八年级数学春季班讲义19：四边形的存在性（教师版）

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1、内容分析四边形的存在性本节包含两部分，平行四边形的存在性及梯形的存在性，常见题型是存在菱形和正方形，根据题目中的条件及特殊的平行四边形的性质构造等量关系，求出相应的点的坐标；常见的梯形的问题中，经常需要添加辅助线考察学生的分类讨论思想及逻辑思维能力知识结构模块一：平行四边形的存在性知识精讲 平行四边形的问题是近几年来考试的热点，考察学生的分类讨论的思想常见的题型是在平面直角坐标系中已知三点和第四点构成平行四边形，求第四点；或者已知两点，另外两点在某函数图像上，四点构成平行四边形；利用两点间的距离公式和平移的思想，结合题目中的条件构造等量关系例题解析【例1】 如图所示，在梯形ABCD中，ADBC

2、，B=90，AD=24 cm，BC=26 cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形；（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了平行四边形和矩形的判定【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为A(3， 0)，点B的坐标为A(0， 4)（1）求直线AB的解析式；（2）点C是线段AB上一点，点O为坐标原点，点D在第二象限，且四边形BCOD

3、为菱形，求点D坐标；（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，点P在直线AB上，且以B、D、E、P为顶点ABOxy的四边形是平行四边形，请写出所有满足条件的点P的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质及平行四边形的判定和性质【例3】 如图已知点A(m，6)和点B(6，2)（点B在点A的右侧）在反比例函数的图像上，直线BC/x轴，与y轴交于点C（1）求m的值及直线AC的解析式；ABCDEOxyGHNM（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图像上，当四边形ACDE是平行四边形时，求CD的长【难度】【答案】见解析【解

4、析】（1）（2）【总结】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，全等三角形的判定和性质及平行四边形的性质【例4】 如图，在平面直角坐标系中，过点(2，3)的直线ykx2与x轴交于点A，与y轴交于点B，将此直线向下平移3个单位，所得到的直线l与x轴交于点C（1）求直线l的表达式；（2）点D为该平面直角坐标系内的点，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标【难度】xABOyC【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了一次函数图像的平移及平行四边形的性质和判定【例5】 如图，已知直线l1经过点A(5，6)且与直线l2：平行，直线l2与x轴、y轴分别

5、交于点B、C（1）求直线l1的表达式及其与x轴的交点D的坐标；（2）判断四边形ABCD是什么四边形并证明你的结论；（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案【难度】【答案】见解析【解析】（1）GEBADxOyCF（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，矩形的判定及正方形的判定和性质【例6】 直线与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿运动（1） 直接写出A、B两点的坐标；（2） 设点Q的运动时间为秒，OPQ的面积为，求出与之

6、间的函数关系式（3） 当时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1） （2）（3）【总结】本题主要考查了一次函数的图像和性质及平行四边形的判定和性质【例7】 已知：如图，四边形ABCD是菱形，B是锐角，AFBC于点F， CHAD于点H， 在AB边上取点E，使得AEAH，在CD边上取点G，使得CGCF联结EF、FG、GH、HEABCDEFGHO（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）当B为多少度时，四边形EFGH是正方形并证明【难度】【答案】见解析 【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质及正

7、方形的性质【例8】 如图所示，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数y=kx（x为自变量）的图像与双曲线交于点A，且点A的横坐标为（1）求k的值；ABCOxy（2）将直线y=kx（x为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交x轴、y轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点坐标等关系及菱形的判定和性质【例9】 在直角ABC中，C=90，A=30，AB=4，将一个30角的顶点P放在AB边上滑动，保持30角的一边平行于BC，且交边AC于点

8、E，30的另一边交射线BC于点D，连ED（1）如图，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP长；（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗若可能，求出PBDE为平行四边形时，AP的长，若不可能，说明理由；（3）若点D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP的取值范围ABCDEP【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了等腰梯形和平行四边形的判定和性质模块二：梯形的存在性知识精讲 梯形的分类讨论题多见于各类压轴题中，由于这类题目都与图形的运动有关，需要学生有一定的想象力、分析力和运算力梯形的主要特征是两底平行，特殊梯形又可分为等腰梯形和直角梯形两大类常见题型为在直角坐标

9、平面内已知三点求第四点，抓住梯形两底平行的特征，对应的一次函数的解析式的k相等而b不相等若是等腰梯形，常需添设辅助线，过上底的两个顶点作下底的垂线，构造两个全等的直角三角形若是直角梯形，则需连接对角线或过上底的一顶点作下底的高构造直角三角形例题解析【例10】 在梯形ABCD中，ADBC，AD=12cm，DC=8cm，且C=60，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD方向向点D移动，同时，动点Q以2cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B移动，连接PQ，QPBCDAE（1） 得四边形ABQP和四边形PQCD若设移动的时间为t秒（0t7），四边形PQCD的面积为ycm，求y与t的函数关系式；

10、（2）当t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形说明理由；（3） 当t为何值时，四边形PQCD是直角梯形【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了等腰梯形和直角梯形的性质和判定【例11】 如图，已知与是反比例函数图像上的两个点（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图像上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由ABCOxy【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了反比例函数的图像和性质与四边形性质的结合运用【例12】 如图，一次函数的图像与轴相交于点A(5，0)、与轴相交于点B（1）求

11、点B的坐标及ABO的度数；（2）如果点C的坐标为（0，3），四边形ABCD是直角梯形，求点D的坐标ABCOxy【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式及直角梯形的性质的判定【例13】 如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点G为BC的中点，点E为线段BC延长线上的一点，且CEBC，过点E作EF/CA，交CD于点F，联结OF（1）求证：OF/BC；（2）如果四边形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明ABCDEFGOM【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了平行四边形的判定和性质及等腰梯形的判

12、定和性质【例14】 如图，在平面直角坐标系中，直线l1经过O、A(1，2)两点，将直线l1向下平移6个单位得到直线l2，交x轴于点C，B是直线l2上一点，且四边形ABCO是平行四边形（1）求直线l2的表达式及点B的坐标；AOCxy（2）若D是平面直角坐标系内的一点，且以O、A、C、D四个点为顶点的四边形是等腰梯形，求点D的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式及等腰梯形的性质【例15】 已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，梯形AOBC的边AC=5（1） 求点C的坐标；（2） 如果点A、C在一次函数y=kx+b（k、b为常数

13、，且k0）的图像上，求这个一次函数的解析式【难度】【答案】见解析【解析】（1） （2）【总结】本题主要考查了一次函数的综合运用及梯形的判定和性质【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B（1）求点B的坐标；（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：ABQ90；ABOPQxyABOxy图1 备用图C（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查

14、了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质及梯形的性质【例17】 在直角平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CMx轴（如图所示）点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；AOxMyCD（3）若动点P在x轴的正半轴上，以每秒2个单位长的速度向右运动；动点Q在射线CM上，且以每秒1个单位长的速度向右运动，若P、Q分别由O点、C点同时出发，问几秒后，以P、Q、O、D为顶点的四边形可以成为平行四边形；以P、Q、O、D为顶点的四

15、边形是否可以成为等腰梯形写出理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形、平行四边形和等腰梯形的性质随堂检测【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，函数y2x12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点过点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点（1）求直线AC的表达式；（2）如果四边形ACPB是平行四边形，求点P的坐标【拓展】如果以A、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标ABCOxy【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质的判定【

16、习题2】 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线相交于点B，点C是线段OB上的点，且AOC的面积为12（1）求直线AC的表达式；（2）设点P为直线AC上的一点，在平面内是否存在点Q，使四边形OAPQ为菱形，若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由ABOxyC【难度】【答案】见解析【解析】（1）E（2）当AO时对角线时，P（3,3）Q（-3,3），综上当四边形OAPQ是菱形时， 【总结】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式以及菱形的性质【习题3】 如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，B90，AD24cm，AB8cm，BC26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速

17、度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3 cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，线段PQCDABCDQPABCDE【难度】【答案】见解析 【解析】【总结】本题主要考查了平行四边形和等腰梯形的判定【习题4】 如图所示，正比例函数y=k1x和一次函数y=k2x+b的图像相交于点A（-3，4），且OB=OA（1） 求正比例函数和一次函数的解析式；（2） 求AOB的面积和周长；（3） 在平面直角坐标系中是否存在点P、O、A、B成为直角梯形的四个顶点若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由【难度】【答案】见解

18、析【解析】（1）（2）（3）【总结】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式和一次函数图像的性质以及直角梯形的性质课后作业【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，点A的坐标为(2，3)，点B的横坐标为6 （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）如果点C、D分别在x轴、y轴上，四边形ABCD是平行四边形，求直线CD的表达式【难度】【答案】见解析【解析】（1）ABOxy（2）【总结】本题考查了一次函数在直角坐标系中的综合应用及平行四边形的判定和性质【作业2】 已知一条直线y=kx+b在y轴上的截距为2，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，且ABO的

19、面积为4（1） 求点A的坐标；（2） 若k0，在直角坐标平面内有一点D，使四边形ABOD是一个梯形，且ADBO，其面积又等于20，试求点D的坐标【难度】【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题考查了一次函数在直角坐标系中的综合应用及梯形的判定问题【作业3】 定义p，q为一次函数ypxq的特征数（1）若特征数为3，k1的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）一次函数ykxb的图像与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点B，且与正比例函数的图像的交点为C(m，4)求过A、B两点的一次函数的特征数；（3）在（2）的条件下，若点D与A、O、C构成的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点D的坐标ABCOxy【难度】【答案】见解析【解析】（1） （2） （3）【总结】本题主要考查的是学生的归纳总结及创新能力【作业4】 如图所示，直线y=-2x+12，分别与x轴、y轴交于点A、B，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，点D的纵坐标是4（1） 求点C的坐标和直线AD的解析式；（2） P是直线AD上的点，请你找出一点Q，使得以O、A、P、Q这四个点为顶点的四边形是菱形，写出所有满足条件的Q的坐标【难度】ABCDxyO【答案】见解析【解析】（1）（2）【总结】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析及菱形的性质