八年级数学春季班讲义18:特殊三角形的存在性(教师版)
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1、特殊三角形的存在性内容分析本节以一次函数为背景,结合三角形的相关知识,解决特殊的三角形的存在性问题要用到分类讨论的思想,对想象力、分析能力和运算能力都有要求,根据题目中的条件利用等腰三角形或直角三角形的性质进行合理的转化建立方程求解知识结构模块一:存在全等三角形知识精讲全等三角形的存在性问题考察了全等三角形的性质,利用边的关系结合两点间的距离公式构造等量关系,主要的题型是求点的坐标例题解析【例1】 如图,直线AB与x轴、y轴分别交于点A,点B,已知A(2,0),B(0,4),线段CD的两端点在坐标轴上滑动(点C在y轴上,点D在x轴上),且CD=AB(1)求直线AB的解析式;(2)当点C在y轴负
2、半轴上,且COD和AOB全等时,求点D的坐标ABOCyx【难度】【答案】见解析【解析】(1)直线AB与x轴、y轴分别交于点A,点B,且A(2,0),B(0,4),利用待定系数法,可得:直线AB的解析式为;(2) A(2,0),B(0,4),即,COD和AOB全等,OD =2或OD =4, D点的坐标为(2,0)或(4,0)或(2,0)或(4,0)【总结】本题一方面考察一次函数解析式的求法,另一方面考察有关全等的运用,由于没有对应关系,注意要分类讨论【例2】 如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴、y轴分别交于点A,点B,点P(x,y)是直线AB上一动点(点P不与点A重合),点C的坐标为(6,0)
3、,O是坐标原点,设PCO的面积为S(1)求S与x之间的函数关系式;(2)当点P运动到什么位置时,PCO的面积为15;ABCOPxy(3)过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E,点F,是否存在这样的点P,使EOFBOA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】(1)直线与x轴交于点A, 点P(x,y)是直线上一动点,当时, 当时,;(2) 令, 当时,解得:,此时,P (3,5), 当时,解得:,此时,P (13,5); (3)EOFBOA, 当E(8,0),F(0,8)时,则直线EF的解析式为, 令, 解得:,; 当E(8,0),F(0,8)时,则直线EF
4、的解析式为, 令, 解得:, 综上,当EOFBOA时,点P的坐标为或【总结】考察动点与面积的结合及全等三角形的性质的综合应用,注意进行分类讨论模块二:存在等腰三角形知识精讲等腰三角形的分类讨论是压轴题中一个热门考点,本类题目均和图形运动有关,需要学生有较强的逻辑思维能力,能够根据运动的性质,把最终的图形画出,利用分类讨论的思想,结合题目中的已知条件建立等量关系例题解析【例3】 直线与轴、轴分别交于点A、B,点A坐标为(,0),ABOCFD将轴所在的直线沿直线翻折交轴于点,点F是直线AB上一动点(1)求直线的解析式;(2)若,求的长;(3)若是等腰三角形,直接写出点的坐标【难度】【答案】见解析【
5、解析】(1)点A坐标为(,0),B(0,),直线的解析式为:;(2) 延长CF交轴与点D轴所在的直线沿直线翻折交轴于点,A(,0), , ,CAFDAF, CD=AC=6, CAD为等边三角形, CF=DF, ;(3)点,设当AO = OF时,解得:或,此时或(舍去);当AO=AF时,解得:或,此时或;当FO=AF时,解得:,此时综上所述:点的坐标为:或或或【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论,注意利用两点距离公式将等腰三角形的问题转化为解方程进行求解【例4】 如图,平面直角坐标系中,函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点,过点A的直线交y轴的正半轴于点M,且点
6、M为线段OB的中点(1)求直线AM的解析式(2)P为直线AM上的一个动点,是否存在这样的点P,使得以P、B、M为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由ABMOxy【难度】【答案】见解析【解析】(1)函数y=2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点,B(0,12),A(6,0),点M为线段OB的中点,M(0,6),直线AM的解析式为;(2)P为直线AM上的一个动点,P(,),当时,解得:,此时P(,),或P(,);当时,解得:或,此时P(0,6)(舍去)或P(6,12);当时,解得:,此时P(3,9);综上所述:P(,)或P(,)或P(6,12)或P(3,9)
7、【总结】考察一次函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论,注意利用两点距离公式将等腰三角形的问题转化为解方程进行求解【例5】 如图,函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点,以线段AB为边在第一象限内作等边ABC(1)求点C的坐标;(2)将ABC沿着直线AB翻折,点C落在点D处,求直线AD的解析式;ABCOxy(3)在x轴上是否存在E,使ADE为等腰三角形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】(1)函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点, , 等边ABC, ,;(2),D在y轴上, 直线AD的解析式为:;(3)设E(,0),则,当时,解得:,此时E(
8、,0),或E(,0);当时,解得:,此时E(,0),或E(,0)(舍去);当时,解得:,此时E(,0),综上所述,满足条件的E点坐标为:(,0)或(,0)或(,0)或(,0)【总结】本题主要考察一次函数解析式的求法和等腰三角形分类讨论,注意对直角三角形性质的运用【例6】 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线:与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(4,4)作平行于轴的直线交AB于点D,CD=10(1)求直线的解析式;(2)求证:ABC是等腰直角三角形;B A C O D y x (3)将直线沿轴负方向平移,当平移恰当的距离时,直线与,轴分别相交于点A、B,在直线CD上存在点P,使得
9、ABP是等腰直角三角形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标【难度】【答案】见解析【解析】(1)过点C(4,4)作平行于轴的直线 交AB于点D,CD=10,解得:,直线的解析式为:;(2)直线:与轴、轴的正半轴分别相交于点A、B,A(8,0),B(0,4),ABC是等腰直角三角形;(3), (通过ABP是等腰直角三角形构造全等三角形)【总结】考察等腰三角形的证明及一次函数解析式的确定【例7】 如图所示,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,)(0)P是直线AB上的一个动点,作PC轴,垂足为C记点P关于轴的对称点为(不在轴上),连接P、A、C设点P的横坐标为(
10、1)当时,求直线AB的解析式;(2)在(1)的条件下,若点的坐标是(1,),求的值;ABCDOPPxyH(3)若点P在第一象限,是否存在,使AC为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】(1)点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,3),直线AB的解析式为;(2) 若点P的坐标是(1,),则点P的坐标是(1,),;(3) 若,过作轴于点,解得:;若,则,解得:;若,则、都在第一象限内,这与条件矛盾,此时PAC不能为等腰直角三角形综上所述:或【总结】本题解题思路比较简单,主要考察等腰直角三角形的性质和一次函数解析式的求法,解题时注意进
11、行分析【例8】 如图,矩形ABCD中,P是边AD上的一动点,联结BP、CP,过点B作射线交线段CP的延长线于点E,交直线AD于点M,且使得PBECBP如果AB2,BC5,APx,PMy(1)当AP3时,求PM的值;(2)当点M在线段AD上时,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;ABCDEPM(3)如果EBC是以EB为腰的等腰三角形,求AP的长【难度】【答案】见解析【解析】ADBC,PBEMPBPBECBP,PBEMPB,(1)在直角ABM中,则,解得:,即;(2)在直角ABM中,则,解得:();(3) 当时,可得:,则可得:AMBDPC,(负值舍去), ;当时,可得:,在直角ABM中,则
12、, , , 解得:或综上所述,或或【总结】本题主要考察等腰三角形的分类和勾股定理的综合应用,注意进行分类讨论以及方法的综合运用【例9】 如图,已知梯形ABCD中,ABCD,C90,AECD,点F是射线BC上一点,FGAD,垂足为点G,FG交线段AE于点H,AB12,CD17,AD13(1)求梯形ABCD的面积;(2)当点F在线段BC上时,设CFx,AHy,求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;ABCDEFGHM(3)若BHF是以BH为腰的等腰三角形,请直接写出AH的长【难度】【答案】见解析【解析】(1)在直角ADE中,;(2) 过H作HMBCFGAD,AEDHM,四边形ABMH是矩形,即
13、();(3) 当点F在线段BC上时,当时,即,解得:,;当时,即,解得:,舍去;当点F在线段BC延长线上时,当时,即,解得:,舍去;当时,即,解得:,综上所述,或【总结】本题综合性较强,主要考察等腰三角形的分类讨论,注意从多个角度考虑【例10】 如图,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,E是AB的中点,过点E作EF/BC交CD于点F,AB4,BC6,B60(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PMEF交BC于点M,过点M作MN/AB交折线ADC于点N,联结PN,设EPx,当点N在线段AD上时(如图1),PMN的形状是否发生变化?若不变,求出PMN的周长;若改变,请说
14、明理由;当点N在线段DC上时(如图2),是否存在点P,使PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由ABCDEFPNMABCDEFFEPMNABCDGH 图1 图2 备用图【难度】【答案】见解析【解析】(1)过点E作EGBC于点GE是AB的中点,AB4, ,B60,点E到BC的距离为;(2) 当点N在线段AD上时(如图1),PMN的形状不发生变化EGBC,PMEF,四边形EPMG为矩形,也可得:过点P作PHMN于点HMN/AB,PMN的周长为;当点N在线段DC上时(如图2),PMN的形状发生改变,但CMN恒为等边三角形当PM=PN时,作PRMN于R,则MR=NR
15、,CMN恒为等边三角形,此时,;当NM=PN时,则,点P与点F重合,PMC为直角三角形,此时,;当NM=PM时,MNC为等边三角形,此时,综上所述:或或【总结】本题主要考察等腰三角形的分类和直角梯形的性质及勾股定理的综合运用,注意对N点的位置进行多重考虑【例11】 如图1,在边长为4的正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),BPEACB,PE交BO于点E,过点B作BFPE,交PE延长线于点F,交AC于点G(1)当点P与点C重合时(如图1),求证:OG=OE;(2)猜想线段BF与PE有怎样的数量关系,并结合图2证明你的猜想;ABC(P)DEFGOMOABCDFG
16、P图1图2EN(3)联结PG,是否存在等腰GBP,若存在,请直接写出满足条件的BP的长,若不存在,请说明理由【难度】【答案】 见解析【解析】(1)BFPE, ,BOGCOE,OG=OE;(2) 过P作PMAC交BG于M,交BO于NPMAC,BPEACB,BPEBPM, PMFPBF,MF=BF,PMAC, , MBNEPN, MF=BF,;(3)边长为4的正方形ABCD中,由(1)可知:,当时,过G作GHBC于H在直角三角形GHC中,;当时,;当时,P与C重合,;综上所述,存在等腰GBP,此时或或【例12】 如图1,已知矩形ABCD中,AB8,点M在边BC上,且BM6,点P在边AD或DC上,联
17、结AM、AP、MP,设ADx(1)如图1,当SABMS四边形ADCM37时,求x的值;(2)如图2,当x8时,如果AMP为等腰三角形,求AMP的面积;(3)直接写出使得AMP为等腰三角形的点P最多有几个?并指出使得点P个数最多时x的取值范围ABCDMMMABCDABCD 图1 图2 备用图【难度】【答案】见解析【解析】(1)SABMS四边形ADCM37时,解得:;(2) 当x8时,四边形ABCD是正方形,且当时,此时P点在线段DC上,ABMADP,当时,此时P点与A重合,AMP不存在,舍去当时,此时P点在线段DC上,设,则,解得:,则, ;(3) 当时,以A为圆心,AM的长度为半径画圆,与AD
18、或BC的交点即为P 当时,以M为圆心,AM的长度为半径画圆,与AD或BC的交点即为P 当时,此时P点在线段AB垂直平分线与AD或BC的交点 故最多有4个交点,此时【总结】考察矩形背景下的面积问题及等腰三角形的存在性,注意进行分类讨论【例13】 如图1,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在边AB、BC上,EOF90(1)求证BECF;(2)如图2,如果OG平分EOF,与边BC交于点G,请你猜想BG、CF和GF之间的数量关系,并证明;(3)设正方形ABCD的边长是,当点E在AB边上移动时,图2中的GOF可能是等腰三角形吗?如果可能,请求出线段BG的长;如果不可能,请说
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