八年级数学春季班讲义01:一次函数的概念和图像(教师版)
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1、一次函数的图像及性质知识结构 模块一:一次函数的概念知识精讲1、 一次函数的概念(1) 一般地,解析式形如(,是常数,且)的函数叫做一次函数;(2) 一次函数的定义域是一切实数;(3) 当时,解析式就成为(是常数,且)这时,y是x的正比例函数,所以正比例函数是一次函数的特例;(4) 一般地,我们把函数(为常数)叫做常值函数它的自变量由所讨论的问题确定例题解析【例1】 下列函数中,哪些是一次函数?(1);(2);(3);(4);(5);(6)【难度】【答案】(2)、(3)、(4)、(6)【解析】判断是否是一次函数,要整理成的形式,一次函数有要是一次, 且是整式几个注意点(1)是二次函数,(5)是
2、分式【总结】考查一次函数的基本概念,会判断两个量是否是一次函数关,一般要把关系式整理成概念的标准形式,找出对应【例2】 (1)已知函数是一次函数,则k的取值范围是_;(2)当m=_时,函数是一次函数,且不是正比例函数 【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)一次函数,所以;(2)一次函数其中,要是一次,所以,又因为是一次函数,不是正比例函数,所以不能为0,所以【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解【例3】 已知一个一次函数,当自变量时,函数值为;当时,求这个函数的解析式【难度】【答案】【解析】设一次函数解析式为,将两点代入解二元一次方程组, 解得:,所以这个函数的解析式为:【
3、总结】考察两点代入法求一次函数解析式,即两点代入转而解二元一次方程组【例4】 已知一次函数是一次函数,求实数k的值【难度】【答案】【解析】由一次函数的概念可知:,且,解得:或,又因为, 所以【总结】考察一次函数的基本概念,对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解【例5】 若是一次函数,且,求的解析式【难度】【答案】或者【解析】设,由比较对应项系数可得方程,可得, 解得:,;, 所以函数解析式为:或者【总结】考查对一次函数的概念深化理解,对于自变量和变量转化的理解自变量和变量之间的函数关系【例6】 若是一次函数,且,(1) 求的值;(2) 若=1,求m的值【难度】【答案】(1)4;(2
4、)3【解析】设,则, 因为, 比较对应项系数可得:,所以的解析式是 (1)所以;(2)当时,故【总结】考查对一次函数的概念的深化理解,自变量和变量之间的函数关系模块二:一次函数的图像知识精讲1、 一次函数的图像:一般地,一次函数(,是常数,且)的图像是一条直线一次函数的图像也称为直线,这时,我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式画一次函数的图像时,只需描出图像上的两个点,然后过这两点作一条直线2、 一次函数的截距:一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距,简称直线的截距,一般地,直线()与y轴的交点坐标是,直线()的截距是b3、 一次函数图像的平移:一般地,一次函数()的图像
5、可由正比例函数的图像平移得到当时,向上平移个单位;当时,向下平移个单位(函数平移口诀简记为:“上加下减,左加右减”)4、 直线位置关系:如果,那么直线与直线平行反过来,如果直线与直线平行,那么,例题解析【例7】 若一次函数函数图像过原点,求a的值,并在坐标系中画出函数的图像【难度】【答案】【解析】一次函数的图像过原点,即通过(0,0)点,且把这点 坐标代入解析式求解可得,所以解析式是【总结】一次函数的解析式与图像的关系,解析式中不为0的前提条件,以及图像过原点的在解析式中的含义【例8】 若一次函数,当x=2时,y=-1,且函数图像的截距为-3,求函数的解析式【难度】【答案】【解析】截距是-3,
6、则,又因为过(2,-1)点,代入求解,得解析式为【总结】考查一次函数截距的意义,和待定系数法求一次函数解析式的方法【例9】 若一次函数y=-x +b的图像的截距是-4,求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式【难度】【答案】【解析】截距是-4,则,则解析式是,则平移后的解析式为:【总结】考察一次函数截距的意义,及函数图像平移与解析式变化的关系,即“上加下减,左加右减”【例10】 将直线y=x+1向右平移1个单位,相当于将直线y=x+1向上平移了多少个单位?【难度】【答案】个【解析】一次函数右移一个单位,解析式变为, 则相当于向上平移个单位【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系
7、,即“上加下减,左加右减”【例11】 已知一次函数的图像平行于直线y=x,且当时,函数y的值是1,求这个函数解析式【难度】【答案】【解析】设这个一次函数解析式为,由题易知,把点(-3,1)代入,可得 所以这个一次函数解析式为【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系,即两条直线平行,相等【例12】 若直线与直线平行,求m的值【难度】【答案】【解析】因为两条直线平行,所以可知相等且不相等,即,解得:; 因为不相等,所以【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系,两条直线平行,即无交点,而重合是两条直线有无数个交点,所以两条直线平行的含义是相等且不相等【例13】 根据下列条件,求解相应的直
8、线表达式(1)直线经过(3,2)以及(1,1);(2)直线经过(7,0)以及截距是14;(3)直线经过以及截距是【难度】【答案】(1);(2);(3)【解析】(1)设直线的解析式为,把(3,2)和(1,1)代入,可得:, 所以直线的解析式为;(2) 设直线的解析式为,截距是14,则,再把(7,0)代入,可得所以直线的解析式为;(3) 设直线的解析式为,截距是,则,再把(-3,0)代入,可得,所以直线的解析式为【总结】考察两点代入法求解一次函数解析式的方法及截距的含义,两点代入法求解一次函数的解析式可转化为求解二元一次方程,从而求出对应的【例14】 直线与已知直线平行,且不经过第三象限,求的值【
9、难度】【答案】【解析】两条直线平行,则可知相等,即,可得:或,则截距为 或又因为图像不经过第三象限,所以舍去,即舍去,所以【总结】考察一次函数的的基本概念以及的符号与图像所过象限的关系【例15】 设点P(3,m),Q(n,2)都在函数y=x+b的图象上,求m+n的值【难度】【答案】5【解析】把点P(3,m),Q(n,2)代入解析式y=x+b中,可得,两式子相减, 得,整理得【总结】考察一次函数的应用,一次函数图像上的点的坐标都满足函数解析式【例16】 设一次函数的图像过点P(3,2),它与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点,且OA+BO=12时,求一次函数的解析式【难度】【答案】或【解析】由题易
10、知,A点坐标为,B点坐标为,且A、B两点都在轴、轴的正 半轴上,所以,又点P(3,2)在此函数图像上,代入可得,两个式子联立求解,可得:,解得:或,对应的或3所以该一次函数的解析式为或【总结】本题主要考查一次函数与两坐标轴的交点问题,注意分类讨论【例17】 已知一次函数与的图像在第四象限内交于一点,求整数的值【难度】【答案】1,0,1【解析】将两个解析式联立求解可得:,所以交点坐标为, 因为交点在第四象限内,所以,解不等式得:,所以整数的值为1,0,1【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题,并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号特征【例18】 已知两个一次函数和;(1)、为何值时,两函数的图
11、像重合?(2)、满足什么关系时,两函数的图像相互平行?(3)、取何值时,两函数图像交于轴上同一点,并求这一点的坐标【难度】【答案】(1);(2)且;(3),坐标为(2,0)【解析】(1)由题可知,两个一次函数的比例系数和常数项都相等,即, 解得:;(2) 两个一次函数的图像平行,则比例系数相等,常数不相等,所以,即,且;(3) 两个一次函数的图像交于轴上一点,即两个一次函数与轴的交点重合,先分别求出与轴的交点,令,得,同理可得,由题可知,即,交点坐标为(-2,0)【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重合的关系与区别以及两条直线交点的含义【例19】 (1)一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形
12、的面积为48,求的值; (2)一次函数的图像与两坐标围成的三角形的面积是10,截距是,求一次函数 的解析式【难度】 【答案】(1);(2)或【解析】(1)一次函数与两轴围成的三角形面积公式是,所以, 解得:; (2)同理可知,解得:,所以一次函数的解析式为或 【总结】一次函数与两轴围成的面积公式,注意双解的情况【例20】 (1)求直线与轴所围成的三角形的面积; (2)求直线与直线与轴所围成的三角形的面积【难度】【答案】(1)12;(2)【解析】(1)联立,解得交点坐标为(-4,-6),又因为两条直线与轴的交点坐标分别为(0,-4)和(0,2),所以这两条直线与轴围成的三角形面积为; (2)联立
13、,解得交点坐标为(1,-2),又因为两条直线与轴的交点 坐标分别为(2,0)和,所以这两条直线与轴围成的面积为【总结】考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积的综合应用【例21】 如图,已知由轴、一次函数的图像及分别过点C(1,0)、D(4,0) 两点作平行于轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7,试求这个一次函数的解析式【难度】【答案】【解析】由题易知的坐标为(1,),的坐标为(4,)所围成的梯形的面积为=7,解得:,所以一次函数的解析式是【总结】考查一次函数与面积的综合应用模块三:一次函数的性质知识精讲1、 一次函数的增减性:一般地,一次函数(为常数,)具有以下性质:当时,函数值随自变
14、量的值增大而增大,图像为上升;当时,函数值随自变量的值增大而减小,图像为下降2、一次函数图像的位置情况:直线(,)过且与直线平行,由直线在平面直角坐标系内的位置情况可知:(要用图像的平移推导可得)当,且时,直线经过一、二、三象限;当,且时,直线经过一、三、四象限;当,且时,直线经过一、二、四象限;当,且时,直线经过二、三、四象限例题解析【例22】 如果一次函数y=kx+b的图象经过第一象限,且与轴负半轴相交,那么( )A , B,b0D,【难度】【答案】【解析】一次函数的图像经过第一象限,且与轴负半轴相交,通过画图可知 所以答案选【总结】考察一次函数的基本概念以及、的符号对一次函数图像所过象限
15、的决定作用【例23】 一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是 ( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【难度】【答案】【解析】一次函数中,通过画图,可知该一次函数的图像不经过第三象 限,答案选【总结】考察一次函数的基本概念、的符号对一次函数图像所过象限的决定作用【例24】 根据下列条件填空:(1)已知函数,当等于_时,它是一次函数,此 时它的图象经过_象限,y随x的增大而_; (2) 如果一次函数和的图象的交点在第一象限,则的取值范围是_; (3)已知关于的一次函数的图象与轴的交点在轴的上方,且随 的增大而减小,则的取值范围是_ 【难度】【答案】(1);一、三、四;增大;(2);(3
16、)【解析】(1)由题可知,要是一次函数则要满足,解得:此时 函数解析式为,它的图像经过第一、三、四象限,且随的增大而增大;(2) 联立与,可得交点坐标为,因为交点在第一象限,则,所以的取值范围是(3) 由题易知,一次函数与轴的交点坐标为,且,又随的增大而减小,所以,从而可得【总结】考查一次函数的基本概念及、对一次函数图像所过象限及变化趋势的影响【例25】 设,将一次函数与的图像画在同一平面直角坐标系内,则有一组,取值,使得下列四幅图中的一个为正确的是( ) AB C D【难度】【答案】D【解析】选项中,由图像可知,且图像过一、二、三象限,可知,而另一条直线的 解析式为与轴的交点为在轴下方,则与
17、上面那条直线矛盾,所以错误;选项中,两条直线与轴的交点坐标都在轴上方,可知, 且,这与题目中的矛盾,所以B错误;选项中,由题易知,上面那条直线解析 式为,下面那条直线解析式为,且与轴交点都为(2,0), 分别代入可得,解得:,与已知不符,所以错误;选项中,由图可知,而两条直线有一条是随的增大而减小即作为, 中有一个小于0,正好相符,且满足题目中的条件,故选项D正确【总结】本题主要考查一次函数的性质及、对一次函数图像所过象限的影响【例26】 若、是一元二次方程的两个实根(),在一次函数中,随的增大而减小,则一次函数的图像一定经过()A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限C、第二、三、四象限D、
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- 八年 级数 春季班 讲义 01 一次 函数 概念 图像 教师版
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