八年级数学春季班讲义17：图形运动中函数关系的确定（教师版）

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1、内容分析图形运动中函数关系式的确定解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题，此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查动态几何问题是近年来各地常见的压轴题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能，解决这类问题的关键是“以静制动”，把动态的问题，变为静态问题来观察，结合特殊三角形的相关知识解决这类问题知识结构模块一：动点求函数解析式知识精讲 动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形又条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系，这部分压轴题主要是在图形运动变化的过程中探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值

2、范围例题解析【例1】 已知：在RtABC中，A=90，AB=AC=1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQBC于点Q，QRAC于点R（1）求证：PQ=BQ；（2）设BP=x，CR=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当x为何值时，PRBC【难度】【答案】详见解析【解析】（1）证明：又为等腰三角形，；（2） 解：在等腰直角中，在中，在等腰直角中，即，（3） 解：，又为等腰三角形， ， 即， 【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，第（3）问注意根据平行得到角的关系，再进行计算【例2】 如图所示，已知：在RtABC中，C=90，P是边AB上的一个动

3、点，PQPC交线段CB的延长线与点Q（1）当BP=BC时，求证：BQ=BP；（2）当A=30，AB=4时，设BP=x，BQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义AQCPBH域【难度】【答案】详见解析【解析】（1）证明：（2） 过作，垂足为【总结】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质的综合运用，解题时注意从多个角度进行分析【例3】 如图所示，已知：在RtABC中，C=90，AC=6，点D是斜边AB中点，作DEAB，交直线AC于点E；（1） 若A=30，求线段CE的长；（2） 当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定ABCDE义域；（3） 若CE=1，求B

4、C的长【难度】【答案】详见解析【解析】（1）联结，又垂直平分，又，线段的长为；（2） 垂直平分，在中，即，；（3） 当点在线段上时，由（2）得，解得：， 当点在延长线上时， 在中， 即，解得：，综上所述，若，的长为或【总结】考查学生对勾股定理、线段垂直平分线的性质及直角三角形性质的综合运用，综合性较强，第（3）小问注意要分类讨论ABCDEFH【例4】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC90，ABBC8，点E在边AB上，DECE，DE的延长线与CB的延长线相交于点F（1）求证：DFCE；（2）当点E为AB中点时，求CD的长；（3）设CEx，ADy，试用x的代数式表示y【难度】【答案】（1

5、）详见解析；（2）；（3） 【解析】（1）证明：过作，垂足为AD/BC，ABC90，ABBC，；（2） 为中点， ， ， ， ，；（3）， ， ，【总结】考查梯形为背景下的三角形全等的判定及性质应用，同时运用勾股定理解决函数问题【例5】 如图，在正方形ABCD中，AB1，E为边AB上的一点（点E不与端点A、B重合），F为BC延长线上的一点，且AECF，联结EF交对角线AC于点G（1）求证：DEDF；ABCDEFGK（2）联结DG，求证：DGEF；（3）设AEx，AGy，求y关于x的函数解析式及定义域【难度】【答案】详见解析【解析】（1）正方形，AECF，；（2） 如图，过点作与的延长线交于点，

6、是正方形的对角线，；（3）在中，同理：【总结】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等综合应用，解题时注意从多个角度进行分析【例6】 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BC9，C60，将一个30角的顶点P放在DC边上在滑动（P不与D、C重合），保持30角的一边平行于BC，与边AB交于点E，30角的另一边与射线CB交于点F，联结EF（1）当点F与点B重合时，求CP的长；ABCDEFPH（2）当点F在CB边上时，设CP，PE，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当EFCP时，求CP的长【难度】【答案】详见解析【解析】解：（1）当点与点重合时，；（2）

7、 过点作于四边形是矩形，（3） 当四边形EFCP是平行四边形时，则， ， ， 解得：；当四边形EFCP是等腰梯形时，则， 又， ，即， 解得：综上所述，当EFCP时，CP的长为或6【总结】考查直角梯形的性质、平行四边形的性质和判定以及直角三角形性质的综合运用，第（3）小问要注意进行分类讨论【例7】 如图，在正方形ABCD中，AB4，点E是边CD上的任意一点（不与C、D重合），将ADE沿AE翻折至AFE，延长EF交边BC于点G，联结AG（1）求证：ABGAFG； ABCDEFG（2）若设DEx，BGy，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）联结CF，若AGCF，求DE的长【难度】

8、【答案】（1）详见解析；（2）； （3）【解析】（1）证明：由翻折易证正方形ABCD， , ；（2） ，；（3），【总结】考查图形运动及动点问题结合全等三角形的综合应用能力，解题时注意对基本图形的寻找【例8】 如图，平面直角坐标系中点A(4， 0)，已知过点A的直线l与y轴正半轴交于点P，且AOP的面积是8，正方形ABCD的顶点B的坐标是(2， h)，其中h2（1）求直线l的表达式；（2）求点D的坐标；（用含h的代数式表示）PABCDOxyNMHE【难度】【答案】详见解析【解析】（1）解：，且直线与轴正半轴交于点，；（2） 过分别作轴，轴，垂足分别为正方形， ，【总结】本题主要考查一次函数与正

9、方形性质的综合运用【例9】 如图，在边长为1的正方形中，与相交于点，点是AB延长线上一点，联结CE，AFCE，垂足为点F，交BD、BC于点H、G设BEx，CGyABCDEFGHOP（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；（2）当点F是EC的中点时，证明：CG2OH【难度】【答案】（1）；（2）详见解析【解析】（1）正方形，易证，又，；（2） 取中点，联结正方形，是中点，且，垂直平分，【总结】考查正方形的性质应用以及线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质的综合运用【例10】 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在边AD、CD上，FEBEBC，ABCDEFGHEF、BC的延长线相交

10、于点G，设AEx，BGy（1）求y与x之间函数解析式，并写定义域；（2） 当点F为CD中点时，求AE的长【难度】【答案】（1）；（2）的长为或【解析】解：（1）过点E作于点H，正方形ABCD， BH = AEx，FEBEBC， ， ，；（2）点为中点， ， ， 即，即的长为或【总结】本题主要考查正方形形的性质与勾股定理的综合运用，注意进行分析【例11】 如图所示，已知：在ABC中，ACB=90，A=60，AC=3，点D是边AB上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE垂直于AB交射线AC与E，连接BE，点F是BD的中点，连接CD、CF、DF（1）当点E在边AC上（点E与点C不重合）时，设A

11、D=x，CE=yABCDEF直接写出y关于x的函数解析式及定义域；求证：CDF是等边三角形；（2）如果BE=，求出AD的长【难度】【答案】详见解析【解析】解：（1）， 又，；证明：在和中，是的中点， ，即，是等边三角形；（2） 在中，当点在上时，；当点在延长线上时，综上所述：的长为或【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意认真分析题中条件【例12】 如图，已知：在ABC中，CBA=90，A=30，BC=3，D是边AC上的一个动点，DEAB，垂足为E，点F在CD上，且DE=DF，作FPEF，交线段AB于点P，交线段CB的延长线交于点G（

12、1） 求证：AF=FP；（2） 设AD=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；ABCDEFGP（3） 若点P到AC的距离等于线段BP的长，求线段AD的长【难度】【答案】详见解析【解析】（1），；（2），是等边三角形，即，；（3） 若点到的距离等于线段的长，则为的中点，即，解得：，即线段的长为【总结】考查了等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识的综合运用，综合性较强，有一定难度，要注意分析【例13】 如图，在直角ABC中，B=90，C=30，AC=4，D是AC边上的一个动点（不与A、C点重合），过点D作AC边的垂线，交线段BC于点E，点F是

13、线段EC的中点，作DHDF，交射线AB于点H，交射线CB于点G（1）求证：GD=DC；（2）设AD=x，HG=y求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BH=时，求CG的长【难度】【答案】详见解析【解析】（1），是的中点，；（2） ，若交线段的延长线于点，有，；若交线段于点，有，；（3） 若交线段的延长线于点，；若交线段于点，；综上所述，CG的长为或【总结】本题主要考查对三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线性质，以及含角的直角三角形性质的综合应用，此题中还要注意分类讨论思想的运用【例14】 在梯形ABCD中，ADBC，B=90，C=45，AB=8，BC=14，

14、点E、F分别在边AB、CD上，EFAD，点P与AD在直线EF的两侧，EPF=90，PE=PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE=x，MN=y（1）求边AD的长；（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积GHR【难度】【答案】（1）；（2）； Q （3）梯形的面积为或【解析】（1）过作与分别交于点梯形中，又，四边形是矩形；（2） ，过点作与分别相交于，；（3） 当在梯形内部时，由， ；当在梯形外部时，【总结】本题综合性较强，主要考查梯形性质及常见辅助线的添加，注意对动点的运动轨迹的确定，并且要进行分类

15、讨论模块二：图形运动求函数解析式知识精讲 图形的运动考查的是变化中的不变量，通过翻折或者旋转后的图形特点，结合全等三角形性质及直角三角形中的勾股定理，求边或角的关系例题解析【例15】 如图，等腰梯形ABCD中，ADBC5，AB20，CD12，DHAB，E是线段HB上一动点，在线段CD上取点F使AEEF，设AEx，DFy（1）当EFAD时，求AE的长；（2）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；ABCDH（3）将ADF沿AF所在直线翻折，点D落在平面上的D处，当DE1时，求AE的长【难度】【答案】（1）；（2）； （3）的长为或【解析】解：（1），四边形是平行四边形， ，四边形是菱形，

16、；（2） 过点作于，在中， ；（3） 联结， ，必落在射线上，当时，有或，解得：或【总结】本题主要考查直角三角形的性质及翻折的综合应用，一方面要注意定义域的确定，另一方面要注意分类讨论【例16】 如图，三角形纸片ABC中，C=90，A=30，AB=10将纸片折叠使B落在AC边上的点D处，折痕与BC、AB分别交于点E、FABCDEF（1）设BE=x，DC=y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（2）当ADF是等腰三角形时，求BE的长【难度】【答案】详见解析【解析】解：（1）在中， 由折叠可知： 在中，由勾股定理得：， ；（2） 当过点作于，；当，是等腰直角三角形，；当不符合题意综

17、上所述，的长为或【总结】考查直角三角形性质及勾股定理的综合运用，注意分类讨论思想的运用【例17】 如图，已知：ABC中，ACB=90，A=30，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DEAB，垂足为点E，M是BD的中点（1）求证：CM=EM；（2）如果BC=，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，MCE的大小是否发生变化?如果不变，求出MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化【难度】【答案】（1）详见解析；（2）； （3）不变，【解析】（1）证明：在中，是的中点，同理，；（2） 解：在中，由勾股定理，得：在中，；（3） 不变是斜边的中

18、点，同理，即，【总结】本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，对于直角三角形的性质与推论要灵活运用【例18】 一张三角形纸片ABC，ACB=90，A=30，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图2），将AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P （1）当AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你 的猜想；ABCD图1C1C2D1D2图2ABC2C1ABPD1图

19、3EFD2 （2）设平移距离D2D1为x，AC1D1和BC2D2重叠（阴影）部分面积为y，试求y 与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围【难度】【答案】详见解析【解析】解：（1），是斜边上的中线，同理：，；（2） 在中，即，在中，到的距离就是的边上的高为，的面积设的边上的高为，在中，【总结】本题综合性较强，主要考查结合图形的平移与面积的结合，注意利用直角三角形的性质求出相关线段长，从而求得三角形的面积【例19】 已知ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点D是AB边中点，将一块直角三角板的直角顶点放在D点旋转，直角的两边分别与边AC、BC交于E、F（1） 取运动过程中的某一瞬间，画出A

20、DE关于D点的中心对称图形，E的对称点为，试判断BC与B的位置关系，并说明理由；（2） 设AE=x，BF=y，求y与x的函数关系式，并写出定义域ABCDEFE，【难度】【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）延长至，联结是中点，；（2） 联结，垂直平分，当时，解得：；当时，解得：，故定义域为：【总结】本题主要考查图形的旋转，注意与勾股定理的综合运用随堂检测【习题1】 已知一直角三角形纸片OAB，AOB=90，OA=2，OB=4，将该纸片放在，放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（1） 若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（2） 若折叠后点B落在边OA上

21、的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围ABOxy【难度】【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）联结，延折叠后使点与点重合，设，则在中，由勾股定理得：，；（2） 联结延折叠后使点与点重合，在中，由勾股定理得：，【总结】本题考查等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，折叠的性质的综合运用，综合性比较强，解题时要注意进行分析【习题2】 在等边ABC中，AB=8，点D在边BC上，ADE为等边三角形且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EFBC，EF与AB、AC分别相交于点F、GM（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）设BD=x，FG=y，求

22、y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AD的长为7时，求线段FG的长【难度】【答案】详见解析【解析】（1）证明：和是等边三角形，四边形是平行四边形；（2） 解：四边形是平行四边形，是等边三角形， 是等边三角形， ，；（3） 解：过作交于，可得为的中点，即，解得：当时，；当，故或【总结】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的综合运用，解题时注意进行分析【习题3】 如图所示，已知：在正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外）联接DP，分别过点C、A作直线DP的垂线，垂足为E、F.点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系?请证明

23、你的结论；ABCDEFP当点P在边BC上时，正方形的边长为2，设CE=x，AF=y.求y与x的函数解析式.并写出函数的定义域；在的条件下，当x=1时.求EF的长【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：（1），；（2） 由（1）证明可知：在中，；（3） 当时，又，【总结】本题主要考查三角形全等的证明及勾股定理的综合运用，考查学生解决实际问题的能力【习题4】 已知：三角形纸片ABC中，C=90，AB=12，BC=6，B是边AC上一点将三角形纸片折叠，使点B与点B重合，折痕与BC、AB分别相交于E、FABCBEFCBA（1） 设BE=x，BC=y，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的

24、取值范围；（2）当AFB是直角三角形时，求出x的值【难度】【答案】（1）； （2）或【解析】解：（1）三角形纸片折叠，使点与点重合，；（2） 当时，则，；当时，则，；综上所述：或【总结】考查折叠的性质，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等；还考查了直角三角形的性质及勾股定理的运用课后作业【作业1】 如图所示：长方形纸片ABCD的边AB=2，BC=3，点M是边CD上的一个动点，（不与点C重合），把这张长方形纸片折叠，使点B落在M上，折痕交边AD与点E，交边BC于点F（1）写出图中全等三角形；（2）设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，写出定义域；（3）试判断BEM能否可能等于9

25、0度?如可能，请求出此时CM的长；如不能，请说明理由ABCDEFM【难度】【答案】详见解析【解析】解：（1）；（2） ，；（3） ，解得：，【总结】本题主要考查折叠的性质，折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等，还考查了直角三角形的性质及勾股定理的综合运用【作业2】 如图，在菱形ABCD中，AB4，B60，点P是射线BC上的一个动点，PAQ60，PQ交 射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQyABCDPQFE（1）求证：APQ是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果PDAQ，求BP的值【难度】【答案】详见解析【解析】（1）证明：过作，是等边三角形；（

26、2） 是等边三角形，在中，在中，；（3） 当与重合，与重合时，联结，是等边三角形，垂直平分，与重合，；当分别在的延长线上时，是等边三角形，垂直平分，综上所述：或【总结】本题主要考查学生对于等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质的理解及运用，注意分类讨论思想的运用【作业3】 如图所示，已知：在ABC中，C=90，B=30，AC=6，点D在边BC上，AD平分CAB，E为AC上一个动点（不与A、C重合），EFAB，垂足为FABCDEF（1） 求证：AD=DB；（2） 设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；（3） 当DEF=90时，求BF的长【难度】【答案】详见解析【解析】（1）证明：ABC

27、中，C=90，B=30，平分，；（2） 解：，；（3）解：， 把代入得：，【总结】本题主要考查角平分线的性质、直角三角形的性质等知识的综合运用，注意从多个角度去分析【作业4】 如图，在RtABC中，C90，AC，BC9，点Q是边AC上的动点（点Q不与A、C重合），过点Q作QR/AB，交边BC于R，再把QCR沿着动直线QR翻折得到QPR，设AQx（1）求PRQ的大小；（2）当点P落在斜边AB上时，求x的值；（3）当点P落在RtABC外部时，PR与AB相交于点E，如果BEy，请直接写出y关于x的函数关系式及定义域ABCQEFABCRPPQRH【难度】【答案】详见解析【解析】解：（1）在RtABC中，C90，AC，BC9，由翻折可知：，；（2） 当点P落在斜边AB上时，如图所示， 即的值为；（3） 由第（2）问可知：过点作，垂足为，【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，综合性比较强，注意进行分析