八年级数学春季班讲义07：代数方程的复习（教师版）

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1、内容分析代数方程的复习本章学习了简单的高次方程、分式方程、无理方程以及简单的二次方程（组）的概念及其解法，学习了列方程解应用题到本章为止，可以说初等代数方程的基本知识内容已经大体完整本讲将代数方程的基本解法和常见题型做一总结，帮助大家更好的复习列方程解应用题【练习1】 下列方程中，是二项方程的是（）ABC D【难度】【答案】C【解析】如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的 方程就叫做二项方程A.左边没有非零常数；B.左边含有未知数的两项；D.右边不是零【总结】考查二项方程的概念【练习2】 下列方程中，不是无理方程的是（ ）A B CD【难度】【答案】B【

2、解析】无理方程是根号下含有未知数的方程，B选项的根号下是常数，容易错选【总结】考查无理方程的概念【练习3】 已知方程： ； . 这四个方程中，分式方程的个数是（）A1 B2C3 D4【难度】【答案】C【解析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程 中分母是常数，分母中都含有未知数，是分式方程【总结】考查分式方程的概念【练习4】 用换元法解分式方程时，设，原方程可变形为（） ABCD【难度】【答案】A【解析】 ，原方程变形为即【总结】考查换元后方程的变形问题【练习5】 如果关于的方程无解，那么满足（）. ABCD任意实数.【难度】【答案】B【解析】当时，即【总结】考查方程无解的条

3、件【练习6】 下列方程中，没有实数解的是（） AB C D【难度】【答案】B【解析】B中，无解【总结】考查无理方程的解的情况【练习7】 方程组的解的个数是（） A1B2C3D4【难度】【答案】B【解析】由式知代入式得，有两个解【总结】考查方程的解法【练习8】 方程的根是（） A， B， C D【难度】【答案】A【解析】两边同时平方得：， 即：，经检验，均是原方程的解【总结】考查无理方程的解法，注意解完要验根【练习9】 等式（） ABCD【难度】【答案】D【解析】由，得，由得，由得，【总结】考查二次根式的被开方数的非负性的运用【练习10】 若解分式方程产生增根，则m的值（） A-1或-2B-1或

4、2 C1或2D1或-2【难度】【答案】A【解析】最简公分母为：；去分母：；把代入方程，得：；把代入方程，得：方程无解；把代入方程，得： 综上，【总结】考查分式方程产生增根的条件【练习11】 分式方程中，若设，则原方程可化为（） ABCD 【难度】【答案】C【解析】，原方程可化为：【总结】考查分式方程的变形，注意完全平方公式的运用【练习12】 甲队为小区安装60台热水器，乙队为A小区安装热水器66台，两队安装的天数相同， 乙队比甲队每天多安装2台，设乙队每天安装x台，则下列方程中正确的是（） ABCD【难度】【答案】A【解析】乙比甲每天多2台，甲每天安装（x-2）台 甲安装的天数为，乙安装的天数

5、为，由题意知可列方程：=【总结】考查方程的应用，注意寻找题目中的等量关系【练习13】 某项工程若乙单独做要比甲慢3天完成，现甲乙合作5天，余下的再由甲独做3天完 成，求甲乙单独完成此项工程所需的时间，若设乙单独做需要x天，可列方程（ ） ABCD【难度】【答案】D【解析】由题意知甲单独做需要天，甲、乙的工作效率分别为； 由甲乙先合作5天，然后甲单独做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天， 可列方程【总结】考查方程在工程问题中的应用，注意工作总量通常看作“1”【练习14】 若，则的值为（） A6 B-1 C1 D1或-1【难度】【答案】D【解析】由题意知， 所以，的值为1或-1【总结】本题一

6、方面考查了非负数的和为零的基本模型，另一方面考查了整体思想的运用【练习15】 已知为非负整数，关于的方程至少有一个整数根，则可能 取值的个数为（） A4B3C2 D1【难度】【答案】B【解析】由题意，显然满足条件的x，必然使得为整数，否则不可能为整数， 设（y为非负数），则原式化为：，即，因为y非负，所以要使得a为整数，则y=0、1、3；此时a=6、2、-3（舍），当a=0时，方程也有一个整数根，故a=6或2或0，故选B【总结】考查无理方程的根的情况，对至少一个整数根要准确理解 【练习16】 （1）方程的根是_； （2）方程的根是_【难度】【答案】（1） ； （2）【解析】（1）因为，故解得原

7、方程的解为：； （2）因为，故解得原方程的解为：【总结】考查高次方程的解法，注意非负数的偶次方根有两个【练习17】 关于的方程的根是_【难度】【答案】【解析】原方程可变形为：，因为，所以原方程的解为【总结】考查高次方程的解法【练习18】 可化成两个一次方程是_【难度】【答案】【解析】由十字相乘法得，【总结】因式分解与方程的解法相结合考查【练习19】 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是和 ， 试写出一个符合要求的方程组_【难度】【答案】【解析】由题意可以观察出，y是x的两倍，x与y之积为2，故可得：【练习20】 方程的解是_【难度】【答案】【解析】令，则原方程变形为，当

8、时，；当时，解得：，经检验是原方程的解【总结】考查换元法解分式方程，注意解完后要检验【练习21】 （1）方程的根是_； （2）方程的根是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先考虑，两边同时平方得：，解得：，经检验是原方程的增根，所以原方程的根为：；（2） 由，得；对原方程两边同时平方得：即，经检验是原方程的增根，所以原方程的解为：【总结】考查无理方程的解法，注意解完后要检验【练习22】 方程有_个实数根【难度】【答案】2个【解析】首先用换元法，令，降次得，根据一元二次方程根的判别式，可知：， 则方程有两不相等的实数根，再由：根与系数的关系（韦达定理）可知方程两根之积为负，则舍掉负根

9、，那么其中的一个正根必然会对应两个解，也就是x的值【总结】考查高次方程的解的个数【练习23】 学校举行乒乓球女子单打比赛，采用单循环赛制，共比赛21场，则参加比赛的选手有 _名【难度】【答案】7【解析】假设参赛选手有人，那么每个人都要和除了自己以外的个人去打比赛，则个人就要打场，又因为比赛单循环赛制，这样算下来有重复，所以再除以2，即可得最终比赛场次，那么根据题意可列出方程：，解得：n=7，即参赛选手有7名【总结】考查学生的知识广度，本题涉及到一些小升初奥数知识，有条件的老师可略加拓展【练习24】 （1）当m_时，方程有实数解； （2）方程无解，m的值为_【难度】【答案】（1） ；（2）【解析

10、】（1）由，得；（2）由，得【总结】考查二次根式的非负性的运用【练习25】 方程产生增根，则k=_【难度】【答案】k=或【解析】两边同时乘以，可得：；当时，方程有增根，所以；当时，综上所述k=或【总结】考查方程有增根的情况，注意先化成整式方程再代值计算【练习26】 当a=_时，关于x的方程无解【难度】【答案】a=或0【解析】当a=时，方程可化为，无解；当a=0时，方程可化为，无解【总结】考查方程无解的条件，注意进行分类讨论【练习27】 若，则的值为_【难度】【答案】5【解析】【总结】考查完全平方公式的应用【练习28】 已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是_【难度】【答案】【解析】由题

11、意，先去分母，得：，解得： 首先，因为方程解是非正数，那么：，解得：，其次，必须满足原分式方程分母不为零：即，即，因此，【总结】考查方程的解的应用及方程有意义的隐藏条件【练习29】 一本书有a页，若每天看b页，则需要_天看完；若每天多看3页，则需要_天 看完；若要比原来提前3天看完，则每天需要比原来多看_页【难度】【答案】【解析】每天看b页，需要天看完；每天多看3页，需要天看完； 若要比原来提前3天看完，即现在需要天看完，现在每天看， 现在每天比原来多看页【总结】考查分式方程的应用【练习30】 两个连续的正偶数的和的平方是196，这两个数是_【难度】【答案】6、8【解析】设这两个数分别为x、x

12、+2，则， 这两个数分别是6、8【总结】考查方程在数字问题中的简单应用【练习31】 方程的解中，、互为相反数的解是_【难度】【答案】或【解析】由题意，、互为相反数，即，代入方程得： 化简得：，即：， 解得：，所以 所以互为相反数的两个解是或【总结】考查方程的解的应用【练习32】 若方程组有两组相等的实数解，则的值为_【难度】【答案】【解析】由，代入化简可得：，即，因为方程组有两组相等的实数解，所以=，解得：【总结】考查方程组有两组相等的实数解的问题，最终转化为一元二次方程的解进行求值【练习33】 若是方程组的一个解，则这个方程组的另一个解是_【难度】【答案】【解析】将方程组的解代入原方程组，可

13、得， 可以发现，只要满足这样的关系，就可以是方程组的解，那么我们考虑把x、y互换位置 即方程组的另一个解可以是【总结】考查方程的解的问题，以后碰到类似的情况仍然可以使用这个办法，因为x、y是不分先后的【练习34】 方程组，由+得，则原方程组可化为 与_两个方程组【难度】【答案】【解析】由题意，我们将开方，得，故答案为【总结】考查二元二次方程组的因式分解问题【练习35】 若飞机在无风时每小时飞行165千米，飞机依直线飞行了450千米后，依原来的路线飞回原处，已知飞机去时是逆风，回来时是顺风，回来时比去时少用了半个小时，求风速是多少，设风速是x千米每小时，根据题意可列方程 _【难度】【答案】【解析

14、】设风速是x，根据来回所用的时间差，可列方程：【总结】考查分式方程，先找准等量关系是关键，再依据题意列方程即可【练习36】 若5，则=_，=_【难度】【答案】【解析】由题意知：， ，【总结】考查绝对值与平方的非负性的运用【练习37】 当时，方程组的实数解的个数是_个【难度】【答案】2【解析】由题意，把代入，可得：， 根的判别式，因为，可知， 则x有两个不相等的实数解，所以方程组也有两个实数解【总结】考查含参数的方程组的应用【练习38】 已知关于的方程有且只有一个实数解时，求的值_【难度】【答案】0【解析】原方程可变行为：，只有一个实数解，a=0【总结】考查绝对值与平方的非负性的运用【练习39】

15、 若，则_【难度】【答案】【解析】根据条件式，得（1） 令，则（1）式化简为即，平方得：（2） 又由 代入（2）得，即【总结】本题综合型较强，注意考查整体思想的运用【练习40】 解下列关于x的方程： （1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2），【解析】（1）原方程可分解为：， 解得原方程的解为：； （2）原方程可化为，即 ， 解得原方程的解为：，【总结】考查简单的整式方程的求解，注意含字母参数时要讨论【练习41】 解下列方程： （1）；（2）； （3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）无解；（4）【解析】（1）两边同时乘得：，解得： 经检验是增根，原方程的解为；（2） 两边同时乘

16、得：， 经检验均为原方程的解；（3） 两边同时乘得：，经检验x=1是增根，原方程无解 （4）两边同时乘得：， 经检验均为原方程的解【总结】考查学生解分式方程的能力，注意解完后要验根【练习42】 解下列关于x的方程： （1）； （2）【难度】【答案】略【解析】（1）移项得：；分类讨论：当时，方程左边=0，右边=0，有无数个解；当时，方程左边=0，右边0，无解；当时，方程有唯一解：；（2） 观察方程每一项都含有，故而考虑消去，而题中没有说明不等于零，那么要分类讨论：当时，方程左边=右边=0，有无数个解；当时，方程左边右边可同时约掉，方程化为：，即，得【总结】考查含参数的整式方程的解法，注意要分类讨

17、论【练习43】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）73【解析】（1）两边平方得：， 两边再平方得：，解得：，经检验是原方程的解；（2） ，两边平方，整理得， 两边再平方，整理得：，解得：， 经检验，x=1是原方程的增根，所以是原方程的解为【总结】考查无理方程的解法，通常整理后两边平方即可，注意解完后要检验【练习44】 解下列方程组： （1）； （2）； （3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由可得，代入得， 即，再与原方程组式子联立，即可解得原方程组的解为：；（2） 原方程组化为，两式相除，得： 再把代入任一式，即得所以原方程组的解为：；（3） 原方程

18、组化为，所以， 当时，解得；当时，解得； 故原方程组的解为【总结】考查二元二次方程组的解法，通常采用因式分解的方法，然后代入解出方程的解【练习45】 若x=2是方程的根，求m的值【难度】【答案】【解析】由题意，把x=2代入原方程，得，两边平方得：，整理得：，再两边平方得：，整理得：，解得：【总结】考查对无理方程的解得理解及简单应用 【练习46】 k为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解?（2）有两组不相等的实数解?（3）没有实数解?【难度】【答案】（1）=1；（2）；（3）【解析】把式代入式得：，整理得：，（1）当且时，有两个相等的值，解得：=1；（2） 当且时，有两个不相等的值，解得：；（

19、3）当且时，方程无实数解，解得：【总结】考查含字母系数的方程组的解法，注意分类讨论【练习47】 A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道【难度】【答案】甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里【解析】设甲工程每周铺设管道公里，则乙工程队每周铺设管道公里 根据题意得：，方程两边同时乘以，得：， 化简得：，解得：， 经检验均是原方程的解，但不符合题意，故舍去， 故甲工程队每周铺设管道2公里，

20、则乙工程队每周铺设管道3公里【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验【练习48】 将进货单价为35元的某种商品按照60元出售时，能卖出600个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就会减少20个，考虑带运输费、柜面费相等指出，每件商品还要追加5元成本，为了获得8000元利润，售价应为多少?这时该进货多少?【难度】【答案】80元或50元，进货为200个或800个【解析】设涨价x元，根据题意可列方程：， 解得：，售价为80元或50元，此时进货为200个或800个【总结】考查方程在利润问题中的应用【练习49】 分式方程有解，求m的取值范围【难度】【答案】且【解析】方程两边同乘以：，得：，即：

21、， 因为方程的增根是，那么：当时，；当时，； 所以当或时，方程有增根，故要使原方程有解，则且【总结】考查对分式方程有解的理解，最终转化为求增根的问题【练习50】 某街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成 （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? （2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元工程预算的施工 费用为50万元，为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，

22、则工 程预算的施工费用是否够用?若不够用，需追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由【难度】【答案】（1）60、90；（2）够用【解析】（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲对单独完成这项工程需要天， 则：，解得：；经检验：是原方程的解且符合题意 故甲、乙两队单独完成这项工程各需60天、90天（2） 设甲乙两队合作，完成这项工程需天，则：，解得： 需要施工费用（0.84+0.56）36=50.450， 所以预算的施工费用不够用，需加预算0.4万元【总结】考查分式方程在实际问题中的应用，注意要检验【练习51】 今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完 成

23、（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好?请说明理由【难度】【答案】（1）能；（2）甲组【解析】设规定时间为天，则，解得：，经检验都是原方程的解但x=2不符合题意，舍去由2428，所以甲单独做剩下工程不能在规定时间内完成；乙单独做剩下工程所需时间：天因为20+=28，所以乙单独做剩下工程能在规定时间内完成所以我认

24、为抽调甲组最好【总结】考查分式方程的综合应用，找到题目中的等量关系从而列出方程是关键【练习52】 已知有一个增根是4，求的值【难度】【答案】5【解析】原方程变形得：， 两边同时平方得：，两边再同时平方得：，将x=4代入得：，解得：，当x =5时，符合要求，增根 x=4；当时，不符合要求 综上可得【总结】本题考查无理方程产生增根的条件【练习53】 已知A（-1，4）、B（2，3），点P在x轴上，且ABP是直角三角形，求点P的坐标【难度】【答案】点P的坐标为或【解析】由题意：因为点P在x轴上，所以设该点坐标为：（1） 若是直角，则根据勾股定理，根据两点间距离公式：，该方程无解；（2） 若是直角，则

25、根据勾股定理，根据两点间距离公式：，解得：，所以点P的坐标为（3） 若是直角，则根据勾股定理，根据两点间距离公式：解得：，所以点P的坐标为， 综上所述：点P的坐标为或【总结】本题综合性较强，涉及到方程的解法以及勾股定理，和两点间的距离公式，考查代数与几何综合应用，另一方面，扎实的计算能力也是准确算出本题结果必不可少的条件【练习54】 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q同时从A、B出发，经过的时间是t秒，（1）S表示BPQ的面积，写出S和t的函数关系式；（2）t为何

26、值时，S等于8平方厘米?（3）t为何值时，五边形APQCD的面积最小?最小值是多少?【难度】【答案】（1）；（2）2或4；（3）t = 3时，S = 63【解析】（1）由题意，设运动时间为，则， 则； （2），解得：， 故经过2秒或4秒时，面积等于8； （3）由题意可知，矩形面积不变，那么当三角形的面积最大时，五边形的面积则最小根据，观察式子易知，当时，函数关系式中完全平方式为零，此时S最大，即所以五边形面积为：【总结】本题综合性较强，考查代数与几何的综合应用，涉及到动点的问题的解法以及以及函数的最值问题，虽然现阶段大部分学生可能不了解二次函数的最值求法，但是老师仍然可以引导学生换一个角度，从完全平方式的角度去考虑，注意帮学生总结方法，一样可以轻松的解决这种问题