八年级数学春季班讲义11：特殊的平行四边形（教师版）

《八年级数学春季班讲义11：特殊的平行四边形（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学春季班讲义11：特殊的平行四边形（教师版）（51页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、内容分析特殊的平行四边平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊性得到正方形矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称图形又是轴对称图形计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算尤其要掌握当矩形的对角线夹角是60时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形，即较短的边长是对角线长的一半当菱形两边的较小夹角是60时，它是由两个等边三角形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究知识结构模块一：矩形知识精讲知识点1：矩形1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形注意：矩形的定义

2、既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法2. 性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质(1) 矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的两条对角线相等注意：(1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分(2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)3. 判定：矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形例题解析【例1】 下列命题中真命题是（ ）A对角线互相垂直的四边形是矩形 B对角线相等的四边形是矩形； C四条边都相等的

3、四边形是矩形； D四个内角都相等的四边形是矩形；【难度】【答案】D【解析】证明矩形的方法有3种：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个内角为90的 平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形A、B、C都不能证明矩形【总结】考察矩形的证明方法【例2】 已知四边形是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ）A当AB=BC时，四边形是矩形 B当时，四边形是矩形C当OA=OB时，四边形是矩形D当时，四边形是矩形【难度】【答案】C【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形的对角线相等，则可得平行四边形 是矩形【总结】考察矩形的证明方法【例3】 （1）矩形的两条对角线的夹角为

4、，则对角线与较短边之比是 _； （2）已知在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC=_【难度】【答案】（1）2:1；（2）15【解析】（1）矩形的两条对角线的夹角为，可知矩形的两条对角线的一半与较短边可构 成等边三角形，所以对角线与较短边之比是2:1；（2），AB=2BC，AED=30ABCD，BAE=AED=30AB=AE，EBA=75，EBC=15【总结】考查矩形的性质运用特别注意几何图形中边角元素之间的转化【例4】 矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为_平方厘米【难度】【答案】4或12【解析】由题意可知，矩形的一边为4厘米，

5、另一边长为1厘米或3厘米，所以矩形的面积 为4或12平方厘米【总结】考查矩形性质的应用ABCDEFO【例5】 如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，于点E，于点F，求证：BE=CF【难度】【答案】见解析【解析】矩形ABCD，BE=CF【总结】考察矩形的性质的运用【例6】 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PEAC，PFBD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 H【难度】【答案】【解析】过点D作DHAC于点H，连接PO矩形ABCD中，AB=3，AD=4， AC=5，AO=DODHAC ， ，【总结】考察矩形的性质运用，注意利用面积求出线段长【

6、例7】 已知：若从矩形ABCD的顶点C作BD的垂线交BD于E，交BAD的平分线于FG 求证：CAF是等腰三角形【难度】【答案】见解析【解析】过A作AGBD，垂足为GAGBD，BAG+GAD=90ADG+GAD=90，BAG=ADGDAC=ADG，DAC=BAGAF平分BAD，BAGFAG=DACCAFDAC=BAG，FAG=CAFAGBD，CEBD，AGEC，F=FAGFAG=CAF，F=CAFCA=CF，CAF是等腰三角形【总结】考查矩形的性质及等腰三角形判定的综合运用【例8】 已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接AF、CFABCDEF 求证：AFCF【难度】

7、【答案】见解析【解析】联结BE=BD，F为DE中点，F为DE中点， ，即，AFCF【总结】考察全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一性质的综合运用【例9】 如图所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合，O求折叠EF的长【难度】【答案】【解析】联结AC交EF于O，连接CE矩形折叠使点C与点A重合，设，则在直角中，解得：由勾股定理可得：矩形ABCD，在直角中，解得： 【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用【例10】 如图，在矩形ABCD中，AB8，BC4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分AFC的面积为 _【难度】【答案】1

8、0【解析】将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，设，则在直角中，解得：【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用ABCDEFGHMN【例11】 将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，求的值【难度】【答案】【解析】由翻折的性质可得：， 同理可证得：，四边形是矩形， 又，在直角中，由勾股定理可得：，又， ， 【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的运用，综合性较强，注意分析模块二：菱形知识精讲1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1) 菱形的四条边都

9、相等；(2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角注意：(1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；(3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和) 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半3. 判定：菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题解析【例12】 平行四边形ABCD

10、的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定它为菱形的是( ) AAB=AD BACBD CA=D DCA平分BCD【难度】【答案】C【解析】C答案中，且A=D ，此四边形为矩形【总结】考察矩形和菱形的判定方法【例13】 下列命题中，真命题是 ( )A一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是矩形C等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D对角线互相垂直平分的四边形是菱形【难度】【答案】D【解析】D答案中对角线互相平分则可判定四边形为平行四边形，而在此基础上加上对角线 互相垂直，四边形变为菱形【总结】考察矩形、菱形的判定 【例14】 （1）菱形的两条对角线

11、长的比是，边长为10厘米，菱形的面积是_； （2）菱形的两条对角线长的比是2:3，面积是12cm2，则它的两条对角线的长分别是_cm、_cm，该菱形的周长是_cm【难度】【答案】（1）96平方厘米；（2）4、6、【解析】（1）菱形的两条对角线长的比是，菱形的两条对角线长的一半之比是设两条对角线长的一半分别为，则由勾股定理可得：菱形的边长为所以，解得：菱形的面积为平方厘米；（2）菱形的两条对角线长的比是2:3，菱形的两条对角线长的一半之比是2:3设两条对角线长的一半分别为，则由勾股定理可得：菱形的边长为菱形的面积是12cm2，所以，解得：菱形的边长为厘米，两条对角线的长为4厘米或6厘米【总结】考

12、察菱形的对角线的性质和面积的求法，注意对性质的运用【例15】 （1）菱形有一个内角为，一条较短的对角线长为6，则菱形的边长为 _； （2）如图，在菱形中，则 O【难度】【答案】（1）6；（2）【解析】（1）菱形有一个内角为，菱形的两条边和较短的对角线构成了一个等边三角形，菱形的边长为6；（2）设对角线相交于点，则，由勾股定理可得：，则【总结】考察菱形的性质的综合运用【例16】 如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=6，P是AC上一动点(P与C不重合)，PE/BC交AB于点E，PF/CD交AD于点F，连结EF，求图中阴影部分的面积【难度】【答案】6【解析】菱形ABCD ，PE/BC，PF/CD

13、，四边形是平四边形，【总结】考察菱形的性质和面积的求法，注意对方法的总结【例17】 如图，在中，是对角线的中点，过点作的垂线与边、分别交于点、求证：（1）；（2）四边形是菱形【难度】【答案】见解析【解析】（1），；（2） ， ，四边形是平行四边形，四边形是菱形【总结】考察平行四边形的性质和菱形的判定的综合运用【例18】 如图是菱形对角线的交点，作，、交于点，四边形是矩形吗?证明你的结论【难度】【答案】是矩形，证明见解析【解析】，四边形是平行四边形四边形是菱形， 平行四边形是矩形【总结】考察菱形的性质和矩形的判定定理的综合运用【例19】 如图，矩形纸片中，将纸片折叠，使得点与点重合，O折痕为（1

14、）求证：四边形是菱形；（2）求菱形的边长【难度】【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）设与的交点为将纸片折叠，使得点与点重合，折痕为， ， ，四边形是平行四边形，四边形是菱形； （2）设，则， 在直角中，由勾股定理，得：，解得：， 菱形的边长为5【总结】考察矩形的性质和菱形的判定定理的综合运用【例20】 如图， 中，平分交于，交于求证：四边形是菱形【难度】【答案】见解析【解析】平分，四边形是菱形【总结】考察菱形的判定定理的综合运用【例21】 如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且ABC60，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为_【难度】【答案】【解析】联结与的交点即为所求

15、作的点ABC60，为等边三角形E是BC的中点，【总结】考察菱形的性质和轴对称最短路程问题，注意对方法的归纳总结【例22】 如图，菱形ABCD的边长为2，BD2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF2（1）判断BEF的形状，并说明理由；（2）设BEF的面积为S，求S的取值范围【难度】【答案】（1）等边三角形，证明见解析；（2）【解析】（1）菱形ABCD的边长为2，BD =2，都为等边三角形，又，即，是正三角形；（2） 设，则当时，取最小值为时，；当与重合时，取最大值为2，；【总结】考察菱形的性质的具体应用，注意动点的运动轨迹【例23】 已知ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一

16、个动点（点D不与点B、C重合），ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE（1）如图1所示，当点D在线段BC上时，试说明：AEBADC探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由（2）如图2所示，当点D在BC的延长线上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理ABCDEFGABCDGE由图1 图2【难度】【答案】见解析【解析】（1）和都是等边三角形，即，；四边形是平行四边形和都是等边三角形，四边形是平行四边形（2） 四边形是平行四边形方法同（1）（3）

17、 当点运动到时，四边形是菱形与（1）一样可证：，则与（1）一样可证：四边形是平行四边形当时，四边形是菱形，此时 即当点运动到时，四边形是菱形【总结】本题综合性较强，主要考察特殊的平行四边形的判定的综合运用模块三：正方形知识精讲1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形2. 正方形与矩形、菱形的关系矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形3. 性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角4. 判定定理：判定定理1：有

18、一组邻边相等的矩形是正方形判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形例题解析【例24】 下列四个命题中真命题是（ ）A对角线互相垂直平分的四边形是正方形B对角线垂直且相等的四边形是菱形 C对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D四边都相等的四边形是正方形【难度】【答案】C【解析】C答案正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线相等，则四边 形变为矩形；其余的答案中均没有对角线互相平分，则都不是平行四边形，更不是特殊 的平行四边形【总结】考察特殊的平行四边形的判定方法【例25】 如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）AAB=AD且ACB

19、D BAB=AD且AC=BDCA=B且AC=BD DAC和BD互相垂直平分【难度】【答案】B【解析】 B答案中，AB=AD可知平行四边形是菱形，而AC = BD可知平行四边形 是矩形，则平行四边形为正方形【总结】考察正方形的判定方法的运用【例26】 在下列图形中，等边三角形，正方形，正五边形，正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有（ ） A1个 B2个 C 3个 D 4个【难度】【答案】B【解析】符合题意【总结】考察图形的对称性的运用【例27】 （1）如图（1），已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则度数是 ； （2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于

20、点O，E是OB延长线上一点，ABCDEO（2）（1） CE=BD，ECB的度数是_【难度】【答案】（1）22.5；（2）15【解析】（1）正方形ABCD，BP=BC，；（2）联结，【总结】考察正方形的性质的运用【例28】 如图，正方形ABCD的对角线AC上截取CE=CD，作EFAC交AD于点FABCDEF求证：AE=EF=FD【难度】【答案】见解析【解析】正方形ABCD，EFAC， ，【总结】考察正方形的性质及直角三角形全等的判定的综合运用【例29】 如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BFAE，垂足为G，交CD于点F求证：AE=BFABCDEFG【难度】【答案】见解析【解析】B

21、FAE， 【总结】考察正方形的性质的运用ABCDEFM【例30】 已知：正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CEAF于E，交AD于M 求证：MFD=45【难度】【答案】见解析【解析】CEAF，【总结】考察正方形的性质及等腰直角三角形性质的综合运用【例31】 已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且BAP=2QAD求证：AP=PC+BC【难度】【答案】见解析【解析】延长到，使得，连接交BC于F，CD=AB， CE=ABECF=B，CFE=AFBABFECFBF=CF，即Q为正方形ABCD的CD边的中点， BC=CD，DQ=BFDQ=BF，B=D，AB=AD， ABFADQ

22、， QAD=BAF，BAP =BAF+PAF，BAP = 2QAD，QAD=BAF，BAF=PAFABCD，BAF=E， E=PAF， PE=APPE=PC+CE，CE=BC， 【总结】考察正方形的性质的运用，注意辅助线的添加【例32】 已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MNMD，BN平分CBE并交MNABCDEMNG于N求证：MD=MN【难度】【答案】见解析【解析】取的中点，联结M为AB的中点，为的中点，BN平分CBE，MNMD，又，【总结】考察正方形的性质的综合运用，注意辅助线的添加【例33】 已知：AE为正方形ABCD中BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交

23、于O求证：OF=CE【难度】【答案】见解析【解析】在OD上截取一点G，使得，联结AG、CG， AE为正方形ABCD中BAC的平分线， ，【总结】本题综合性较强，主要考察正方形性质的应用，注意角度之间的转化 【例34】 如图所示，正方形ABCD中，EAF=45，APEF于点P求证：AP=ABABCDEFPG【难度】【答案】见解析【解析】延长至，使得，【总结】考察正方形的性质的应用，注意辅助线的添加【例35】 正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，PABCDEFGHPM是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，求HAF的大小【难度】

24、【答案】45，理由见解析【解析】延长到，使得，联结则，设正方形的边长为，则，矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，而在直角三角形中，则可得：， 【总结】考察正方形的性质及勾股定理的综合应用，注意对正方形背景下的辅助线的添加方法进行归纳总结【例36】 如图，在正方形中，点在边上（点与点、不重合），过点作， 与边相交于点，与边的延长线相交于点（1）由几个不同的位置，分别测量、的长，从中你能发现、的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2）联结，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离 （备用图

25、）【难度】【答案】（1）；（2）（）；（3）【解析】（1）证明：过点作，垂足为，四边形是矩形，即，（2） ，定义域为（3）联结，作于，点到直线的距离为【总结】本题综合性较强，主要考察正方形的性质和勾股定理的综合应用，解题时注意利用等积法求线段的长随堂检测【习题1】 四边形的对角线与交于点若，则平行四边形是 形；若，则平行四边形是 形；若，则平行四边形是 形；若，则平行四边形是 形【难度】【答案】菱形；矩形；矩形；菱形【解析】矩形、菱形的判定定理：1、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线相等的平行四边形是矩形；3、 有一个内角为直角的平行四边形是矩形；【总结】考察矩形、菱形的判定方法【

26、习题2】 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 ( )A当AB=BC时，它是菱形 B当ACBD时，它是菱形C当ABC=90时，它是矩形 D当AC=BD是，它是正方形【难度】【答案】D【解析】D答案只能判定出四边形ABCD是矩形【总结】考察矩形、菱形的判定方法【习题3】 .在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则菱形的周长为 ( )A B C D【难度】【答案】C【解析】因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可得，则菱形的周长为【总结】考察菱形的性质的运用【习题4】 把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）A110 B115 C120 D13

27、0【难度】【答案】B【解析】矩形沿对折后使两部分重合， ，【总结】考察翻折的特征和矩形的性质的综合运用【习题5】 如图，正方形中，为边上的一个动点，延长至，使，联结，与相交于点，下列结论正确的个数是（ ）； ； A1 B2 C3 D4【难度】【答案】C【解析】正确，则可知正确【总结】考察正方形的性质的应用ABCDEF【习题6】 如图所示，在菱形ABCD中，BAD=80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，求CDF的度数【难度】【答案】60【解析】联结AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，BAD=80，【总结】考察菱形的性质的应用【习题7】 如图所示，正方形ABCD中

28、，EFGH于点P求证：EF=GHABCDEFHPGMN【难度】【答案】见解析【解析】作于，于，交点为EFGH， 【总结】考察正方形的性质的应用，注意对此模型的总结【习题8】 如图，在线段上取一点，使，以、为边在同侧作正方形和，在上取，在的延长线上取一点，使求证：四边形为正方形【难度】【答案】见解析【解析】 又，四边形是菱形，菱形是正方形【总结】考察正方形的性质及判定方法的综合运用【习题9】 如图所示，菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA上的点已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40求矩形ABCD的周长【难度】【答案】【解析】，即，也可证得

29、：，设与互相垂直平分，这样得到8个直角三角形，且其中6个三角形的边长分别为15、20、25，而，则直角ASP和直角CQR的三边分别为，矩形面积等于8个直角三角形面积之和所以，则有而，解得：，或，当时，与不合，所以舍去；矩形的周长为【总结】考察特殊的平行四边形的性质及面积法的综合应用【习题10】 已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且求证：（1）（2）、分别在、延长线上，四边形与正方形重合部分的面积等于【难度】【答案】见解析【解析】（1），即；（2），四边形与正方形重合部分的面积等于【总结】考察正方形的性质运用，注意第（2）问中将面积进行转化【习题11】 如图1所示，在矩

30、形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、点D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN（1）求证：ANDCBM（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形四边形MFNE是菱形吗？请说明理由（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图2所示，ABCDEFPQ NMNM ABCDEF若PQ=CQ，PQMN，且AB=4，BC=3，求PC的长度【难度】【答案】见解析 图1 图2【解析】（1）由折叠的性质可得：，（2），四边形MFNE是平行四边形与不垂直，四边形MFNE不是菱形；（3）设与的交点为，设，作于，即，解得：，设，则在直角三角形中，解得：，即，在

31、直角三角形中，四边形是平行四边形，是等腰三角形，在直角三角形中，则【总结】本题综合性较强，考察平行四边形的判定与性质及翻折的运用，解题时注意分析 课后作业【作业1】 已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A， ， B，C，D， 【难度】【答案】C【解析】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【总结】考察正方形的判定方法【作业2】 下列命题中，真命题是（ ）A菱形的对角线互相平分且相等 B矩形的对角线互相垂直平分 C对角线相等且垂直的四边形是正方形 D对角线互相平分的四边形是平行四边形【难度】【答案】D【解析】A正确为菱形的对角线互相平分且垂直；B正确为矩形

32、的对角线相等且互相平分； C正确为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形【总结】考察特殊的平行四边形判定方法【作业3】 现有以下四个命题： 对角线相等的四边形是矩形；对角线互相垂直的四边形是菱形；有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ） A B C D 【难度】【答案】B【解析】错误，例如等腰梯形；错误；例如对角线互相垂直的等腰梯形【总结】考察特殊平行四边形的性质和判定【作业4】 如图，在矩形ABCD中，AB1，AD，AF平分DAB，过点C作CEBD于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：AFFH；BOBF；CACH；

33、BE3ED.正确的是（ ）A B C D【难度】【答案】D【解析】AB1，AD，、为等边三角形AF平分DAB，【总结】考察矩形的性质的综合应用【作业5】 如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则（ ）A B C D【难度】【答案】A【解析】 ，联结，则， ，也可得：，【总结】考察面积的求法，注意利用割补法进行转化ABCDEF【作业6】 如图，将矩形ABCD(ABAD)沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F（1）若AB=4，BC=8，求DF的长；（2） 当DA平分EDB时，如果AB=3，求BC的值【难度】【答案】（1）5；（2）【解析】（1），设，则，在直角三角形中，解得：，；（2

34、） 当DA平分EDB时，即设，则，则，即，由勾股定理可得：【总结】考察矩形性质的应用和勾股定理及翻折性质的综合应用【作业7】 如图，已知有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC上的中点，将点C折到MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ 求：（1） MP的长；（2）PQ的长【难度】【答案】见解析【解析】（1）由翻折性质，可得垂直平分，M、N分别为AD、BC上的中点，且正方形ABCD，即为等边三角形，；（2） 由题意可得：，在直角三角形中，【作业8】 如图所示，在菱形ABCD中，D=EAF=60，BAE=20FABCDE求CEF的度数【难度】【答案】20【解析】联结，是等边三角

35、形，是等边三角形，【总结】考察菱形的性质及等边三角形性质的综合运用ABCDMNPE【作业9】 如图所示，设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点，且CM与BN交于点P，求证：PA=AB【难度】【答案】见解析【解析】延长交延长线于，【总结】本题考察的知识点比较综合，主要考察了正方形的性质及直角三角形的性质的综合运用，证明时注意进行分析【作业10】 如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA3，PD4，PC5，求PB的长【难度】【答案】【解析】如图所示，将平移至，使得分别重合与四边形为平行四边形四边形为平行四边形，在直角中，在直角中，同理可得：【总结】本题主要考察矩形的性质及平行四边形判定定理的综合运用【作业11】 （1）如图（1）所示，点E是正方形ABCD的边AD上一点，BF平分，交CD于点F，求证：；（2）如图（2）所示，在正方形ABCD中，点E在DC的延长线上，点F在CB的延长ABCDEFABCDEFGH线上，求证：【难度】【答案】见解析【解析】（1）延长至