的归纳总结【例23】 解下列方程：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1），；（2）； （3），【解析】（1）设，原方程可化为：， 即，解得：，当时，即，解得：； 当时，即，解得：； 经检验：，是原方程的解， 原方程的解为，；（2） 原方程变形为， 整理得：，去分母得：，解得：， 经检验是原方程的根，原方程的解为；（3） 令，原方程可化为，解得：或，当时，解得

13、：；当时，解得：；经检验，是原方程的解， 原方程的解为，【总结】考察利用换元法解分式方程，综合性较强，注意对方法的归纳总结【例24】 已知关于的方程有增根，求的值【难度】【答案】或【解析】由方程有增根可知，或，原方程去分母得：， 当时，解得：；当时，解得：， 综上所述：当或时，的方程有增根【总结】考察分式方程的解，利用分式方程的增根是整式方程的解得出关于的一元一次方程，从而解得求出的值【例25】 当取什么整数时，关于的方程只有一个实数根，并求此实数根【难度】【答案】当时，方程只有一个实数根；当时，方程只有一个实数根【解析】原方程可化为，（1） 若且，则，方程只有一个实数根， 即，但为整数，则应

14、舍去；（2） 若有一个根是，则；此时原方程为，去分母得，解得：；经检验为增根，是原方程的解，时，原方程只有一个根为；（3） 若有一个根是，则；此时原方程为，去分母得，解得：；经检验为增根，是原方程的解，时，原方程只有一个根为综上所述：当时，方程只有一个实数根；当时，方程只有一个实数根【总结】考察分式方程增根的综合应用，综合性较强，注意分类讨论【例26】 解已知关于的方程（1）求的取值范围，使得方程有实数根；（2）求的取值范围，使得方程恰有一个实数根；（3）若原方程的两个相异的实数根为，且，求的值【难度】【答案】（1）且（2）或；（3）【解析】（1）当原方程为一元一次方程时，即，此时原方程有解；

15、当原方程为一元二次方程时，此时，设，原方程可以化为，即， 解得：且， 综上所述：； （2）同理可知：若方程有一个实数根，则；或，； （3）令，则，即， ，【总结】考察分式方程与整式方程之间的转化即求解情况的讨论随堂检测【习题1】 在方程：， 中，是分式方程的有（） A和B和C和D和【难度】【答案】【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程【总结】考察分式方程的定义【习题2】 下列方程中，有实数根的是（）ABCD【难度】【答案】【解析】，无解；为偶数时无解，为奇数时有解； 为增根，方程无解【总结】考察方程有无实数根的分类讨论【习题3】 下列方程中，不是二项方程的为（）A； BCD【难度】【答案】

16、【解析】如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这 样的方程就叫做二项方程关于的一元次二项方程的一般形式为：【总结】考察二项方程的定义【习题4】 （1）若分式的值为0，则的值等于_； （2）若分式无意义，当时，则_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由， 得：，；（2） 若分式无意义，即；， 去分母，得，解得：【总结】考察分式值为零和分式无意义的解法【习题5】 （1）用换元法解方程时，如设，则将原方程化为关于的整式方程是_；（2）若关于的方程无解，则_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原方程可转化为， 方程转化为分式方程为，去分母化为整式方程为：

17、； （2）方程去分母得：，若方程无解，则，代入整式方程得【总结】考察分式方程去分母转化整式方程及对方程无解的理解及运用【习题6】 解下列方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得：，解得：； （2）由，得：，解得：【总结】考察高次方程的解法，注意偶次方根有两个【习题7】 解下列方程： （1）； （2）； （3）【难度】【答案】（1）；（2）； （3）【解析】（1）由，得：，即，解得原方程的解为：；（2）由，得：，所以，即， 故原方程的解为：； （3） 原方程可变形为：，即，所以，即，解得原方程的解为【总结】本题主要考查一元高次方程的解法，注意通过因式分解进行降次，

18、从而求出方程的解，综合性较强，解题时注意分析【习题8】 解下列方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原方程可变形为：， ，；（2） 原方程可变形为：，当，即时，；当，即时， 综上所述：【总结】考察含字母系数的整式方程的求解，注意需要分类讨论【习题9】 解下列分式方程： （1）；（2）； （3）； （4）【难度】【答案】（1）；（2）； （3）；（4）【解析】（1）去分母，得：，化简，得：，解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解为；（2） 去分母，得：，即，解得：，经检验：是原方程的增根，舍去，所以原方程的解为：； （3）去分母，得：，即， 解得：，经检验：

19、是原方程的解， 所以原方程的解为：； （4）原方程变形为：， 即， 去分母得： 所以， 即 ，解得： 经检验：是原方程的解， 原方程的解为【总结】本题主要考查分式方程的求解，注意先去分母再计算，解完后注意要验根【习题10】 当a为何值时，方程有增根【难度】【答案】【解析】原方程去分母得：，方程有增根， 代入整式方程得：，当时，方程有增根【总结】考察已知方程有增根，如何求解方程中的字母参数；先将分式方程转化整式方程，再代入增根求解字母的值【习题11】 解下列分式方程：（1）（为已知数）； （2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原方程变形为：，或，解得：，经检验：是原方

20、程组的解，原方程组的解为；（2） 设，则方程组变形为，由，得：，解得：，将代入得：，解得：经检验：是原方程组的解，原方程组的解为；（3） 原方程可化为，则， 即， 去分母，得：， 解得：，经检验是原方程的根， 所以原方程的解为：【总结】考察方程通过变形后转化成为一般的方程求解的解法，注意解完后进行检验【习题12】 若关于的方程无实数根，求的值；【难度】【答案】或【解析】去分母整理得：，原方程无实数根，则（1） ，即；（2） 整式方程的根是原分式方程的增根，则或，代入整式方程得：， 综上所述：当或时，原方程无实数根【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2

21、.整式方程的根为分式方程的增根【习题13】 已知关于的二次方程的两个根都是整数，求实数【难度】【答案】或或【解析】原方程可化为：，即 ， ，消去得：， 都是整数， 解得：，（舍去）， 解得：或或；经检验，或或满足分式方程的解， 综上所述：或或【总结】将方程整理成关于的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为零是隐含的条件，将参数用方程两根表示最终消去是解题的关键课后作业【作业1】 用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关 于的整式方程，那么这个整式方程是（） ABC D【难度】【答案】【解析】原方程可化为，去分母得【总结】考察分式方程运用换元法转化整式方程的方法【作业2】 （1）若关于的方

22、程无解，那么_，_； （2）已知关于的方程与的解相同，则=_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）方程，当时，为一切实数；当时，方程无解； 当时，；（2） 由方程，解得：；由方程，解得： 方程的解相同，解得：【总结】考察含字母的方程的解得问题的分类讨论【作业3】 下列说法错误的个数是（）二项方程一定有解；二项方程的解最多有两个；二项方程如果有两个解，则一定互 为相反数； A0 B1 C2 D3【难度】【答案】【解析】二项方程一定有解；（错）；二项方程的解最多有两个；（对）二项方程如果有两 个解，则一定互为相反数；（对），故错误的有1个，选B【总结】考察二项方程及二项方程的解得概念【作业4

23、】 关于的方程有唯一解，则必须（） A； B且；C； D且【难度】【答案】【解析】原方程可化为：，若方程有唯一解，则，【总结】考察含字母的方程求解问题的分类讨论【作业5】 如果不论为何值，总是关于的方程的解，试求、的值【难度】【答案】【解析】把代入方程，得：，整理得， ，解得：【总结】考察了一元一次方程的解以及方程未知数的转换【作业6】 解下列方程： （1）； （2）； （3）；（4）【难度】【答案】（1）； （2）； （3）； （4）【解析】（1）由，得：，解得原方程的解为：； （2）由，得，故， 解得原方程的解为：； （3）由，得， 即，分解因式，得：， 解得原方程的解为：； （4）由，得

24、：， 即，分解因式，得：， 解得原方程的解为：【总结】考察整式方程中运用换元思想降幂，求解高次方程的解法【作业7】 解下列方程：（1）（，）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）当时，；当时，； 当且时，【解析】（1）原方程可分解为：，即或， ，可得原方程的解为：；（2） 原方程可整理为：， 当时，当时，；当时，； 当时，即且时， 解得：， 综上所述：当时，；当时，；当且时，【总结】考察含字母系数的方程的求解，注意进行分类讨论【作业8】 解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）； （2），； （3）；（4），【解析】（1）对原方程去分母得：，解得：， 经检验是原方程的解

25、，原方程的解为：；（2） 设，原方程可化为， ，解得：当时，解得：当时，解得：经检验，均是原方程的解，所以原方程的解为：，；（3） 原方程可化为， 设，则可化为，转化整式方程得：， ，解得：当时，方程无解；当时，；经检验是原方程的解，所以原方程的解为：；（4） 原方程可化简为：， 令，则，化成整式方程得： 即，解得：， 当时，解得：； 当时，解得：； 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为：，【总结】本题主要考察利用去分母或者是换元法解分式方程，注意解完后要检验【作业9】 解下列方程： （1）； （2）【难度】【答案】（1）；（2），【解析】（1）原方程可变形为：， 即， 所以， 去括号，得

26、：， 解得： 经检验是原方程的解，所以原方程的解为； （2）原方程可变形为：， 设，则原方程变为，解得： 当时，化简得：，解得：； 当时，化简得：，解得：， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为：，【总结】考察分式方程的解法，注意对方法的归纳总结，解完后注意要检验【作业10】 若方程的方程只有一个解，求的值【难度】【答案】或【解析】原方程可以化为，（1） 当时，原方程有一个解，；（2） 当时，则方程恒有两个不相等的实数根，又原方程只有一个解，则必有一个解为原方程的增根，即或，当时，不是方程的解，代入方程得；把代入原方程，得 综上所述：或【总结】考察先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程解的讨论【作业11】 已知方程有实数根，求实数的取值范围【难度】【答案】且【解析】原方程可整理得，进一步整理得：，去分母整理，得：；当时，解得：，此时，原方程无意义；当时，若方程有实数根，则，解得：，其方程的根为：，又，即，解得：，综上所述，当原方程有实数根时，的取值范围为：且【总结】考察方程有解求方程中参数的问题，以及结合含字母系数的分类讨论的综合运用，综合性加强，注意进行方法的总结