八年级数学春季班讲义20：期末复习（教师版）

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1、内容分析期末复习本节主要针对八年级下学期的知识点进行总结，主要有一次函数代数方程四边形和概率初步，特别是四边形章节是本学期的重难点，要求同学们可以和三角形全等的知识结合起来，需要添加辅助线，综合性较强，也是中考的热门考点之一知识结构一次函数实际应用一元一次方程一元一次不等式概念性质图像实际问题 代数方程一元方程一次方程无理方程有理方程分式方程多元方程组整式方程二次方程高次方程二元一次方程组二元二次方程组列方程解应用题多边形矩形菱形正方形平行四边形梯形四边形等腰梯形直角梯形平面向量向量的加法与减法生活中的事件必然事件不可能事件确定事件的概率确定事件随机事件多次试验等可能试验随机事件发生的可能性大

2、小定性描述定量描述概率其他如资料分析经验等概率概率估计值选择题【练习1】 如果函数y=kx+2的图象不经过第三象限，那么k的取值范围是（）Ak0Bk0Ck0Dk0 【难度】【答案】D【解析】因为一次函数y=kx+2的图象不经过第三象限，所以图像经过第一、二、四象限或第二、四象限，k0故选D【总结】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系【练习2】 点A（3，a）和点B（2，b）在关于x的函数的图像上，则a和b的大小关系是（ ）AabBa0，b0，那么该事件发生的可 能性如下表所示：b k-2-112-2-11 2 符合条件的有两个，故发生的概率P=【总结】本题考察了随机事件发生

3、的概率及一次函数图像性质的综合运用【练习20】 在1、2、3三个数中随机抽取一个数，其中确定事件是（）A抽取的数是素数B抽取的数是合数C抽取的数是奇数D抽取的数是偶数【难度】【答案】B【解析】A是随机事件，故选项正确；B是不可能事件，故是确定事件；C是随机事件； D是随机事件故选B【总结】本题主要考查了随机事件的定义，理解定义素数、合数的概念是关键【练习21】 在一个凸多边形中，它的内角中最多有n个锐角，则n为（ ）A2B3C4D5【难度】【答案】B【解析】根据任意凸多边形的外角和是360，可知它的外角中，最多有3个钝角，则内角 中，最多有3个锐角【总结】本题主要考察了内角与其相邻的外角是邻补

4、角，由于外角和是不变的，所以分析内角的关系可以从外角的情况入手，难度适中【练习22】 用两个全等的直角三角形拼下列图形：矩形；菱形；正方形；平行四边形；等腰三角形；等腰梯形，其中一定能拼成的图形是 （ ） A B C D【难度】【答案】B【解析】所拼成的图形如图所示其中（1）和（2）是一定可以构成的，（1）又是平行四边形；（3）两个全等的直角三角形必须是特殊的等腰直角三角形，（4）必须是拼凑的三角形三点共线，故一定成立的是，选B【总结】考察学生对图像的熟悉能力，比较抽象xy【练习23】 一次函数y=ax+b在直角坐标系中的图象如图所示，则化简|a+b|ab|的结果是（ ） A2aB2a C2b

5、 D2b【难度】【答案】C【解析】观察一次函数y=ax+b在直角坐标系中的图象，可知，当x=1时，y=ax+b=a+b0， 故|a+b|=a+b；当x=-1时，y=ax+b=b-a0，故|a-b|=a-b 因此|a+b|ab|=（a+b）(ab)=2b【总结】本题主要考察一次函数的图像及图像上点的坐标特征及含绝对值的化简【练习24】 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上一点（不与点ABCDEFGOO、点C重合），联结BE，作交BD于点G，则下列结论中不一定成立的是（ ）A AG=BE BC AE=DG D【难度】【答案】D【解析】由ABCD是正方形，得AB=BC，ABG

6、=CBD=45=BCA， 由AFBE，ACBD，则OAG=FBG，所以BAG=CBE所以ABGBCE，得AG=BE；由ADG=BAE=45，AD=AB，DAG=45+OAG=BAE=45+FBG所以ADGEAB，所以AD=DG，故A、B、C均是正确的，故选D【总结】本题考察了正方形的性质及全等三角形的判定方法，综合性较强，注意进行分析填空题【练习25】 （1）方程的解是_；（2）方程的解是_；（3）方程组的解是_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）所以原方程的解为：；（2）两边同时平方，原方程可转化为，经检验当时，原方程不成立，为方程的增根，故的解为； （3）方程组，由，得：x

7、=1+y，代入，得：2y=-4， 解得原方程组的解为：【总结】本题主要考察的是代数方程的一般解法，相对基础，注意无理方程解完要检验【练习26】 （1）若分式的值为0，则_；（2）方程，若用换元法设，原方程可变形为_【难度】【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）若分式的值为零，分母不能为零即x-1， 由，解得：，故x=-2； （2）可以转化为【总结】本题考察了分式方程的基本解法，属于基础题型【练习27】 某企业的年产值两年内从1000万元增加到1440万元，如果这两年中每年的增长率相同，在求这两年中每年的增长率时，如果设这两年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是_【难度】【答案】1000（

8、1+x）2=1440【解析】企业的年产值两年内从1000万元增加到1440万元，这两年中每年的增长率相同， 设这两年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是1000（1+x）2=1440【总结】此题主要考查了方程在实际问题中的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出方法解决问题【练习28】 （1）若直线与直线平行，则；（2）若点（，）在一次函数的图像上，则 ；（3）一次函数，的值随值的增大而_(填“增大”、“减小”或“不变”)【难度】【答案】（1）k=2；（2）a=10；（3）增大【解析】（1）直线与直线平行则k值相等，即k=2；（2）由题意，得：a=33+1=10；（3），

9、k0，则随着x的增大y的值逐渐增大【总结】本题主要考察了一次函数的性质的运用【练习29】 （1）如果一个多边形的每个外角都等于，那么这个多边形的边数是_； （2）如果一个多边形的内角和是1800，则该多边形的对角线有_条【难度】【答案】（1）5；（2）54.【解析】（1）多边形的外角和是360，每个外角都是72，则边数是36072=5；（2）多边形内角的公式（n-2）n=1800，n=12， 故多边形对角线的条数是【总结】本题主要考察了多边形的内角和外角的相关公式的运用【练习30】 如图，一次函数的图象经过，两点，则的解集是_【难度】【答案】x-3【解析】从图像中易得当x-3时，y0即的解集是

10、x-3【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，要学生比较熟悉图形【练习31】 （1）如图（1），平行四边形ABCD中，设，则；ABCD （2）如图（2），梯形中， ， ，ABCD图（1）图（2） 请用向量表示向量_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据向量的三角形法则， 得：，； （2）由，得：【总结】本题主要考察了向量的加减运算在几何图形中的运用【练习32】 （1）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为 ；（2）在矩形ABCD中，AB=，BC=4，B与C的平分线相交于点P，如果点P在这个矩形的内部（不在边AD上），那么的取值范围为 ABCDEPF【难度】【答案】（1）24

11、；（2）【解析】（1）对角线互相垂直的四边形的面积是 两条对角线乘积的一半，即面积为=24；（2）因为四边形ABCD是矩形，BF和CP分别平分ABC和BCD，则BPC是等腰直角三角形，过P作PEBC，则PE=BE=BC=2，由点P在这个矩形的内部（不在边AD上）则a2，又因为三角形ABF也是等腰直角三角形，所以AF=AB=a4，综上【总结】本题主要考察了平行四边形的性质，注意数形结合思想的运用【练习33】 （1）如下中图，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴上，则点C的坐标为_；（2）如下右图，梯形ABCD中，则BC的长为_【难度】EF【答案】（1）；（2）7.5【解析】（1），A

12、B=5，OA=2，OD=， 又ABCD是平行四边形，AB=DC=7， C；（2）如图所示，过A、D分别作BC的垂线AE、DF交BC于点E、F，在RtABE中，B=30，AD=EF=1.5，在RtCDF中，C=60，【总结】本题考察了几何图形中长作的辅助线即垂线，构造直角三角形解决边的问题【练习34】 如右图，矩形ABCD中， 【难度】【答案】【解析】四边形ABCD是矩形，BD=AC，AO=BO=DO=CO，BE：ED=1:3，设BE=x，DE=3x，BE=OE=x，OA=2x，在RtAOE中，OE=x，OA=2x， 则AOE=60，AOB为等边三角形，在RtABD中，AB=4，BD=8，AD=

13、【总结】本题考察了矩形的性质的综合运用ABECDFG【练习35】 如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点分别落在的位置上，交于点已知，那么_ 【难度】【答案】64【解析】如右图所示，由矩形沿折叠得CEF=FEG，ADBC，GFE=CEF，GFE=FEG=58，BEG=180-258=64【总结】本题考察了图形的翻折性质的运用，综合性较强，注意分析角度间的关系【练习36】 如果直角梯形的一条底边长为6，两腰的长分别为4、5，那么中位线的长为ABCDE_【难度】【答案】【解析】过点D作DEBC于E，DE=AB=4，DC=5，由勾股定理得：EC=3，当AD=BE=6时，中位线长为（6+9）2=；当BC=6

14、时，AD=BE=3，此时，中位线长为（6+3）2=故答案为【总结】本题考查了梯形的中位线定理，解题的关键是分两种情况讨论【练习37】 如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AOB=45，AC=10将ABC沿AC翻折后点B落在点E，那么DE的长为_【难度】【答案】【解析】连接OE、DE，如图， 四边形ABCD为矩形，AC=BD=10，OA=OD=OB=5 ABC沿AC翻折后点B落在点E，易证， ，OE=OB=5， ， ， OE=OD=5， 【总结】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，也考查了矩形和等腰直角三角形的性质的综合运用，合理添加辅助线是解决本题的关

15、键【练习38】 如下右图，ABC中，BAC=45，ADBC，垂足为点D，BD=2，DC=3， ABCDEFG现将ABD和ACD分别沿着AB、AC翻折，得到ABE和ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF的面积是_【难度】【答案】36【解析】ABD和ACD分别沿着AB、AC翻折，得到ABE和ACF，则AE=AF=AD，AEB=AFC=ADB=90，又因为BAC=45，所以EAF=90，所以四边形AEFG是正方形在RtBGC中，设AE=x，则BC=5，BG=x-2，CG=x-3，由，得x=6，故【总结】本题考察了图形的翻折，利用翻折的特点构造特殊的图形，结合勾股定理进行计算，综合性加强，要

16、注意分析图形间的等量关系解答题【练习39】 解下列关于x方程（组）：（1）；（2）解方程： ；（3）解方程组：【难度】【答案】（1）x=1；（2）x=-3；（3）【解析】（1）原方程两边同时平方，得，解此方程，得：，经检验当时原方程无意义，是方程的增根，所以的解是x=1；（2）原分式方程可转化为，解此方程得：，经检验x=2时原分式方程无意义，所以的解为x=-3； （3），由得x+y=0，x-2y=0与构成如下的方程组 ，解以上方程组得原方程组的解为：【总结】本题考察了分式方程、无理方程及二元二次方程组的解法，注意分式方程和无理方程解完要检验Px（小时）y（千米）L1L22.5【练习40】 小智

17、从A地出发以某一速度向B地走去，同时小方从B地出发以另一速度向A地而行，如图所示，图中的线段、分别表示小智、小方离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系（1）用文字说明：交点P所表示的实际意义（2）试求出A、B两地之间的距离【难度】【答案】（1）小智和小方在出发2.5小时后相遇， 此时距离B地7.5千米；（2）20米【解析】（1）略；（2）设，因为过点（4，0）（2.5，7.5），代入得：，解得：，故AB两地相距20千米【总结】本题考察了一次函数的实际应用，注意结合图形【练习41】 某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套，结果提前了

18、3天完成任务求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具【难度】【答案】100【解析】设原来每天加工x套，新技术革新后每天加工x+25套，根据题意可列方程，解得：x=100，经检验x=100是原方程的解且符合题意故该文具厂原来每天加工100套文具【总结】本题考察了分式方程的应用，找出题目中的等量关系是列方程的关键【练习42】 小明手中有三张扑克牌，牌面数字为2、3、4；小丽手中有四张扑克牌，牌面字为3、4、5、6（1）如果小明先在小丽手中随机抽取一张，那么牌面数字与自己手中的某一张牌数字恰好相同的概率是_；（2）如果小丽先在小明手中随机抽取一张，那么牌面数字与自己手中的某一张牌数字恰好相同的概率

19、是_；（3）如果小杰在小明、小丽手中分别随机抽取一张，那么两张牌牌面数字恰好相同的概率是多少?（请用列表法或画树状图法说明）【难度】【答案】（1）；（2）；（3） ，P=【解析】（1）小丽手中的牌面数子只有3和4与小明相同，则小明在小丽手中4张中随机抽 取一张，能抽到3或4的概率；（2）小明手中的牌面数子只有3和4与小丽相同，则小丽在小明手中3张中随机抽取一张，能抽到3或4的概率=；（3）先利用树状图展示所有12种等可能的情况，其中两张牌牌面数字恰好相同的情况有2种，然后根据概率的概念计算即可【总结】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再

20、找出其中某事件可能发生的可能的结果m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=【练习43】 如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，设，（1）试用向量表示下列向量：=_；=_；ABCDEFGO（2） 求作：、（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）【难度】【答案】（1）；（2）.【解析】（1）； ；（2），作图如图所示：其中表示；表示【总结】本题考查了平面向量的加减运算，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练运用【练习44】 已知：直线且与坐标轴围成的三ABOxyABOxy角形中有一个内角为30，求此直线的表达式【难度】【答案】【解析】由题意得一次函数的图像，如右图所示两种

21、情况如图（1），得B（，0），将B点代入一次函数的解析式，得；如图（2），得B（，0）将B点代入一次函数解析式，得；综上，此直线的表达式为【总结】本题考察了一次函数解析式的求法及直角三角形性质的综合运用，注意分类讨论EADBC（第45题图）【练习45】 如图，在ABC中，AB=BC，BD是中线，过点D作DEBC，过点A作AEBD，AE与DE交于点E求证：四边形ADBE是矩形 【难度】【答案】详见解析【解析】D是AC的中点，AD=CD，AEBD，DEBC，EAD=BDC，ADE=DCB，ADEDCB，AE=DB，四边形ADBE是平行四边形，AB=CB，AD=CD，BDAC，即ADB=90，平行四

22、边形ADBE是矩形【总结】本题考察了等腰三角形的性质，平行四边形的判定及矩形的判定定理的综合运用ABCDEF【练习46】 已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD求证：四边形AEFD是矩形【难度】【答案】详见解析【解析】在梯形ABCD中，ADBC，又EF=AD，四边形AEFD是平行四边形AEDF，AEF=DFCAB=CD，B=C又BE=CF，ABEDCFAEB=DFC，AEB=AEFAEB+AEF=180，AEF=90，四边形AEFD是矩形【总结】考察了梯形的性质与矩形判定定理的综合运用ABDEPNMQ【练习47】 如图，四边形ABCD中，

23、E为AB边上一点，且都是等边三角形，点P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形PQMN是怎样的特殊四边形，并证明你的结论C【难度】【答案】详见解析【解析】连接AC和BDADE和BCE都是等边三角形， 点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，MNAC，且，PQAC，且MN=PQ=AC，MQ=BDABDEPNMQCMNPQ，MN=PQ，四边形PQMN是平行四边形ADE和BCE都是等边三角形，AE=AD=DE，EC=EB=BC，DEA=CEB=60，AEC=DEB=60+DEC=120，AECDEB，AC=BD，MN=AC，MQ=BD，MN=MQ，四边形PQMN是菱

24、形【总结】本题考察了菱形的判定定理及中位线性质定理的综合运用【练习48】 已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F，（1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系?并证明；ABCDEFBACDE图1图2（2）如图2，当EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明【难度】【答案】（1）AF=DE；（2）AF+BF= EF【解析】（1）AF=DE证明如下：连接BD交AC于点O，四边形ABCD是正方形，BO=DO，BF=EF，OF=DE，OFDEBDAC，EDO=AOB=90ODA=OAD=，EA=ED，EAD=EDA

25、=45，ABCDEFBACDE图1图2GOFOOAD=OED=AOD=90，四边形AODE是正方形OA=DE，OF=AO，AF=；（2）AF+BF=EFAF2+EF2=2BF2等（只要其中一个），AF+BF=EF的证明方法一：连接BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，连接DG与第（1）同理可证GDA=45，四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，GDE=6045=15AB=AD=AE，BAE=BAC+DAE=90+60=150，ABE=AEB=，ABF=GDE又DEG=DEAAEB=6015=45=BAC，DE=AD=AB，ABFEDG，EG=AF，AF+BF=EG+FG=EF【总结】本

26、题是一道考查正方形性质的几何题，考查了正方形的性质，三角形中位线的运用，全等三角形的运用，第二问的辅助线在第一问的基础上进行【练习49】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，点P是BC边上一动点（1）填空：当BP=_时，以点P、A、D、E为定点的四边形是直角梯形（2）填空：当BP=_时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形NMNPN（3）在（2）中，以点P、A、D、E为顶点的平行四边形还能进一步判断为怎样的特殊四边形?说明理由【难度】【答案】（1）3或8；（2）11或1；（3）菱形【解析】分别过A、D作AMBC于M，DNCB于N，AM=DN

27、，AD=MN=5，而CD=，C=45，DN=CN=4=AM，BM=CB-CN-MN=3（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，则APC=90或DEB=90，当APC=90时，P与M重合，BP=BM=3；当DPB=90时，P与N重合，BP=BN=8；故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：当点P在点E的左边时，E是BC的中点，BE=6，BP=BE-PE=6-5=1；当点P在点E的右边时，BP=BEPE=65=11；故当x的值为1或11时， 以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，EP=AD=5，过D作DNBC于N，CD=，C=45，则DN=CN=4，NP=3，DP=，EP=DP，故此时PDAE是菱形即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形【总结】本题考察了特殊的四边形的存在性问题及常见的辅助线的添加，综合性较强，注意对动点的位置进行多方面的考虑【练习50】 如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CBOA，OC=AB